一、选择题（本题共16个小题，共42分） 1．计算（﹣3）×2的结果是（ ） A．5
B．﹣5 C．6
2
3
3
D．﹣6
2
2．计算（﹣a）+（﹣a）的结果是（ ） A．﹣2a B．0
5
C．2a D．﹣2a
56
3．2017年1月，某公司新开发了一款智能手机，该手机的磁卡芯片直径为0.000001米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣4米 B．1×10﹣5米 C．1×10﹣6米 D．1×10﹣7米 4．如图，在菱形ABCD中，∠DAC=25°，则∠B=（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A．点B与点D 6．若a﹣b=﹣A．
2
2
B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C
，a+b=﹣，则a﹣b的值为（ ）
D．4
B．﹣ C．2
7．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的概率稳定在15%和40%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A．25 B．26 C．29 D．27
1
9．小明买书需用34元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共10张，设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x+10（x﹣50）=34 B．x+5（10﹣x）=34 C．x+5（x﹣10）=34 D．5x+（10﹣x）=34 10．小明拿来n个形状大小完全相同的正方体木块，整齐地摆放在桌上，其三视图如图所示，则n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
，它的对角线OB与双曲线
相交于D且OB：OD=5：
12．如图，已知矩形OABC面积为3，则k=（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
13．如图，AB是⊙O的直径，DC是弦，若∠COB=68°，则∠BDC的度数等于（ ）
A．30° B．32° C．34° D．45°
14．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC
2
等于（ ）
A． B． C． D．
15．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at+bt﹣2（a，b是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
2
A．3.75分钟 B．4.00分钟 C．4.15分钟 D．4.25分钟
16．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21
二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 17．若分式
的值为0，则x的值为 ．
18．若x是整数，且满足不等式组，则x= ．
19．如图，直线l：y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，
以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，照此做法进行下去，点A2017的坐标
3
为（ ， ）．
三、解答题（本大题共7小题，共69分
20．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分多项式，形式如下：
+（a﹣3b）=2a+5b
（1）求所捂的多项式； （2）当a=﹣2，b=
时，求所捂的多项式的值．
2
2
2
21．2014年，河北宣传部主办“河北节约之星”活动，表彰节水先进典型，宣传部号召全社会以节水先进典型为榜样，牢固树立节约用水理念，争做节俭美德的传承者，节约用水的践行者．小鹏想了解某小区住户月均用水情况，随机调查了该小区部分住户，并将调查数据绘制成如图所示的频数分布直方图（不完整）和如下的频数分布表．
月均用水量x（吨）
0＜x≤4 4＜x≤8 8＜x≤12 12＜x≤16 16＜x≤20 20＜x≤24
频数（户）
12 32 b 20 8 4
频率 a 0.32 c 0.2 0.08 0.04
（1）求a，b，c的值，并将如图所示的频数分布直方图补充完整； （2）求月均用水量超过12吨的住户占所调查总住户的百分比；
（3）若该小区有1000住户，根据所调查的数据，该小区月均用水量没有超过8吨的住户有多少？
4
22．如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
23．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为（1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求
的长．
中点，连接BM，CM．
24．如图，长为120km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B，A后立刻返回到出发站停止，速度均为40km/h，设甲车，乙车据南站A的路程分别为y甲，y乙（km）行驶时间为t（h）．
（1）图2已画出y甲与t的函数图象，其中a= ，b= ，c= ． （2）分别写出0≤t≤3及3＜t≤6时，y乙与时间t之间的函数关系式．
（3）在图2中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．
5
25．已知，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）． （1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式； （3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
26．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．
（1）线段BE与AF的位置关系是 ，
= ．
2
（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2
，求旋转角a的度数．
6
2017年河北省中考数学模拟试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共16个小题，共42分） 1．计算（﹣3）×2的结果是（ ） A．5
B．﹣5 C．6
D．﹣6
【考点】有理数的乘法．
【分析】根据有理数乘法法则，求出（﹣3）×2的结果是多少即可． 【解答】解：∵（﹣3）×2=﹣6， ∴（﹣3）×2的结果是﹣6． 故选：D．
2．计算（﹣a）+（﹣a）的结果是（ ） A．﹣2a5 B．0
C．2a5 D．﹣2a6
2
3
3
2
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用幂的乘方运算法则化简，进而利用合并同类项法则计算得出答案． 【解答】解：（﹣a2）3+（﹣a3）2 =﹣a6+a6 =0． 故选：B．
3．2017年1月，某公司新开发了一款智能手机，该手机的磁卡芯片直径为0.000001米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣4米 B．1×10﹣5米 C．1×10﹣6米 D．1×10﹣7米 【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000001=1×10﹣6，
7
故选：C．
4．如图，在菱形ABCD中，∠DAC=25°，则∠B=（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形ABCD中，AC为角平分线，求出∠DAB的度数，再利用两直线平行同旁内角互补即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠DAC=25°， ∴∠DAB=2∠DAC=50°，AD∥BC， ∴∠DAB+∠B=180°， ∴∠B=130°， 故选B．
5．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A．点B与点D 【考点】数轴．
【分析】根据数轴上表示数a的点与表示数﹣a的点到原点的距离相等，即可解答． 【解答】解：由数轴可得：点A表示的数为﹣2，点D表示的数为2， 根据数轴上表示数a的点与表示数﹣a的点到原点的距离相等， ∴点A与点D到原点的距离相等， 故选：C．
6．若a2﹣b2=﹣
，a+b=﹣，则a﹣b的值为（ ） B．点A与点C
C．点A与点D
D．点B与点C
8
A． B．﹣ C．2 D．4
【考点】平方差公式．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a﹣b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=﹣∴a﹣b=， 故选A 7．若式子
+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（ ）
，a+b=﹣，
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；零指数幂；二次根式有意义的条件．
【分析】先求出k的取值范围，再判断出1﹣k及k﹣1的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵式子∴
+（k﹣1）有意义，
0
，解得k＞1，
∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，
∴一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限． 故选C．
8．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的概率稳定在15%和40%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A．25 B．26 C．29 D．27 【考点】模拟实验．
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数． 【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和40%， ∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣40%=45%，
9
故口袋中白色球的个数可能是60×45%=27个． 故选D．
9．小明买书需用34元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共10张，设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x+10（x﹣50）=34 B．x+5（10﹣x）=34 C．x+5（x﹣10）=34 D．5x+（10﹣x）=34 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设所用的1元纸币为x张，则5元的纸币（10﹣x）张，根据题意可得等量关系：1元纸币x张的面值+5元纸币（10﹣x）张的面值=34元钱，根据等量关系可得方程． 【解答】解：设所用的1元纸币为x张，根据题意得： x+5（10﹣x）=34， 故选B．
10．小明拿来n个形状大小完全相同的正方体木块，整齐地摆放在桌上，其三视图如图所示，则n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，分别得到每一行小正方体的个数，相加即可．
【解答】解：综合三视图，第一行第1列有1个，
第一行第2列有2个，第二行第1列有1个，第二行第2列有3个， 一共有1+2+1+3=7（个）． 故选A．
11．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，
10
则∠ACB的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC， 则DC=BD，
故∠DCB=∠DBC=25°， 则∠CDA=25°+25°=50°， ∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACB=180°﹣50°﹣25°=105°． 故选A．
12．如图，已知矩形OABC面积为3，则k=（ ）
，它的对角线OB与双曲线
相交于D且OB：OD=5：
A．6 B．12 C．24 D．36
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值． 【解答】解：由题意，设点D的坐标为（xD，yD）， 则点B的坐标为（xD， yD），
11
矩形OABC的面积=|xD×yD|=∵图象在第一象限， ∴k=xD•yD=12． 故选B．
，
13．如图，AB是⊙O的直径，DC是弦，若∠COB=68°，则∠BDC的度数等于（ ）
A．30° B．32° C．34° D．45° 【考点】圆周角定理．
【分析】直接利用圆周角定理求解即可求得答案．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【解答】解：∵∠COB=68°， ∴∠BDC=∠COB=34°． 故选C．
14．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．
【分析】连接BD，根据中位线的性质得出EF∥BD，且EF=BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，求解即可． 【解答】解：连接BD， ∵E、F分别是AB、AD的中点，
12
∴EF∥BD，且EF=BD， ∵EF=4， ∴BD=8，
∵BD=8，BC=10，CD=6， ∴8+6=10，即BD+CD=BC，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴tanC=
==，
2
2
2
2
2
2
故选：A．
15．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt﹣2（a，b是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．3.75分钟 B．4.00分钟 C．4.15分钟 D．4.25分钟 【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．
【解答】解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p=at2+bt+c， 得：
，
解得：
13
，
即p=﹣0.2t+1.5t﹣2， 当t=﹣故选：A．
16．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
=3.75时，p取得最大值，
2
A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21 【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=出ED=
=
，则EC=8﹣
=，
，在Rt△BED中利用勾股定理计算
=
，然
，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×
后求出两面积的比．
【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8， ∴AB=
=10，
∵把△ABC沿DE使A与B重合， ∴AD=BD，EA=EB， ∴BD=AB=5，
设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，
在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62， ∴x=
，
=，
∴EC=8﹣x=8﹣
14
∴S△BCE=BC•CE=×6×=，
在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2， ∴ED=
=
， =
，
∴S△BDE=BD•DE=×5×∴S△BCE：S△BDE=故选B．
：
=14：25．
二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 17．若分式
的值为0，则x的值为 4 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为零则其分子为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式∴3x﹣12=0， 解得：x=4． 故答案为：4．
18．若x是整数，且满足不等式组【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别解两个不等式得到x＞2和x＜，从而得到不等式组的解为2＜x＜，然后找出此范围内的整数即可． 【解答】解：解①得x＞2， 解②得x＜，
所以不等式组的解为2＜x＜， 所以整数x的值为3．
15
的值为0，
，则x= 3 ．
，
故答案为3．
19．如图，直线l：y=
x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，
以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，照此做法进行下去，点A2017的坐标为（ 0 ， 2
2016
）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．
【分析】首先计算出OA1，A1B1的长，进而得到tan∠B1OA1的值，然后再利用三角函数值计算出OA2、OA3、…进而得到点An（0，2n﹣1），进而得到答案． 【解答】解：由A1坐标为（0，1），可知OA1=1， 把y=1代入直线y=
x中，得x=
，即A1B1=
，
tan∠B1OA1==，所以，∠B1OA1=60°，
则OA2=OB1=OA1÷cos60°=2OA1=2， OA3=2OA2=22，OA4=2OA3=23， 故点An（0，2
n﹣1
）．
因此A2017的坐标为（0，22016） 故答案为：0，22016．
三、解答题（本大题共7小题，共69分
20．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分多项式，形式如下：
+（a﹣3b）2=2a2+5b2
（1）求所捂的多项式；
16
（2）当a=﹣2，b=时，求所捂的多项式的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出多项式的值．
【解答】解：（1）原式=（2a2+5b2）﹣（a﹣3b）2=2a2+5b2﹣a2+6ab﹣9b2=a2+6ab﹣4b2； （2）当a=﹣2，b=
21．2014年，河北宣传部主办“河北节约之星”活动，表彰节水先进典型，宣传部号召全社会以节水先进典型为榜样，牢固树立节约用水理念，争做节俭美德的传承者，节约用水的践行者．小鹏想了解某小区住户月均用水情况，随机调查了该小区部分住户，并将调查数据绘制成如图所示的频数分布直方图（不完整）和如下的频数分布表．
月均用水量x（吨）
0＜x≤4 4＜x≤8 8＜x≤12 12＜x≤16 16＜x≤20 20＜x≤24
频数（户）
12 32 b 20 8 4
频率 a 0.32 c 0.2 0.08 0.04
时，原式=4﹣12
﹣20=﹣16﹣12
．
（1）求a，b，c的值，并将如图所示的频数分布直方图补充完整； （2）求月均用水量超过12吨的住户占所调查总住户的百分比；
（3）若该小区有1000住户，根据所调查的数据，该小区月均用水量没有超过8吨的住户有多少？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【分析】（1）根据4＜x≤8的频数和频率求出总数，再用0＜x≤4的频数乘以总数求出a，
17
用总数减去其它月均用水量求出8＜x≤12的频数，即b的值，用B的值除以总数即可求出c，从而补全统计图；
（2）把月均用水量超过12吨的住户的频率加起来即可得出答案；
（3）用该小区的住户乘以月均用水量没有超过8吨的百分比即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得：则a=
=0.12；
=100（吨），
b=100﹣12﹣32﹣20﹣8﹣4=24； c=
=0.24；
补图如下：
（2）月均用水量超过12吨的住户占所调查总住户的百分比是：0.2+0.08+0.04=0.32=32%；
（3）根据题意得：
1000×（0.12+0.32）=440（户），
答：该小区月均用水量没有超过8吨的住户有440户．
22．如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
18
【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示： （2）四边形ABEF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB， ∴BE=AF， 又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
23．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求
的长．
19
【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可； （2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD， ∴
=
， 中点， ， =
+
，即
=
，
∵M为∴∴
=+
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2， ∴⊙O的周长为4π， ∵∴∴
24．如图，长为120km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B，A后立刻返回到出发站停止，速度均为40km/h，设甲车，乙车据南站A的路程分别为y甲，y乙（km）行驶时间为t（h）．
（1）图2已画出y甲与t的函数图象，其中a= 120 ，b= 3 ，c= 6 ． （2）分别写出0≤t≤3及3＜t≤6时，y乙与时间t之间的函数关系式．
（3）在图2中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．
==
=+
==
， ，
的长=××4π=×4π=π．
20
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到a、b、c的值；
（2）根据题意和（1）中的答案可以分别求得当0≤t≤3及3＜t≤6时，y乙与时间t之间的函数关系式；
（3）根据题意可以画出相应的函数图象，根据函数图象可以得到在整个行驶过程中两车相遇的次数．
【解答】解：（1）由题意可和函数图象可得， a=120，b=120÷40=3，c=2×3=6， 故答案为：120，3，6；
（2）当0≤t≤3时，设y乙与时间t之间的函数关系式为：y乙=kt+b，
，得
，
即当0≤t≤3时，y乙与时间t之间的函数关系式为：y乙=﹣40t+120； 当3＜t≤6时，设y乙与时间t之间的函数关系式为：y乙=mt+n，
，得
，
即当3＜t≤6时，y乙与时间t之间的函数关系式为：y乙=40t﹣120； （3）y乙与t之间的函数图象如右图2所示， 由图象可知，整个行驶过程中两车相遇次数为2．
21
25．已知，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）． （1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式； （3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可． （2）设抛物线为y=ax+bx，则h=﹣
2
22
，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表
示），又抛物线y=tx也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决． （3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2， ∵抛物线经过原点， ∴0=a（0﹣1）2+2， ∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x． （2）∵抛物线经过原点， ∴设抛物线为y=ax+bx， ∵h=﹣
，
2
∴b=﹣2ah， ∴y=ax2﹣2ahx， ∵顶点A（h，k）， ∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，
22
抛物线y=tx也经过A（h，k）， ∴k=th， ∴th=ah﹣2ah， ∴t=﹣a，
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上， ∴k=h﹣h，又k=ah﹣2ah， ∴h=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
∵﹣2≤h＜1， ∴﹣2≤
＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，
综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．
26．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．
（1）线段BE与AF的位置关系是 互相垂直 ，
=
．
（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2
，求旋转角a的度数．
23
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案； （2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案； （3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4﹣（6﹣2﹣
）=2
﹣2，进而得出BH=
﹣1，DH=3
，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直； ∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴AC=2
，
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点， ∴
=
；
；
故答案为：互相垂直；
（2）（1）中结论仍然成立．
证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点， ∴EC=BC，FC=AC， ∴
=
=，
∵∠BCE=∠ACF=α， ∴△BEC∽△AFC， ∴
=
=
=
，
∴∠1=∠2，
延长BE交AC于点O，交AF于点M
24
∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2 ∴∠BCO=∠AMO=90° ∴BE⊥AF；
（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30° ∴AB=4，∠B=60° 过点D作DH⊥BC于H ∴DB=4﹣（6﹣2）=2
﹣2， ∴BH=
﹣1，DH=3﹣
，
又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣
，
∴CH=DH，
∴∠HCD=45°， ∴∠DCA=45°，
∴α=180°﹣45°=135°．
25
26
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