2017届上海市松江区高三上学期期末质量监控(一模)数学试题及答案

上海市松江区2017学年度第一学期高三期末考试

数学试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 1 一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必

须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z满足

z41z0,则z的值为 ▲ ．

2．已知f(x)logax(a0,a1)，且f1(1)2，则f1(x) ▲ ． 3．在等差数列an中，a26,a515,则a2a4a6a8a10 ▲ ．

4．已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则AEBD= ▲ ．

5．在正四棱柱ABCDA1BC1与平面11D1中，BCABCD所成的角为60，则BC1与AC所成的角为

▲ （结果用反三角函数表示）． 6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 ▲ ．

7．按如图所示的流程图运算，则输出的

S ▲ ．

开始a5,S1a4NYSSaaa1第7题

输出S8．已知函数f(x)sin(x)（xR，0）3结束的最小正周期为，将y2f(x)图像向左平

移个单位长度(0)所得图像关于y轴对称，则 ▲ ．

x2y29．已知双曲线21的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，

4b则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ． 10．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 ▲ ． 11．(理)已知函数f(x)1sin2x23cos2x1，若f(x)log2t对xR2恒成立，则t的取值范围为 ▲ ． 11．（文）函数f(x)1sin2x23cos2x1的单调递增区间为 2▲ ．

12．某同学为研究函数fx1x211x20x1的性质，

构造了如图所示的两个边长为1的正方形

ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，

设CPx，则fxAPPF．此时fmax(x)fmin(x)= ▲ ．

13．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有

f(x2)f(x2)，且当x2,0时，

1f(x)1．若函数

2xg(x)f(x)loga(x2)(a1)在区间2,6恰有

3个不同的零点，则

a的取值范围是 ▲ ．

14．（理）在正项等比数列an 中，已知a1a20151，若集合

At111aaat12aaat120,tN，则A中元素个数为 ▲ ．

14．（文）在正项等比数列an 中，已知a1a41，若集合

At111aaat12a1a2at0,tN，则A中元素个数为

▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且

只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知p,qR，则“qp0”是“

p1q”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

2*216．若二项式3x(nN)展开式中含有常数项，则n的最3xn小取值是

A．4 B．5 C．6 D．7

17．设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP则

A．PAPB0 B．PBPC0

C．PCPA0 D．PAPBPC0

18．已知满足条件x2y21的点(x,y)构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2[y]21的点(x,y)构成的平面区域的面积为S2,

[y]分别表示不大于x,y的最大整数，例如：[0.4]1，其中[x]、[1.7]1，则S1与S2的关系是

A．S1S2 B．S1S2 C．S1S2 D．S1S23

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列

各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足

abc,b2asinB．

（1）求A的大小； （2）若a2，b2

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数f(x)axb(a0,a1,bR)． （1）若f(x)为偶函数，求b的值；

（2）若f(x)在区间2,上是增函数，试求a、b应满足的条

件．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6

3，求ABC的面积．

分，第2小题满分8分

沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2(细管长度忽略不计)．

3（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？

3

（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．

h2h3

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5

分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 已知数列an的首项为1，记

12kn(nN*). f(n)a1Cna2CnakCnanCn（1）若an为常数列，求f(4)的值；

（2）若an为公比为2的等比数列，求f(n)的解析式； （3）是否存在等差数列an，使得f(n)1(n1)2n对一切nN*都成立?若存在，求出数列an的通项公式；若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4

分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

（理）对于曲线C:f(x,y)0，若存在最小的非负实数m和

n，使得曲线C上任意一点P(x,y)，|x|m,|y|n恒成立，则称曲

线C为有界曲线，且称点集{(x,y)xm,yn}为曲线C的界域．

（1）写出曲线(x1)2y24的界域；

（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；

（3）已知曲线C上任意一点P(x,y)到定点F1(1,0),F2(1,0)的距离之积为常数a(a0)，求曲线的界域．

（文）对于曲线C:f(x,y)0，若存在非负实数M和m，使得曲线C上任意一点P(x,y)，m|OP|M恒成立(其中O为坐标原点)，则称曲线C为有界曲线，且称M的最小值M0为曲线C的外确界，m的最大值m0为曲线C的内确界．

（1）写出曲线xy1(0x4)的外确界M0与内确界m0； （2）曲线y24x与曲线(x1)2y24是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；

（3）已知曲线C上任意一点P(x,y)到定点F1(1,0),F2(1,0)的距离之积为常数a(a0)，求曲线C的外确界与内确界．

上海市松江区2017学年度第一学期高三期末考试

数学（文理合卷）试卷参

1

一、填空题

11． 2i 2． 2x

3．90 4．2 5． arccos24 6． x22y121

7．20 8． 

129． 5 10．

12,k1 311．(理)(0,1] （文）[k13． （理）4029 （文） 34,2 14．7

二、选择题

15．A 16． D 17．C 18．A

三、解答题 19． 解：（1）b2asinB sinB2sinAsinB……………2分

sinB0sinA5](kZ) 12．521 121 ……………426分

由于abc，A为锐角，A……………6分 （2）由余弦定理：a2b2c22bccosA,

412c2223c32，……………8分

c26c80，c2或c4

由于abc，c4……………10分 所以S1bcsinA23……………12分

220． 解：（1）即axbxbf(x)为偶函数，∴对任意的

分

xR，都有

f(x)f(x)，……………2

a xbxb ……………4分

xbxb，……………8xbxbxb得 b0。……………6分 （2）记h(x)分

①当a1时，f(x)在区间2,上是增函数，即h(x)在区间

2,上是增函数，

∴b2，b2……………10分

②当0a1时，f(x)在区间2,上是增函数，即h(x)在区间

2,上是减函数但h(x)在区间b,上是增函数，故不可

能……………12分

∴f(x)在区间2,上是增函数时，a、b应满足的条件为a1且b2……14分 21．

解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为H2816，底面半径为r248……………2分 333311816Vr2H39.71……………53333V0.021986（秒）

2分 2h3h所以，沙全部漏入下部约需1986秒。……………7分 （2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为H

11024V42H……………12381H2.372.4 27分

锥形沙堆的高度约为2.4cm. ……………14分22． 22．

解:（1）∵an为常数列，∴an1(nN).

1234∴f(4)C4C4C4C415……………4分

（2）∵an为公比为

an2n1(nN).……………6

2的等比数列，∴

分

123n∴f(n)Cn， 2Cn4Cn2n1Cn

123n∴12f(n)12Cn，(12)n3n……………822Cn23Cn2nCn分 故

3n1f(n). ……………10

2分

f(n)1(n1)2n对一切

（3）假设存在等差数列an，使得

nN*都成立，设公差为

d，则

12kn1n ……………12f(n)a1Cna2CnakCnan1CnanCn1且f(n)anCnnan1Cnn1akCnka2Cn2a1Cn， 12kn1相加得 2f(n)2an(a1an1)(CnCnCnCn)， 12kn1CnCnCn) ∴f(n)ana1an1(Cn分

2ana1an1n(22)1(n1)d2(n2)d(2n11). 2∴f(n)1(d2)2(n2)d2n1(n1)2n恒成立， 即

(d2)(d2)(n2)2n10

nN恒成立，∴

d2.……………15分

故an能为等差数列，使得f(n)1(n1)2n对一切nN都成

立，它的通项公式为an2n1....................... 16分

（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 23． （理）（1）(x1)2y24 (x1)24,y24

1x3,2y2  界域为{(x,y)||x|3,|y|2}……………

4分

（2）设P(x,y)，则2x2y2|x1|3 ……………6分 分

4x41x1化简，得：y ……………8

168x1x21x2,22y22  界域为{(x,y)||x|2,|y|22} ……………10分

（3）由已知得： (x1)2y2(x1)2y2a……………12分

x22x1y2x22x1y2(x2y21)24x2a

4x2a2(x21)

(x2y21)24x2a2 y2 y20,4x2a2x21 (x21)24x2a2

(x21)2a2 1ax2a1 |x|分

t2a2令t4xa,x42222a1 y24x2a2(x21)， ……………14

t2a21a2a22yt(1)(t2)

4444a2当t2，即x142时，等号成立．

时，y2maxa2a22若0a2，1[1a,1a]，x144|y|a24

a ……216分

a2a22若a2，10，x144，x0时，y2maxa1

|y|a1  曲线C界域为：

①0a2时，{(x,y)||x|②a2时，{(x,y)||x|

23．（文） （1）曲线

aa1,|y|}

2a1,|y|a1}……………18分

xy1(0x4)的外确界

M05与内确界

m02．………42分

（2）对于曲线y24x，设P(x,y)为曲线上任意一点 |OP| x2y2x24x(x2)24(x0) |OP|[0,)

曲线

y24x不是有界曲

线． ……………7分 对于曲线(x1)2y24 |OP|x2y2x24(x1)22x3(1x3) |OP|[1,3]

曲线(x1)2y24是有界曲线．外确界M03与内确界

m01…………10

分

由

已

知

得

：

（分 3）

(x1)2y2(x1)2y2a ……………12

x22x1y2x22x1y2(x2y21)24x2a

4x2a2(x21)

(x2y21)24x2a2 y2 y20, |OP|14分

若0a1，则内

………16分

若a1，0x2a1，则 综合得：外确界M0a14x2a2x21 (x21)24x2a2

(x21)2a2 1ax2a1

x2y24x2a21 ……………

1a4x2a21a1，外确界M0a1，确界

m01a ……

4x2a21a1，外确界M0a1，内确界m0a1 内确界m0|a1|．……………a1，

18分