第32卷增刊2 岩 土 力 学 Vol.32 Supp.2 2011年8月 Rock and Soil Mechanics Aug. 2011
文章编号：1000－7598 (2011)增刊2－0302－04
双层地基水平受荷桩受力变形分析
张 玲，赵明华，赵 衡
（湖南大学 岩土工程研究所，长沙 410082）
摘 要：基于双层地基中的水平受荷桩的特性，对其受力变形进行了分析。将水平受荷桩视为竖直放置的弹性地基梁，基于Winkler弹性地基梁理论，考虑桩土共同工作得到水平受荷桩位移控制微分方程及其幂级数解答，进而根据内力与位移的连续条件得到了由桩顶受力及变形条件表示任一深度处桩身的水平位移、转角、弯矩及剪力的计算矩阵表达式。通过一具体算例将幂级数解计算结果与《公路桥涵地基与基础设计规范》推荐的简化计算公式计算结果进行了比较。结果表明：当第1层地基土的厚度在某一定值时，《规范》简化计算方法所得结果与幂级数解接近；但当层厚不在该值附近时，两个方法计算结果存在差异。
关 键 词：水平受荷桩；双层地基；Winkler地基模型；幂级数法 中图分类号：TU 473.1 文献标识码：A
Analysis of a laterally loaded pile in a two-layer soil
Abstract: Analytical solutions for vertical piles embedded in a two-layer soil system and subjected to lateral loads were carried out. The pile was regarded as a vertical elastic foundation beam; and then based on the basic concept of the Winkler elastic beam theory, the governing differential equation in terms of pile lateral deflection and its relative semi-analytical solutions by using the power series method were proposed. By considering the deflections and forces continuum conditions along the pile length, a matrix form of pile response at any depth was expressed through the deflections and lateral forces at the pile head. Moreover, the results obtained from the proposed solutions are compared with the results obtained from the simplified calculation solutions suggested by the “Chinese code for design of ground base and foundation of highway bridges and culverts”. The comparative results indicate that when the height of the first soil layer is in the range of some value, the results from these two methods are consistent with each other. Otherwise, there is a difference between the results from these two methods.
Key words：laterally loaded pile; two-layer soil; Winkler foundation model; power series method
ZHANG Ling, ZHAO Ming-hua, ZHAO Heng
(Institute of Geotechnical Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
1 引 言
近几十年来，水平受荷桩广泛应用于公路、铁路桥梁基础、滑坡防治、港工码头以及海洋平台等工程，其相关理论研究也备受国内外众多学者的重视。根据地基反力的假定不同，常见的水平受荷桩分析方法有：极限地基反力法、弹性地基反力法、p-y曲线法以及弹性理论法等。大多数方法是建立在假定桩周土体为单一均质体的基础之上的，未考虑地基的成层性对水平受荷桩受力变形的影响。而实
不同地质年代的环际上天然沉积土通常呈层状构造，
境条件下沉积土层的变形性质往往差异很大。已有地基土的成层性对水平受荷桩结构内研究表明[1–3]，
力与变形有较大影响。因此，多层地基中水平受荷桩的受力变形特性越来越受到人们的关注，不少学我国《公路桥涵地基与基础者对此进行了研究[1–8]。
设计规范》（JTG D63―2007，以下简称《规范》）给出了双层地基水平受荷桩的简化计算公式。《规范》规定当地面或局部冲刷线以下hm=2(d+1)（对h≤2.5 m的情况，取hm=h，其中h为深度；d为桩
收稿日期：2011-04-10
第一作者简介：张玲，女，1982年生，博士研究生，主要从事桩基础及软土地基处理方面的研究工作。E-mail: zhanglhd@yahoo.com
增刊2 张 玲等：双层地基水平受荷桩受力变形分析 303
径）深度内有两层土时，将两层土的比例系数m1、m2按式（1）换算成当量m值，作为整个深度的m值。
m=γm1+(1−γ)m2 （1）
其中：
γ=⎧⎪⎨5(h)2
1/hm , h1/hm≤0.2
（2） ⎪⎩1−1.25(1−h2
1/hm), h1/hm>0.2
本文旨在通过土层分界处桩身内力与位移的连续条件，给出以矩阵形式表达的双层地基水平受荷桩的幂级数解答。
2 基本方程的建立与求解
本文只对地面或局部冲刷线以下的桩身进行分析。如图1所示，桩顶处作用有水平力H0及弯矩M0。为便于分析，根据土层情况将桩分成两段。先对土层1中的桩进行受力变形分析。根据弹性地基反力法，可得桩段1的水平位移x1控制微分方程为
EId4x1
dz
4+q1(z)=0 （3） 式中：EI为桩的抗弯刚度，EI=0.8EcI；Ec为桩身混凝土的抗压弹性模量；I为桩的截面惯性矩；q1(z)为土层1的水平向地基抗力，根据 m 法假定：
q1(z)=m1z （4）
图1 水平受荷桩受力计算模型示意图
Fig.1 Analysis model for a laterally loaded pile
in a two-layered soil system
将式（4）代入式（3），参考文献[9]幂级数求解过程，可得当0≤z≤h1（h1为土层1的厚度）时桩身水平位移x1的幂级数解答：
3
x1(z)=∑(a1jX1j=0
) （5）
j式中：a1j（j = 0，1，2，3）为待定系数，且有：
X1∞
⎫j
=∑⎡C1j,n(z)n
⎤, (n≥0), 0≤z≤h1n=0⎣⎦⎪m⎪
1C1⎪C1j,n−1⎪j,n+4=−EIn+4)(n+3)(n+2)(n+1), (n≥1)⎬（6）
(⎪C11
⎧1 i=j⎪
j,4=0, Cj,i=⎨⎩0 i≠j, j, i = 0, 1, 2, 3⎪⎪
⎭
将式（5）分别代入以下关系式θdx
1=1dz
，
MEId2x1d3x1
1=dz2，H1=EIdz
3，可得0≤z≤h1时桩
身转角θ1、弯矩M1、剪力H1为
⎡⎢1
11⎢θ⎤⎡⎢(X1′1⎥0)(X1
)′(X2
)′(X3
)′⎤⎥⎡a10⎤
⎢M⎥11⎥=⎢
⎢(X1)′′1111⎢EI⎥⎢0(X1
)′′(X2
)′′(X3
)′′⎥⎢⎥⎢
a⎥
1⎥⎢′⎥⎢a⎥（7） ⎢H1⎥⎥⎢⎢(X1′′′⎣EI⎦⎣
0)(X)′′′(X)′′(⎢211X11⎥
1
2
3
)′′′⎥⎥⎦
⎣a3
⎦将z = 0代入式（7），可得
⎡1
0
00⎤⎢a
0⎤⎡1
0⎥⎡x0⎤0⎢a1⎥⎢10⎥⎢⎢θ0⎥
1⎢⎥⎢1=0⎥M⎥⎢a2⎥⎢0
1⎥⎢
⎢0⎥⎢⎥⎢02EI⎥ （8）
⎣a
13
⎥⎢⎦⎢1⎥⎢⎣
00
0
6⎥⎢
⎥⎢H⎥0⎥⎦⎢⎣EI⎥⎦
式中：x0、θ0、M0、H0为桩顶（即z = 0）处产
生的水平位移、转角及作用于桩顶的外加弯矩与水平荷载。
由式（8）可见，待定系数a1j（j = 0，1，2，3）可由桩顶处的位移及受力条件x0、θ0、M0、H0表示。
将式（8）回代到式（5）～（7）中，整理后可得由x0、θ0、M0、H0表示的0≤z≤h1时桩身位移与内力：
⎡x⎢1⎤
⎡u0⎤⎢θ1
⎥
⎢⎢M⎥
⎢θ0⎥⎥⎢1⎥=XX1⎢M0⎥ ⎢EI⎥
⎢EI⎥ （9）
⎢H⎥
⎢⎥1⎢⎥⎣EI⎥⎢H0⎥⎦⎢⎣EI⎥⎦
其中：
304 岩 土 力 学 2011年
⎡⎢X111⎤0X1
111
⎢
2X26
X3⎥⎢(X1)′1⎥
XX1
=⎢0(X1
11
)′
⎢
2
(X1′2)6(X1)′3⎥⎥⎢1（10）⎢
(X1′′0)(X1)′′
11′1
2
(X′2)6( X1′′⎥3)⎥⎢⎥⎢11⎣
(X1′′′0)(X1
)′′′
12
(X1′′′2)6(X1′′′⎥3)⎥⎦
为便于对土层2中的桩进行受力变形分析时，
建立局部坐标系x−ζ，其中ζ=z−h1。在局部坐标系x−ζ中，桩段2的位移控制方程同式（3），但需将z用ζ代替。由ζ表示的土层2的水平抗力为
q2(ζ)=m1h1+m2ζ （11） 同上述式（5）～（9）分析过程，可得
⎡x⎡x2⎢2⎤
0⎢θ⎢⎤⎢θ2⎥2⎥
0⎥⎢M⎥
⎢2⎥=XX2⎢⎢M20⎥ （12）
⎢EI⎥⎢H⎥⎢EI⎥2⎢H2⎥⎢⎣EI⎥
⎥⎦⎢0⎥⎣EI⎥⎦
其中：
⎡⎢X21212⎤0
X2
1X2X3⎢26
⎥⎢⎥
221212XX2=⎢(X′′′′0)(X1)(X2)⎢
26(X3)⎥
⎥⎢X′′（13） 2X2′′1X2′′1X⎢(0)(1)2(2′′⎥2)6(3)⎥⎢⎢⎣(X2′′′0)(X2′′′11)2(X2′1⎥
2)′′6(X23)′′′⎥⎥⎦
X2∞
j
=∑⎡C2(ζ)n
⎤，(n≥0)，0≤ζ≤h2（14） n=0⎣j,n⎦m1h1C2+m2C2
C2j,nj,n+4=−
(EIEIj,n−1
n+4)(n+3)(n+2)(n+1)，(n≥1)（15） m1h1C2
C2=−EIj,0
4×3×2×1；C2⎧1 i=jj,4
j,i=⎨⎩
0 i≠j （j = 0，1，2，3） （16）
式中：x2222
0、θ0、M0、H0为ζ=0，即z=h1处的
桩身水平位移、转角、弯矩及剪力；h2为土层2的厚度。
根据z=h1处的连续条件，有：
⎡x2⎤⎡x1
0h1⎤⎢θ2⎥⎢θ1⎥
⎢0⎢⎢M2⎥=⎢h1⎥1 （170⎥⎢Mh
⎥）
2⎥⎢1H⎢⎣H1⎥⎣0⎦h1⎥⎦
式中：x1111
h1、θh1、Mh1、Hh1为土层1中z=h1处的
桩身水平位移、转角、弯矩及剪力，其值可由式（9）确定：
⎡⎢x1h1
⎤⎡u0⎤⎢θ1⎥
⎢h⎢θ⎥1⎥
⎢M1⎥1⎢0⎥hM
⎢1⎥=XX⎢⎢0⎥⎢EI⎥
EI （18）
⎢H1⎥⎢⎥h⎢H⎥0⎢1⎥
⎣EI⎥⎦⎢⎣EI⎥⎥⎦式中：XX1=XX1
z=h1
。
将式（18）代入式（12）可得
⎡x⎢2⎤
⎡u⎢θ⎢0⎤
2⎥⎢M⎥
⎢θ0⎥⎢2⎥=(XX2
XX1⎢⎥⎢EI⎥)⎢M0⎥⎢EI⎥ （19） ⎢H⎥⎢2⎥⎢H⎥⎣EI⎥⎦
⎢0⎥⎣
EI⎦⎥由式（19）可见，h1≤z≤(h1+h2)处桩身各点的位移与内力也可由桩顶处的x0、θ0、M0、H0来表示。
3 算例分析与讨论
某水平受荷桩桩径 d = 1.20 m，桩入土深度h = 12.0 m，C20的桩身混凝土弹性模量 Ec = 2.75× 104 MPa，地面处基桩所受荷载为H0 = 50 kN，M0 = 300 kN·m。桩周地基土从上到下为两层，上层为稍密粉土，层厚h1 = 4.0 m，m1 = 7 500 kN/m4；下层为角砾层，层厚h2 = 8.0 m，m2 = 50 000 kN/m4。现用本文计算方法对该桩进行受力变形分析，并将结果与《规范》法进行比较，结果如图2～5所示。此外，为进一步研究地基土成层性对水平受荷桩的影响，变化上土层的厚度h1及水平向地基比例系数m1。分析结果同样绘于图2～5。
由图2、3可见，在上下土层厚度比例为某一值时，如本算例h1/h2=1:2时，本文计算结果与《规范》法的简化计算公式所得结果较为接近。但当h1/h2不在这一特定比例附近时，本文计算结果与《规范》法的简化计算公式所得结果有差异。因《规范》法简化计算法是将双层地基比例系数换算成相当于均质土层时的比例系数，再按均质地基求解桩身内力和位移，即将各土层地基比例系数对深度进行加权换算，是个近似解。而本文的幂级数解答，可视为是双层地基水平受荷桩的精确解。因此当
增刊2 张 玲等：双层地基水平受荷桩受力变形分析 305
图2 不同h1情况下本文方法与规范法的桩身水平位移比较
Fig.2 Comparisons of lateral deformations with
various values of h1
图3 不同h1情况下本文方法与规范法的桩身弯矩比较
Fig.3 Comparisons of bending moments with
various values of
h1
h1/h2不在这一特定比例附近时，本文计算结果与《规范》法的简化计算公式所得结果之间的差异，可认为是由于《规范》法近似求解而引起的误差。 由图4、5可见，当上土层水平向地基比例系数m1在5 000～10 000 kN/m4范围内变化时，对桩身受力变形的影响不大，且此时本文计算结果与《规范》法的简化计算公式所得结果非常接近。
图4 不同m1情况下本文方法与规范法的桩身弯矩比较
Fig.4 Comparisons of lateral deformations with
various values of m1
图5 不同m1情况下本文方法与规范法的桩身弯矩比较
Fig.5 Comparisons of bending moments with
various values of m1
4 结 论
（1）将水平受荷桩视为竖直放置的弹性地基 梁，基于Winkler弹性地基梁理论，给出计算双层地基水平受荷桩任意点位移与内力分析的幂级数解答；并将其与《规范》简化计算方法进行比较。
（2）比较结果表明：当第一层地基土的厚度
在某一定值时，《规范》简化计算方法所得结果与幂级数解接近；但当层厚不在该值附近时，《规范》法简化计算公式所得结果存在一定误差。
（3）本文方法便于推广到多层地基以及桩身变截面等情况时水平受荷桩的受力变形分析。
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