一、等差数列
1. 定义： an 1 an d(常数 ) 2. 通项公式： a n a1 ( n 1)d
3. 变式： an am
(n m) d
dan am
n m
4.(a1
an )n 前 n 项和： Sn
或 Sn(n
1)n a1n
d
2
2
5. 几何意义： ① an a1 (n 1)d a1 dn d 即 an pn q 类似 y px q
② Sd
n
d n2 (a1
)n 即 Sn
An 2 Bn 类似 y Ax2
Bx
2
2
6. { an } 等差aa
n
pn q
Sn
An 2
Bnan
n 1
a
n 1
2
7. 性质
① m n p q 则 am an a p aq
② m n 2 p 则 am an 2a p ③ a1 an
a2
an 1
a3
an 2
④ Sm 、 S2 m- m 、 S3m -2m 等差
⑤ { an } 等差 , 有 2n 1项, 则S奇
n
1
S偶
n
⑥ aSn
2n
1
2n 1
二、等比数列 1. 定义：
a
n 1
q(常数）
an
2. 通项公式： a
a q n 1
n1
3. 变式： a n
amq n man
q n m
am
na1
(q
1) 4. Sna1 (1
q n )
(q
1)
1 q
an 1 an
d
前 n 项和： Sn
a1 n (q
1) 或
Sn
a1 (1
q n)
(q 1)
1 q
5. 变式：
Sn Sm
1 qn 1 q
m( q 1)
6. 性质：
① m n p r 则 am an ② m n 2 p ③ a1 an ④ Sm 、 S2 m- m 、 S3m -2m 等比
ap ar
则 am an
a p2
a2 an 1 a3 an 2
⑤ { an } 等比 , 有 2n 1项
Sa奇1
a3 a5 an 等差
a
2n 1
a1
q(a2
a4
a)a2 n 1 qS偶
三、等差与等比的类比
bn 等差
和 差 系数
积 商 指数 “1”
“ 0”
四、数列求和 1. 分组求和
通项虽不是等差或等比 数列，但通项是由等差 或等比数列的和的形式 ，则可进行拆分，分别利用基 本数列的和公式求和．
如求 { n( n 1)} 前 n项的和： n( n 1) n2 n] Sn (12 1) (22
2)
(n2
n)
(12 22 1
n(n
32 1)(2n
3
1
6
n(n 1)(n 2)
n2 ) (1 2 3 1
n(n 1) 1)
2
n)
2．裂项相消法．
把数列和式中的各项分 别裂开后，消去一部分 从而计算和的方法，适 用于通
的前 n项和，其中 { an} 为等差数1
1 ( 1 ). 项为 1 列， 1
an an 1 an an 1 d an an 1
常见的拆项方法有： (1)
1 1 1 ； n(n 1) n n 1
1 1 1 1
)； ( 2) (
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1
(3) [ ]；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
1 1
b )； ( 4) ( a
a b a b
(5)Cnm 1 Cnm 1 Cnm； ( 6)n n! (n 1)! n!； ( 7)an Sn Sn 1 (n 2).
3. 错位相减法．
利用等比数列求和公式 的推导方法求解，一般 可解决形如一个等差数 列和一个等比数列对应项相乘所得数 列的求和．
如：等比数列 { an }前 n项和公式的推导：
Sn
qSn
a1 a2 a3
a2
a3
aa
an
(1 q)Sn a1 an 1
na1
a1(1 qn ) a1
1 q
an q 1 q
( q 1)
.
nn 1
(q 1)
