专题(三)一二次函数与平行四边形的存在性问题

（1）线段中点坐标公式：在平面坐标系中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则AB的中点的坐标为（

x1x2yy2，1） 222题型一：已知三个定点，求一个动点

例题：如图，二次函数yaxbx的图象经过点A（1，1）、B（4，0）两点 （1）求这个二次函数的解析式；

（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形 是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

解：（1）y

（2）如图，可找到有三种情况，

点M的坐标可为（3，1）、（5，1）、（3，1）

题型二：已知两个定点，求两个动点

例题：如图，在平面直角坐标系中，把抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M． （1）求A、B、C的坐标

（3）点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使以

点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 分析：

（1）A、B、C的坐标为（-1，0）、（3，0）、（0，-3） （2）分两种情况讨论：

①当AB为平行四边形的一边时，如图1，

因为PQ//AB且PQAB，所以点P的横坐标为4 当x4时，y5 当x4时，y21

①当AB为平行四边形的对角线时，如图2，

因为平行四边形对角线互相平分，所以AB、PQ共中点 AB的中点的横坐标为

2124xx 33131， 20m1 22所以有m2，当x2时，y22233 所以点P的坐标为（2，3），所以得点Q的坐标为（0，3） 综上所述：点Q的坐标为（4，5）、（4，21）、（0，3）

设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为0，则有

练习1：已知抛物线yx4x5与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标；

（3）若平面直角坐标系中存在一点M，使得以点A、B、C、M四点 （4）为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点M的坐标。

练习2：如图，抛物线y直线x1

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标。

练习3：如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为x轴上一动点，在抛物线是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由。

212，且对称轴为xmxn与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1）

35）三点 2