物理解题方法：微元法习题综合题附答案解析

一、高中物理解题方法：微元法

1．雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象．为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15mm，查询得知，当时雨滴落地速度约为10m／s，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg／m3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为 A．0.25N 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

由于是估算压强，所以不计雨滴的重力．设雨滴受到支持面的平均作用力为F．设在△t时间内有质量为△m的雨水的速度由v=10m/s减为零．以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F△t=0-（-△mv）=△mv．得：F=

B．0.5N

C．1.5N

D．2.5N

mv；设水杯横截面积为S，对水杯里的雨th．压强为：t水，在△t时间内水面上升△h，则有：△m=ρS△h；F=ρSv

Fh151033Pv11010N/m20.25N/m2，故A正确，BCD错误．

St1060

2．水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点，得到广泛应用．某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为d的水流以速度v垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零，已知水的密度为ρ，则钢板受到水的冲力大小为

A．d2v 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

B．d2v2 C．dv

142D．dv

1422设t时间内有V体积的水打在钢板上，则这些水的质量为：

1mVSvtd2vt

4以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为F，以水运动的方向为正方向，由动量定理有：

Ft=0-mv

解得：

FA. d2v与分析不符，故A错误． B. d2v2与分析不符，故B错误． C. dv与分析不符，故C错误． D. dv与分析相符，故D正确．

mv1d2v2 t41421422

3．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆， 登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s，风速大小为v，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F与风速大小v关系式为( ) A．F =ρsv 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

设t时间内吹到建筑物上的空气质量为m，则有：

m=ρsvt

根据动量定理有：

-Ft=0-mv=0-ρsv2t

得：

F=ρsv2

A．F =ρsv，与结论不相符，选项A错误； B．F =ρsv2，与结论相符，选项B正确； C．F =ρsv3，与结论不相符，选项C错误； D．F=

B．F =ρsv2

C．F =ρsv3

D．F=

1ρsv2 21ρsv2，与结论不相符，选项D错误； 2故选B。

4．下雨天，大量雨滴落在地面上会形成对地面的平均压强。某次下雨时用仪器测得地面附近雨滴的速度约为10m/s。查阅当地气象资料知该次降雨连续30min降雨量为10mm。又知水的密度为110kg/m。假设雨滴撞击地面的时间为0.1s，且撞击地面后不反弹。则此压强为（ ） A．0.06Pa 【答案】A

B．0.05Pa

C．0.6Pa

D．0.5Pa

33【解析】 【详解】

取地面上一个面积为S的截面，该面积内单位时间降雨的体积为

h10103mVSS

t3060s则单位时间降雨的质量为

mV

撞击地面时，雨滴速度均由v减为0，在Δt0.1s内完成这一速度变化的雨水的质量为

mt。设雨滴受地面的平均作用力为F，由动量定理得

[F(mt)g]t(mt)v

又有

p解以上各式得

F Sp0.06Pa

所以A正确，BCD错误。 故选A。

5．打开水龙头，水顺流而下，仔细观察将会发现连续的水流柱的直径在流下的过程中，是逐渐减小的（即上粗下细），设水龙头出口处半径为1cm，安装在离接水盆75cm高处，如果测得水在出口处的速度大小为1m/s，g=10m/s2，则水流柱落到盆中的直径 A．1cm 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

设水在水龙头出口处速度大小为v1，水流到接水盆时的速度v2，由v2v12gh得：

v2=4m/s

设极短时间为△t，在水龙头出口处流出的水的体积为

22B．0.75cm C．0.5cm D．0.25cm

V1v1tr12

水流进接水盆的体积为

2d2 V2v2t4由V1=V2得

2d2 v1trv2t421代入解得：

d2=1cm．

A．1cm，与结论相符，选项A正确； B．0.75cm，与结论不相符，选项B错误； C．0.5cm，与结论不相符，选项C错误； D．0.25cm，与结论不相符，选项D错误；

6．位于光滑水平面上的小车受到水平向右的拉力作用从静止开始运动，已知这一过程中拉力大小由F1随时间均匀增大到F2，所用时间为t，小车的位移为s，小车末速度为v。则下列判断正确的是（ ） A．小车增加的动能等于B．小车增加的动能大于C．小车增加的动量等于D．小车的位移小于【答案】BCD 【解析】 【详解】

AB．因为拉力大小由F1随时间均匀增大到F2，而小车做加速运动，位移在单位时间内增加的越来越大，所以若将位移s均分为无数小段，则在每一小段位移内F增加的越来越慢，如图所示（曲线表示题所示情况，直线表示拉力随s均匀变化情况），而图像的面积表示拉力做的功。

1F1F2s 21F1F2s 21F1F2t 21vt 2

其中拉力随s均匀变化时，拉力做功为：

W1F1F2s， 21F1F2s，根据动2故当拉力大小由F1随时间均匀增大到F2时（曲线情况），做功大于能定理可知小车增加的动能大于

1F1F2s，A错误B正确； 2C．因为拉力是随时间均匀增大，故在t时间内拉力的平均值为：

F所以物体动量增加量为：

1F1F2， 2pC正确；

1F1F2t， 2D．根据牛顿第二定律可知在力随时间均匀增大的过程中物体运动的加速度逐渐增大，即

vt图像的斜率增大（图中红线所示，而黑线表示做匀加速直线运动情况）。

根据vt图像的面积表示位移可知小车的位移小于故选BCD。

1vt，D正确。 2

7．如图1所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为

的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差

的水平面上．以弧形导轨

的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立Ox坐标轴．圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场B（t），如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场B（x），如图3所示；磁场B（t）和B（x）的方向均竖直向上．在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场B（t）开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间t0金属棒恰好滑到圆弧导轨底端．已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g.

（1）求金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E；

（2）如果根据已知条件，金属棒能离开右段磁场B（x）区域，离开时的速度为v，求金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q；

（3）如果根据已知条件，金属棒滑行到x=x1位置时停下来， a.求金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q； b.通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置． 【答案】（1）L2B0/t0（2）【解析】

试题分析：（1）由图看出，左段区域中磁感应强度随时间线性变化，其变化率一定，由法拉第电磁感应定律得知，回路中磁通量的变化率相同，由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势．

（2）根据欧姆定律和焦耳定律结合求解金属棒在弧形轨道上滑行过程中产生的焦耳热．再根据能量守恒求出金属棒在水平轨道上滑行的过程中产生的焦耳热，即可得到总焦耳热． （3）在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B0的一瞬间，在很短的时间△t内，根据法拉第电磁感应定律和感应电流的表达式，求出感应电荷量q．再进行讨论． 解：（1）由图2可：

=

+ mgL/2-mv2（3）金属棒在x=0处，感应电流最大

=L2

=L2

根据法拉第电磁感应定律得 感应电动势为：E=

=

（2）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热为：Q1=金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律得：mg=

金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为Q2，根据能量守恒定律得：Q2=

﹣

=mg﹣

+mg﹣

．

所以，金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热为：Q=Q1+Q2=（3）a．根据图3，x=x1（x1＜x）处磁场的磁感应强度为：B1=

设金属棒在水平轨道上滑行时间为△t．由于磁场B（x）沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律△t时间内的平均感应电动势为：=

=

=

所以，通过金属棒电荷量为：q=△t=△t=

b．金属棒在弧形轨道上滑行过程中，感应电流为：I1==

金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以，此过程中，金属棒刚进入磁场时，感应电流最大．刚进入水平轨道时，金属棒的速度为：v=

所以，水平轨道上滑行过程中的最大电流为：I2=若金属棒自由下落高度，经历时间t=

=

，显然t＞t

所以，I1=＜==I2．

综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大． 答：（1）金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E是L2

．

（2）金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q为（3）a．金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q为

+mg﹣． ．

b．金属棒在全部运动过程中金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．

【点评】本题中（1）（2）问，磁通量均匀变化，回路中产生的感应电动势和感应电流均恒定，由法拉第电磁感应定律研究感应电动势是关键．对于感应电荷量，要能熟练地应用法拉第定律和欧姆定律进行推导．

8．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量,后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知,一定的质量m与一定的能量E相对应：E=m c2，其中c为真空中光速．

(1)已知某单色光的频率为v,波长为λ,该单色光光子的能量E=hv,其中h为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度,推导该单色光光子的动量

p= .

h(2)光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I表示．

一台发光功率为PO的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S.如图所示，真空中，有一被固定的“∞”字形装置，其中左边是圆形黑色的大纸片，右边是与左边大小、质量均相同的圆形白色大纸片．

①当该激光束垂直照射到黑色纸片中心上,假设光全部被黑纸片吸收,试写出该激光在黑色纸片的表面产生的光压I1的表达式．

②当该激光束垂直坪射到白色纸片中心上,假设其中被白纸反射的光占入射光的比例为η,

其余的入射光被白纸片吸收,试写出该激光在白色纸片的光压I2的表达式． 【答案】(1)见解析；(2)I1=【解析】 【分析】

（1）根据能量与质量的关系，结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量p＝P01P0 ；I2= cSCSh．

（2）根据一小段时间△t内激光器发射的光子数，结合动量定理求出其在物体表面引起的光压的表达式． 【详解】

（1）光子的能量为 E=mc2 根据光子说有 E=hν=hc

光子的动量 p=mc可得 pEh． c（2）①一小段时间△t内激光器发射的光子数 光照射物体表面，由动量定理得-F△t=0-np 产生的光压 I1=解得 I1nP0thc

F SP0 cS②假设其中被白纸反射的光占入射光的比例为η，这些光对物体产生的压力为F1，（1-η）被黑纸片吸收，对物体产生的压力为F2． 根据动量定理得 -F1△t=0-（1-η）np -F2△t=-ηnp-ηnp 产生的光压 I2联立解得 I2【点睛】

本题要抓住光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的关键．

F1F2 S1P0

cS

9．同一个物理问题，常常可以宏观和微观两个不同角度流行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地汇理解其物理本质.

(1)如图所示，正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为V，且与器壁各面碰撞的机会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识．

a.求一个粒子与器壁碰撞一次受到的冲量大小I；

b.导出器壁单位面积所受的大量粒子的撞击压力f与m、n和v的关系．(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)

(2)热爱思考的小新同学阅读教科书《选修3-3》第八章，看到了“温度是分子平均动能的标志，即TaEa，(注：其中，a为物理常量，Ea为分子热运动的平均平动动能)”的内容，他进行了一番探究，查阅资料得知：

第一，理想气体的分子可视为质点，分子间除了相互碰撞外，无相互作用力； 第二，一定质量的理想气体，其压碰P与热力学温度T的关系为Pn0kT，式中n0为单位体积内气体的分子数，k为常数.

请根据上述信息并结合第(1)问的信息帮助小新证明，TaEa，并求出a；

(3)物理学中有些运动可以在三维空间进行，容器边长为L；而在某些情况下，有些运动被在平面(二维空间)进行，有些运动被在直线(一维空间)进行．大量的粒子在二维空间和一维空间的运动，与大量的粒子在三维空间中的运动在力学性质上有很多相似性，但也有不同．物理学有时将高维度问题采用相应规划或方法转化为低纬度问题处理．有时也将低纬度问题的处理方法和结论推广到高维度．我们在曲线运动、力、动量等的学习中常见的利用注意分解解决平面力学问题的思维，本质上就是将二维问题变为一维问题处理的解题思路．

若大量的粒子被在一个正方形容器内，容器边长为L，每个粒子的质量为m，单位面积内的粒子的数量n0为恒量，为简化问题，我们简化粒子大小可以忽略，粒子之间出碰撞外没有作用力，气速率均为v，且与器壁各边碰撞的机会均等，与容器边缘碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器边垂直，且速率不变.

a.请写出这种情况下粒子对正方形容器边单位长度上的力f0(不必推导)； B．这种情况下证还会有TEa的关系吗?给出关系需要说明理由． 【答案】（1）a.2mv b. f2nmv2（2）证明过程见解析；a关系不再成立． 【解析】 【分析】

412（3）f0＝n0mv ；k2【详解】

（1）a.一个粒子与器壁碰撞一次由动量定理：Imv(mv)2mv； b.在∆t时间内打到器壁单位面积的粒子数：Nnvt 由动量定理：ftNI 解得f2nmv2

（2）因单位面积上受到的分子的作用力即为气体的压强，则由（1）可知p2n0mv 根据P与热力学温度T的关系为P=n0 kT， 则2n0mv=n0kT， 即T224224mvEa=aEa 其中a

kkk（3）考虑单位长度，∆t时间内能达到容器壁的粒子数 1×v∆tn0， 其中粒子有均等的概率与容器各面相碰，即可能达到目标区域的粒子数为

1vtn0 41nvt2mvp401由动量定理可得：

f0＝＝＝n0mv2tt2此时因f0是单位长度的受力，则f0的大小不再是压强，则不会有TEa关系.

10．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知，一定的质量m与一定的能量E相对应：Emc2，其中c为真空中光速．

（1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量Eh，其中h为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量

ph．

（2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I表示．

一台发光功率为P0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S．当该激光束垂照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式． 【答案】（1）见解析（2）【解析】

试题分析：（1）根据能量与质量的关系，结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量pP0 cSh；（2）根据一小段时间t内激光器发射的光子数，结合动量

定理求出其在物体表面引起的光压的表达式． （1）光子的能量Emc2，Ehhc

pmc，可得p光子的动量 Eh c（2）一小段时间t内激光器发射的光子数

nP0tc hFtnp 光照射物体表面，由动量定理 产生的光压IPF解得：I0 ScS