口董益芳 （新昌县鼓山中学，浙江新昌 ３１２５００） ２００８年浙江省高考数学理科卷第１７题：若口≥Ｏ，． ｂ≥０，且当｛，１ ≥０，，≥０， 时， 恒有ａｘ＋ｂｙ￣１，则以口，ｂ为坐标 Ｉ ｘ＋ｙ≤１ 的点 ｏ，ｂ）所形成的平面区域的面积等于——． 一、试题分析 １．地位 浙江省２００８年的高考数学卷坚持多角度、多层次的 考查方式，理科试卷难度与去年基本持平，在延续往年分 步设问、分散难点的基础上，进一步体现了多题把关的命 题特点，如理科选择题的第１０题、填空题的第ｌ７题、解 答题的第２２题．第１７题位于填空题最后一题，不管从所 处位置还是难度上都是一道体现“能力”的数学题． ２．创新之处 理科填空题第１７题是“以可行域、含参数的不等式 恒成立为条件，求参数范围问题”，此题看似平淡，由条件 ，Ｙ的范围就知该题属于线性规划问题，人手容易．但“恒 有ａｘ＋ｂｙ＜￣ｌ”的设计与平常的恒成立问题相比有独到之 处：原有的恒成立问题通常如：“肋： ＋ｍ＋３＞－ｏ在Ｒ上 恒成立”，只有一个变量 ，一个参数ｍ，很容易转化为函 数图象恒在 轴上方或分离参数化为求． 的最值问题 去解决．但此处却有两个变量 ，Ｙ及两个参数，很难分离 参数，由于有两个变量也不太容易想到去求最值．此题极 富创意的结构导致如何理解“ｎ≥０，ｂ≥０时，恒有 ＋ ｂｙ≤ｌ”是解决问题的突破口，是考查学生理性思维能力 的重点内容． 二、怎样解题 我们都有这样的经历：一道题，想了很久总也想不出 方法，一看答案却很简单、明了．为了回答“一个好的解法 是如何想出来的”这个令人困惑的问题，波利亚专门研究 了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书， 这本书的核心是他分解解题思维过程得到的一张“怎样 解题”表，包括理解题目、拟订方案、执行方案、回顾四步， 每一步都有自我提问的提示语．下面以前面题目为例，在 波利亚的解题方法的指导下呈现解题过程． １．理解题目——熟悉条件与未知量 ①未知量是什么？（平面区域的面积） ②条件是什么？（满足条件的可行域和恒成立） ③画一张图，引入适当的符号．（如图１） ２．拟订方案——寻找背景性经验 ①你以前见过它吗？（没有） ②你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现 Ｉ ≥０， 吗？（已知 Ｙ满足条件 ≥ｏ， 求ｚ＝ｘ＋２ｙ的最值） ’Ｉ ＋，，≤１． ③你知道一道与它有关的题目吗？（不知道） ④观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相 同或相似未知量的题目．（想不出这样的题目，但实际上 就是求ｎ，ｂ的范围，求一个参数范围的题目倒是有：已知 在ｍ ＿＇垂眦＋ｍ＋３＞＿ｏ在Ｒ上恒成立，求ｍ的取值范围） ⑤这里有一道题目和你的题目有关且以前解过．你 能利用它吗？（好像不能） ⑥你能利用它的结果或方法吗？（分离参数化为最值 问题或转化为函数图象恒在 轴上方） ⑦为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元 素？（添一个辅助元素，令ｚ＝ａｘ＋ｂｙ，但利用线性规划的知 识可以求出ｚ＝ａｘ＋ｂｙ的最值吗？） ⑧你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式 叙述它吗？（若可以求出：的最值，则“恒有ａｘ＋ｂｙ￣１”可 以转化为“ｚ一≤ｌ”，到此思路打通，着手求Ｚ－的最值） ３．执行方案——实现解题计划 执行你的解题方案，检查每一个步骤． 解：令ｚ＝ａｘ＋ｂｙ，直线ｌｏ：ａｘ＋ｂｙ－－Ｏ，直线ｈｘ＋ｙ＝１．由题可 得，对可行域内的（ ，Ｙ）（如图１）恒有ａｘ＋ｂｙ＜￣ｌ，即：≤ｌ，则 、 。 ～≤１． 、 ①当一手＜＿１时，即ａ＞ｂ＞Ｏ．平移 到１ （如图２），使 ｚｔ过点（１，Ｏ）时， 取到最大值ｚ； 则口≤１，此时点（ｎ， ～ ｂ）形成的区域如图３所示 法，是体现这种学习方式的重要途径之一，能从根本上提 高学生的解题能力，是我们数学教学中的一个重要方面． １．自我监控，有效解题 很多学生看到题目应该会有一点想法，但一遇到困难 图４ Ｕ 图５ 图６ 就半途而废，主要是因为缺乏自我监控的能力．所谓数学解 ②当一｝＞＿１时，即６ ≥ｏ．平移ｌ。到ｆ２（如图４）， 使ｆ。过点（Ｏ，１）时，。取到最大值ｚ～＝＝６，则ｂ≤１，此时点 （ａ，ｂ）形成的区域如图５所示． 题的自我监控能力，是指学生为了保证解决问题的高效和成 功，而在整个解题过程中，将解题活动作为意识对象，对其进 行积极主动的计划、调节、检验和管理，从而实现解决问题的 目的．“怎样解题”表中所提问题与建议的重要特点之一是普 遍眭，解题过程中教师要经常有意识地使用表中的问题与建 ③当一｝一１时，即ａ＝ｂ．平移ｆｎ到ｚ（如图１）时，ｚ取 Ｕ 到最大值。 ｌ，满足题意．此时点ａ，ｂ）形成的集合为直 线庐 在第一象限的部分． ④当ｂ＝Ｏ时，Ｚ．￣ＯＮ，在点（１，０）处 取到最大值ｚ＝＝ｎ则 ｏ≤１，此时点（ｎ，ｂ）形成的集合。轴上一条长度为１的线段． 综合（ｉ 鼬可知，以ｏ，ｂ为坐标的点尸（ｎ，６）所形成的 平面区域是边长为ｌ的正方形（如图６），所以答案是１． ４．回顾——反思解题过程 ①你能检验这个结果吗？（现在肯定对了） ②你能以不同的方式推导这个结果吗？（像上述这样的 解法对于填空题总觉得太繁了一点，另外刚才是从ｘ，ｙ的可 行域内求ｚ的最值为切人点考虑问题的，条件“恒有ａｘ＋ｂｙ＜￣ １”是否有另外的转化方法呢？分离参数ａ，ｂ是不可能的，这是 —个线性规划问题，能否转化为函数图象恒在某个区域内成 立？这就出现了第二种解法，使“ａｘ＋ｂｙ＜￣１”恒成立的点（ ，Ｙ） 应在直线ａｘ＋ｂｙ＝ｌ左下方区域内． １ 解：令直线ｍ：ａｘ＋ｂｙ＝ｌ，则直线ｍ过点（＿ｌ，０）、（０， ａ １ ｛一）．因。≥Ｏ，６≥０，则满足ａｘ＋ｂｙ≤１的点（ ，，，）形成的可 行域是直线ｍ：ａｘ＋ｂｙ＝ｌ左下方区域（如图７），现要使题 中的点（ ，ｙ）恒成立，图１中的阴影区域应在直线ｍ：ａｘ＋ 的一…．则 所 即以ｎ，ｂ为坐标的点Ｊｐ（。，ｂ）所形成的平面区域面积为１． ｍ Ｊ Ｊ ｍ １ 囊 一基 ： ；：ｐ ：二三；扫 ： ： 一图７ ８ 三、教学策略 波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻 人思考”．新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式． 在数学解题的过程中，如何优化学生的思维品质，培养学 生思考问题、分析问题的能力，努力启发学生自己发现解 畔， 议，帮助学生解决遇到的问题．通过这样的成功，使学生发现 利用这个表的好处，逐渐学会向自己提出这类程序化问题， 从而养成能够解题的能力． ２．模式识别，有的放矢 解题表的核心是第二步：拟订方案．拟订方案的过程 是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路 的发现过程．波利亚的建议之一：努力在已知与未知之间 找出直接的联系．实际上就是看到条件与未知就能肯定 用哪一种方法，属于哪一种题型，做到有的放矢，这就有 必要掌握一些模式化的知识．如上述的解法１，看到“恒有 ａｘ＋ｂｙ＜．１”，想到解决这类题型的模式是求最值问题．又 如２００８浙江理科卷第２２题：已知数列｛ａ｝，ａ≥ｎ ０ ａ，， －Ｏ ，１ 善ｌ＋０ ＋１－－ｉ＝醒（ Ｅ ）．Ｓｎ＝：ｎ１＋ａ２＋…＋ ， ＝一 ＋ ’ １ １ 叶面．ｎ１） 可・求证，当 ’ 时， 这是一道与自然数ｎ有关的证明题，模式识别 属于数学归纳法题型． ３．及时转身，变更问题 “拟订方案”的过程中若找不出已知与未知的直接联 系，波利亚的第二个建议是：对原来的问题做出某些必要 的变更或修改，引进辅助问题．为此，他又进一步建议：看 着未知数，回到定义上去．在解题过程中思路受阻是一种 常见现象，此时切勿轻言放弃，及时转身，重新表述问题， 考虑相关问题，分解或重新组合问题，或使问题特殊化、 一般化、类比等，多角度、多层次地思考，努力变更问题， 最终总能找到一个解决方案．如上述解法２，将“恒有似＋ ６ｒ≤１”先一般化，满足“ａｘ＋ｂｙ＜￣１”的点（ ， ）是一个可行 域，而已知条件也是一个可行域，现要使ａｘ＋ｂｙ≤ｌ恒成 立，就转化为两个可行域的大小问题，至此问题迎刃而解． ２００８年浙江省高考数学理科卷第１７题以线性规划与 恒成立问题求参数范围结合为载体，设计新颖、简洁，侧重于 考查数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法，突出逻辑 思维能力、分析问题和解决问题能力，对今后中学数学教学 中如何提高学生的解题能力起到了积极的导向作用．
