2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A(含答案)

适用专业：信息与计算科学; 考试日期：

考试时间：120分钟； 考试方式：闭卷；总分100分

一.简答题(30分).

1. 简要介绍数学建模的一般步骤.

2. 层次分析法的一般步骤是什么?

3. 根据建立数学模型的数学方法, 数学模型可以分成哪些类型?

二、计算题

1. （10分）某学校有3个系共有300名学生, 其中甲系137名, 乙系56名, 丙系107名, 若学生代表会议设30个席位. 试用下列方法求出各系应分配的席位数.

(1) 按比例分配取整数的名额后, 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; (2) 利用Q值法进行分配.

2.（10分） 考察阻尼摆的周期, 即在单摆运动中考虑阻力, 并设阻力与摆得速度成正比. 阻尼摆的周期t与摆长l, 摆球质量m, 重力加速度g, 阻力系数k有关. (1) 用量纲分析法证明: trg(klmg), 其中为未知函数. (2) 讨论物理模拟的比例模型, 怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.

3.（15分） 设某产品的生产周期为T, 产量为Q, 每天的需求量为常数r, 每次生产准备费为c1, 每天每件产品贮存费为c2.

(1)不允许缺货的存贮模型要求: 产品需求稳定不变, 生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货. 试建立不允许缺货的存贮模型并确定生产周期和产量, 使总费用最小.

(2)设每天每件产品的缺货损失费为c3,试建立允许缺货的存贮模型并确定生产周期和产量, 使总费用最小.

(3) 上述模型中增加货物本身的费用, 重新确定最优订货周期和订货批量. 证明在不允许缺货模型中与原来的一样, 而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来的结果减小.

4.（10分） 设总人口N不变, 将人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类, 三类人在总人数N中占的比例分别记作s(t),i(t),r(t), 病人的日接触率为, 日治愈率为. 试建立描述三类人数量变化的SIR传染病模型.

5. （15分）设鱼群鱼量的自然增长服从Gompertz规律: dxdtrxlnNx, 单位时间的捕捞量为

hEx, 则渔场的鱼量满足:

dxdtrxlnNxEx. 其中x(t)表示种群在t时刻的数量, r表示固有增长率, N表示鱼群的最大容许数量.

(1) 求渔场鱼量的平衡点及其稳定性;

(2) 求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0*.

6. （10分）按年龄分组的种群增长的差分方程模型中, 设一群动物的最高年龄为18岁, 每6岁一

组, 分为3个年龄组, 各组的繁殖率为b10,b26,b32, 存活率为s112,s124, 开始时3组各1000只.

求 (1) 18年后各组分别有多少只?

(2) 时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布.

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适用专业：信息与计算科学; 考试日期：

考试时间：120分钟； 考试方式：闭卷；总分100分

一.简答题(30分).

1. 简要介绍数学建模的一般步骤.

答:模型准备, 模型假设, 模型求解, 模型分析, 模型检验, 模型应用.

2. 层次分析法的一般步骤是什么?

答: (1) 将决策问题分为3个层次: 目标层, 准则层, 方案层

(2)通过相互比较确定各准则对目标的权重, 及各方案对每一准则的权重.

(3) 将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合, 给出决策结果.

3. 根据建立数学模型的数学方法, 数学模型可以分成哪些类型?

答: 初等模型, 几何模型, 微分方程模型, 统计回归模型, 数学规划模型.

二、计算题

1. 解:(1)甲分13.7个, 乙系5.6个, 丙系10.7个, 取整后甲系14个, 乙系5个, 丙系11个.

(2)第29个席位的分配:

1372 n5621072113*14103.13,n25*6104.53,n310*11104.08 故分给乙系;

第30个席位的分配:

n'56227*674.67

故分给丙系.

由Q值法: 甲系13个, 乙系6个, 丙系12个.

2.（10分）解: 设阻尼摆的周期为t, 摆长为l, 质量为m, 重力加速度为g, 阻力系数为k, 设

f(t,l,m,g,k)0 则各物理量的量纲为[t]T,[l]L,[m]M,[g]LT2,[k][fMLT2v][LT1]MT1

量纲矩阵为

01010A00101 10021解齐次方程Ay0的基本解为:

y1(1,12,0,12,0)y2(0,11 2,1,2,1)得到2个无量钢量

111tl2g211 2l2m1g2k故

t1llkl11lg(2)2g2g(mg) (2) 当l'm't''lm时,有ltl

3.（15分） 解: (1)一个周期的总费用为:

Ccc2QTc2rT212c12

每天的平均费用为:

Cc1cT2rT2 由

CT0,CQ0得:

T2c1rc,Q2c1r 2c2(2) 一个周期的总费用为:

Ccc2QT1c3r(TT1)2122

每天的平均费用为:

c2C1c2Qc3(rTQ)2T2r2rT

由

CT0,CQ0得: T'2c1rc.c2c3,Q'2c1r.c3 2c3c2c2c3(3) 设购买单位重量货物的费用为k,对于不允许缺货模型,每天的平均费用为C(T)c1Tc2rT2kr

T, Q的最优结果不变.

对于允许缺货模型, 每天平均费用为:

C(T,Q)1c2Q2c32Tc12r2rrTQkQ

利用CT0,CQ0得T,Q的最优结果为:

222T*2c1c2c3k2c1c3c3krkrrc,Q* 2c3c2c3rc2c2c3c2(c2c3)2c2c3T*,Q*均比不考虑费用k时的结果减小.

didtsii4.（10分）解: dssi

dtdrdti

5. （15分）设鱼群鱼量的自然增长服从Gompertz规律: dxdtrxlnNx, 单位时间的捕捞量为

hEx, 则渔场的鱼量满足:

dxdtrxlnNxEx. 其中x(t)表示种群在t时刻的数量, r表示固有增长率, N表示鱼群的最大容许数量.

(1) 求渔场鱼量的平衡点及其稳定性;

(2) 求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0*.

解: (1)模型为

dxdtrxlnNxEx, 有两个平衡点x0,x0NeE/r,可以证明x0不稳定, x0稳定(与E,r的大小无关). (2) 最大持续产量为

hmrN/e;Emr,x0N/e

6. （10分）按年龄分组的种群增长的差分方程模型中, 设一群动物的最高年龄为18岁, 每6岁一

组, 分为3个年龄组, 各组的繁殖率为b10,b26,b32, 存活率为s112,s124, 开始时3组各1000只.

求 (1) 18年后各组分别有多少只?

(2) 时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布. 解:

043

L1002 1040因为

x(k)Lkx(0)

(1) 18年后,即x(3)L3x(0)14375,1375,875T

(2) L的特征方程为

32380

所以固有增长率为1.5 按年龄组的稳定分布为:

x*(1,s1s1,s2TT2)1,1/3,1/18