三角函数练习题附答案

一、填空题

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，

222若4bSabca，则sinA+sinC的最大值是____________．

2．平面向量ai满足：ai1(i0,1,2,3)，且ai0．则a0a1a2a0a1a3a0a2a3的

i13取值范围为________．

3．已知三棱锥PABC中，APB2，PAPB3，AC5，BC4，且平面3PAB平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．

4．已知单位向量e1，e2与非零向量a满足3e1e222，ae1e20，则

aa3e12e2的最大值是______.

5．已知函数f(x)2sin(x)(0，||)的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(大值是___________.

14)上单调，则的最,0)对称，若f(x)在区间(,3336

6．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了

exex这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为coshx，并称其为双曲余弦函

2数．若coshsincoscoshmsincos对0,恒成立，则实数m的取值范

2围为______．

7．若函数fx___________.

41xsin2xacosx在,内单调递增，则实数a的取值范围是338．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边PMN，使得点A，P位于直线MN的两侧，则PNPB的最小值为______．

9．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足PAPC122的点P有__________个. 2

10．已知OB1，A,C是以O为圆心，22为半径的圆周上的任意两点，且满足π0()，则平面向量OA在BC方向上的，设平面向量与的夹角为OAOBBABC04投影的取值范围是_____.

二、单选题

11．

12sin2xa,xa2已知函数fx，若函数fx在0,内恰有5个零点，则ax22a1xa22,xa的取值范围是（ ） 75A．,

4275C．,2,3

427B．,2 475D．,22,

4212．已知点P是曲线y值范围是（ ） A．0,

64上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取xe3C．,

63πD．0,

3

B．,

6213．已知asin0.1，bA．cba

0.30.9，c2，则（ ） ππB．abc

1C．acb

1iD．cab

x214．设函数f1xx1，fxe2，f3xsin2x，ai，i0、1、2、

2399、99.记Ikfka1fka0fka2fka1（ ） A．I1I2I3 C．I1I3I2

锥外接球的表面积为（ ） A．

92 7fka99fka98，k1、2、3，则

B．I3I2I1 D．I2I1I3

15．在三棱锥ABCD中，ABADBC2，CD13，AC22，BD3，则三棱

B．9 C．

184 7D．18

16．在三棱锥ABCD中，ACAD5,ABCD2,BCBD2，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A．210 5B．210 3C．25 36D．25 17．函数f(x)2sin(2x)(2)的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，

函数gx23cos2x．若关于x的方程fxgx2在0,内有两个不同的解

，，则cos的值为（ ）

A．5 5B．5 5C．25 5D．255

18．函数f(x)exaxxcos(x1)，当x0时，f(x)0恒成立，则a的取值范围为（ ） A．0,

B．1e,

C．,e

D．e,

x11,x019．若函数fxsinx,0x1，满足fafbfcfdfe且a、

3x3,x1b、c、d、e互不相等，则abcde的取值范围是（ ）

4A．0,log3

99B．0,log3

44C．0,log3

33D．0,log3

420．在ABC中，AB2，D,E分别是边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，若

OC3OB，则ABC面积的最大值为（ ）

A．3 B．33 C．63 D．93 三、解答题

21．如图，四边形ABCD是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即RtABF,RtBCG,RtCDH和RtDAE），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路AE,BF,CG,DH. 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a元，修路每1百米的费用为a元，其中a为正常数．设FAB，0,.

4

（1）用表示该工程的总造价S；

（2）当cos为何值时，该工程的总造价最低？ 22．在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

33bsinAacosB22（1）求A；

20，且sinA6sinBsinC. （2）若bca(R)，求的值.

23．已知函数f(x)sinxcosxcosxa的最大值为1.

63（1）求常数a的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间； （3）求使f(x)0成立的实数x的取值集合.

924．已知向量a(sinx,1),b(sinx,cosx)， 设函数f(x)ab,x0,．

82（Ⅰ）求fx的值域

（Ⅱ）设函数fx的图像向左平移

个单位长度后得到函数h(x)的图像，若不等式2f(x)hxsin2xm0有解，求实数m的取值范围．

25．已知函数fxsin2x3cos2x.

（1）求函数fx的最小正周期及对称中心坐标； （2）若20，f1，求sin2的值.

2226．已知函数f(x)sin2x2tsin2xt6t1，x,，最小值为

44242gt.



（1）求当t1时，求f的值；

8

（2）求gt的表达式；

1t1时，要使关于t的方程g(t)k2t9有一个实数根，求实数k的取值范围. 227．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数

（3）当fx2sinxAcosxsinA，且当x5时，fx取最大值. 12（1）若关于x的方程fxt，x0,有解，求实数t的取值范围；

2（2）若a5，且sinBsinC43，求ABC的面积. 533xx28．已知向量acosx,sinx，bcos,sin，且x0,

22222（1）求a·b及|ab|；

3（2）若f(x)ab|ab|，求f(x)的最小值

229．函数f(x)Asin(x)1（A0,0）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之

6间的距离为

， 2（1）求函数f(x)的解析式；

π（2）设(0,)，则f()2，求的值

2230．函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜（1）求A，ω，φ的值；

（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f（α）=2，求α的值．

）的部分图象如图所示 2

【参】

一、填空题

1．

2．23,4

983．28 4．53 35．11

6．12,1

7．[4242,] 338．

9．18

1410．2525, 55二、单选题 11．D 12．A 13．A

14．D 15．A 16．A 17．D 18．B 19．C 20．C 三、解答题

321．（1）S()16a(13sin6sincos)，0,；（2）当cos时，S()16af()44取得最小值 【解析】

(1)根据题意可知BF4sin,AF4cos,进而求得SRt【详解】

（1）在RtABF中,FAB,AB4,所以BF4sin,AF4cos. 由于RtABF,RtBCG,RtCDH和RtDAE是四个完全相同的直角三角形,所以

AEBFCGDH4sin,EFFGGHHE4(cossin),

ABF与S正方形EFGH再求得总造价S即可.

(2)由(1)有S()16a(13sin6sincos),再求导分析函数的单调性与最值即可.

所以SRtABF11AFBF4cos4sin8sincos, 22S正方形EFGHEF242(cossin)216(12sincos).

所以S()48sincos10a16(12sincos)13a44sina

16a[20sincos(12sincos)13sin] 16a(13sin6sincos),0,. 4（2）由（1）记f()13sin6sincos,0,.

4则f()cos6(cos2sin2)12cos2cos612(cos)(cos). 32令f()0,因为0,,所以cos或cos(舍).

4343记cos0,所以当(0,0)时,f()0,f()单调递减；

43423当(0,)时,f()0,f()单调递增. 所以当cos43时,f()取得极小值,也是最小值, 4又a0,所以当cos【点睛】

3时,S()16af()取得最小值. 4本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题.

22．（1）A【解析】 【分析】

3；（2）6. 2（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tanA3，结合A(0,)，可得A的值；

（2）由已知根据余弦定理可得2a2a23bc，利用正弦定理可得a26bc，联立即可解得λ的值． 【详解】

3（1）3bsinAacosB223sinBcosAsinAsinB003bcosAasinB0， B(0,)sinB0，

tanA3,A(0,)A3；

（2）sin2A6sinBsinCa26ac，

a2b2c22bccosBb2c2bc(bc)23bc，而bca(R)， a2(a)23bc，而a26ac，所以有2362206. 2【点睛】

本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数算能力.

422k,2k,kZ.（3）x|2kx2k,kZ 23．（1）a1（2）333【解析】

（1）化简f(x)，求最大值，即可求解；

（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （3）运用正弦函数图像，即可求解. 【详解】 解：f(x)sinxcos6cosxsin6cos3cosxsin3sinxcosxa

3113sinxcosxcosxsinxcosxa 2222312sinx2sinxcosxa3sinxcosxaa. 262（1）函数f(x)的最大值为2a1，所以a1. （2）由解得22kx622k,kZ，

22kx2k,kZ， 3322k,2k,kZ. 所以f(x)的单调递增区间为33（3）由（1）知f(x)2sinx1.

6因为f(x)0，即2sinx10.

61所以sinx，

62所以所以72kx2k,kZ. 662kx2k,kZ， 342kx2k,kZ. 所以使f(x)0成立的x的取值集合为x|3【点睛】

本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.

124．（Ⅰ）,819,（Ⅱ） 84【解析】

（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数fx的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；

（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得hx的解析式，要使f(x)hxsin2xm0在x0,有解，即不等式mfxhxsin2x在x0,有解，令

22yfxhxsin2x求出函数的最小值，即可得实数m的取值范围．

【详解】 解：（1）

fxsin2xcosx29911cos2xcosxcos2xcosx 88811fxcosx，

28 x0,

20cosx1

11fx 881fx的值域为,81 812（2）函数fxcosxcosx的图像向左平移个单位长度后得到函数hx的图

82像，

11hxcos2xcosxsin2xsinx，

2288依题意，不等式mfxhxsin2x在x0,有解，

25设yfxhxsin2xcosxsinxsin2x

45y2sinxcosxcosxsinx,x0,，

42令tcosxsinx2cosx,422x0,t1,1， 211则yttt,t1,1

42函数yfxhxsin2x的值域为,0.

949 mymin

49故实数m的取值范围为,.

4【点睛】

本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题. 1k,0kZ；（2）. 25．（1）最小正周期为，对称中心坐标为226【解析】 【分析】

（1）利用辅助角公式先将函数yfx的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数

yfx的最小正周期，令2x3kkZ，解出x的表达式可得出对称中心坐标；

1（2）由f1得出sin2，结合角的范围求出的值，代入sin2并结合诱

32导公式求出sin2的值． 【详解】 （1）

13fxsin2x3cos2x2sin2xcos2x2 2 2sin2xcoscos2xsin2sin2x，

333所以，函数yfx的最小正周期为令2x2， 23kkZ，解得xkkZ， 26k,0kZ； 因此，函数yfx的对称中心坐标为26（2）1f2sin21，得sin2，

3230，22，2，得2， 33336621因此，sin2sinsin．

626【点睛】

本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．

25t5t426．（1）4（2）g(t)6t1t28t2【解析】 【分析】

1t21（-，）（-22，） t1（3）

2(t1)1（1）直接代入计算得解；（2）先求出sin(2x)[,1]，再对t分三种情况讨论，结合

42二次函数求出gt的表达式；（3）令h(t)g(t)k2t9，即h(t)(k26)t10有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】

2（1）当t1时，f(x)sin2x2tsin2x4，所以

44f4. 8（2）因为x[31,]，所以2x[,]，所以sin(2x)[,1] 242442f(x)[sin(2x)t]26t1（x[,]）

24241512当t时，则当sin(2x)时，[f(x)]mint5t

2424当1t1时，则当sin(2x)t时，[f(x)]min6t1 242当t1时，则当sin(2x)1时，[f(x)]mint8t2

425t5t4故g(t)6t1t28t2（3）当1t21t1 2(t1)1t1时，g(t)6t1，令h(t)g(t)k2t9即h(t)(k26)t10 211h()0h()0 22欲使g(t)kt29有一个实根，则只需或h(1)0h(1)0解得k-2或k2.

. （-，）（-22，）所以k的范围：【点睛】

本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 27．（1）(【解析】 【分析】

（1）利用两角和差的正弦公式整理fx可得：fxsin(2xA)，再利用已知可得：

1333. ,1]；（2）4225A2k（kZ），结合已知可得：A，求得：x(0,)时，122323sin(2x)1，问题得解. 23343可得：(bc)，结合sinBsinC105（2）利用正弦定理可得：sinBsinCbc8，对a边利用余弦定理可得：a2b2c22bccosA，结合已知整理得：bc13，

再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】

解：（1）f(x)2sin(xA)cosxsinA

2sin(xA)cosxsin[x(xA)]

2sin(xA)cosxsinxcos(xA)cosxsin(xA)

sinxcos(xA)cosxsin(xA)

sin(2xA).

因为f(x)在x所以25处取得最大值， 125A2k，kZ, 122即A2k3,kZ. 因为A(0,)，所以A3，

所以f(x)sin(2x).

32因为x(0,)，所以2x(,)

2333所以3sin(2x)1， 233因为关于x的方程f(x)t有解，所以t的取值范围为(,1]．

2（2）因为a5，A于是sinBsinC又sinBsinC3，由正弦定理

bca10=， sinBsinCsinA33(bc)． 1043，所以bc8. 5由余弦定理得：a2b2c22bccosA，

整理得：25b2c2bc，即25(bc)23bc3bc， 所以bc13，

1133. 所以SABCbcsinA24【点睛】

本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题． 28．（1）见解析； （2）17. 8【解析】 【分析】

（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a·b； 运用平面向量的坐标运算公式求出ab，然后求出模．

（2）根据上（1）求出函数fx的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值． 【详解】

3x3x（1）abcosxcossinxsincos2x

22223x3xabcosxcossinxsin 22cos2x2cos2x 2222∵x0,∴cosx0∴ab2cosx

222317（2）fxcos2x3cosx 2cosx13cosx2cosx

4822317∵x0,∴0cosx1∴cosxfxmin

482【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．

29．（1）f(x)2sin(2x)1.；（2）.

63【解析】 【详解】

（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期

2222，

6∴f（x）=2sin（2x-）+1 π（2）(0,)，f（）=2

22∴2sin（21-）+1=2,得sin（-）=2，=

266330．（1）A2,1,（3）

π7π或. 2424πππ7π；（2）a,b1，递增区间为kπ,kπkZ；

36612【解析】 【分析】

（1）利用函数图像可直接得出周期T和A，再利用=然后利用待定系数法直接得出的值．

（2）通过第一问求得的值可得到fx的函数解析式，令fx=0，再根据a的位置确定出a的值；令x0得到的函数值即为b的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．

（3）令f2结合α【详解】

解：（1）由图象知A=2，得T=π， 即

2=2，得ω=1， 20，π即可求得的取值．

2T，求出，

3T59=-（-）=， 412312又f（-

）=2sin[2×（-）+φ]=-2， 33得sin（-即-

2+φ）=-1， 32+φ=-+2kπ， 32+2kπ，k∈Z， 6∵|φ|＜，

2∴当k=0时，φ=，

6即A=2，ω=1，φ=；

6T7（2）a=--=--=-，

3434121b=f（0）=2sin=2×=1，

26∵f（x）=2sin（2x+），

6∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

262得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

36即函数f（x）的递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；

36（3）∵f（α）=2sin（2α+）=2，

6即ω=即sin（2α+

2）=， 62∵α∈[0，π]，

13]， ∈[，6663∴2α+=或，

47∴2α+∴α=

24或α=

24．

【点睛】

关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；

1相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期．

4关于正弦函数单调区间要掌握：

当x2k,2k时，函数单调递增；

223当x2k+,2k时，函数单调递减．

22