全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十五)
第十五单元 平面解析几何初步
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.经过圆C:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且倾斜角为 的直线方程为
D.x+y+3=0
解析:由点斜式得所求直线方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0. 答案:C
2.“a=3”是“直线ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若两直线平行,则有a=3且c≠-2,应选B. 答案:B
3.已知圆C:x2+y2-2x-2y=0,且圆中过点(2,3)的最短弦为AB,则直线AB在x轴上的截距为
A.-6
B.2
C.4
D.8
- - ·=-1,解得m=8. - -
A.x-y+3=0 B.x-y-3=0 C.x+y-1=0
C.充要条件
解析:设直线AB与x轴的交点为(m,0),∵圆心坐标为(1,1),∴答案:D
4.设直线过点(0,a),其斜率为 ,且与圆(x-2)2+y2=4相切,则正数a的值为
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:设切线方程为y=x+a,即3x-4y+4a=0.由题意得答案:A
=2,又a>0,得a=1.
5.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与曲线y= - (0A.(0, ) B.(- ,0)C.(0, )
D.(0,5)
解析:由题意知直线和圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,且圆与x轴和y轴的正半轴的交点分别为(1,0)、(0, ),所以0答案:A6.直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是
A.[,π) B.[0,] C.[0, ]∪( ,π)
D. [ , ∪[ ,π)
≥-1,且k<0,
解析:∵a2+1≥1,,∴直线的斜率一定存在,易得直线的斜率k=-∴该直线的倾斜角的取值范围是[答案:A
,π).
7.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是
A.(x+4)2+(y+2)2=20 C.(x+2)2+(y+1)2=5
B.(x-4)2+(y-2)2=20 D. (x-2)2+(y-1)2=5
解析:直线OP垂直平分线段AB,直线y=2过点P且与圆x2+y2=4相切,设△OAB的外接圆的圆心坐标为(a,b),则b=1且=,得a=2,则所求圆的半径r= ,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
答案:D
8.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是
A.2 B.2 C.3
D.4
解析:∵两圆在点A处的切线互相垂直,∴OA⊥O1A. 又|OA|= ,|O1A|=2 ,∴|OO1|=5. ∴AB=2×
· =2×=4.
答案:D
9.已知☉C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,直线l:4x+3y+c=0(c<-2)与x、y轴分别相交于A、B两点,点P(x,y)(xy>0)是线段AB上的动点,如果直线l与圆C相切,则log3x+log3y的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵直线l与圆C相切,∴
=1(c<-2),得c=-12,则4x+3y=12,
∵xy>0,∴x>0,y>0,则4 ≤12,即xy≤3,∴log3x+log3y=log3xy≤log33=1. 答案:A
10.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析:∵四边形OAMB为平行四边形,∴四边形OAMB为菱形,∴△OAM为等边三角形,且边长为2,则可得弦AB的长为2 ,又直线过定点N(0,1),且过N的弦的弦长最小值为2 ,此时此弦平行x轴,即k=0.
答案:C
11.已知三条直线x-2y+1=0、x-1=0、2x+y-m=0将圆面(x-1)2+(y-1)2≤1划分为七部分,则实数m的取值范围是
A.(1,4)
B.(2,4) C.(2,3)∪(3,4) D.(1,3)∪(3,4)
解析:直线x-2y+1=0与x-1=0的交点为(x-1)2+(y-1)2=1的圆心(1,1),且直线x-2y+1=0与2x+y-m=0垂直.设直线x-1=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的交点分别为A、B(A在B的上方),当直线2x+y-m=0与线段AB(A、B以及圆心(1,1)除外)相交时,圆面被三条直线分成七部分,又A(1,2)、B(1,0),所以2答案:C12.已知斜率存在且过点A(-1,0)的动直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,M是 等于 PQ中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N,则 ·
A.-6
B.-5
C.-4 D.-2
=( + )· = · + · = · . 解析:∵CM⊥AN,∴ ·
设直线l的方程为y=k(x+1),则由
- - - 得N(,),则
=(- ,- ),∴ = · =- +- =-5. ·
答案:B
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.两直线3x+y- m=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为 .
解析:由两直线平行得m=2,把3x+y-3=0变化为6x+2y-6=0,则d=
- - =.
答案:
14.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点,圆心为P,若∠APB=120°,则c的值等于 .
解析:圆心P横坐标为2,由题意易得圆的半径为4,即5-c=16,得c=-11. 答案:-11
15.过直线l:y=2x上一点P作圆C:(x-8)2+(y-1)2=2的切线l1、l2,若l1、l2关于直线l对称,则点P到经过原点和圆心C的直线的距离为 .
解析:∵直线l不过圆C的圆心,l1,l2关于直线l对称,∴直线PC与l垂直.设点P(x,2x),则有解得x=2,即点P的坐标为(2,4),又∵直线OC的方程为x-8y=0,∴点P到直线OC的距离d= - =. -
=-, -
答案:
16.设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*),则下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ．④所有的圆均不经过原点. ．
其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)
解析:∵圆C1与C2是内含关系,故①错;圆心为(k-1,3k),半径为 k2,圆心在直线y=3(x+1)上,所以直线y=3(x+1)必与所有的圆相交,②正确;∵圆Ck的半径可以无限大,故③错;若存在圆过原点(0,0),则有(-k+1)2+9k2=2k4⇒10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,④正确.
答案:②④
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a、b的值. (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解析:(1)由已知可得l2的斜率必存在,∴k2=1-a. 若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率k1必不存在,即b=0. ∴直线l1的方程为x+4=0,
但l1不过点(-3,-1),与已知相矛盾, 所以这种情况不存在,即k2≠0. 若k2≠0,即k1、k2都存在.
∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,∴k1·k2=-1, 即(1-a)=-1. ①
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. ② 由①、②联立,解得a=2,b=2.6分
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在, ∴k1=k2,即=1-a. ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2, ∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b. ④
由③、④联立解得 或
-
∴a、b的值分别为2、-2或、2.10分
18.(本小题满分12分)
已知☉O的圆心为原点,与直线x+3y+10=0相切,☉M的方程为(x-8)2+(y-6)2=4,过☉M上任一点P作☉O的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)若直线PA与☉M的另一交点为Q,当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程; · 的最大值与最小值. (2)求
解析:(1)易得☉O的方程为x2+y2=10,由题可知当直线PA过圆M的圆心(8,6)时,弦PQ最大,因为直线PA的斜率一定存在,设直线PA的方程为y-6=k(x-8),又∵PA与圆O相切,∴圆心(0,0)到直线PA的距离为 ,即 - = ,可得k=或k=,
∴直线PA的方程为x-3y+10=0或13x-9y-50=0.6分 (2)设∠AOP=α,且∠AOP=∠BOP,则∠AOB=2α, 则cos ∠AOB=2cos2α-1=2(
2
)-1= -1,
=| ∴ · |·| |cos∠AOB=
-10,
∵|OP|max=10+2=12,|OP|min=10-2=8,
)max=-,( · )min=-∴( ·
19.(本小题满分12分)
.12分
已知圆C:(x+2)2+y2=4,相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0).
(1)当a=2时,若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切,求圆M的方程; (2)当a=-1时,求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值,并求此时直线l1的方程.
解析:(1)设圆M的半径为r,易知圆心M(1,m)到点A(2,0)的距离为 r,
- ∴
解得r=2且m=± ,∴圆M的方程为(x-1)2+(y± )2=4.5分
(2)当a=-1时,设l1、l2被圆C所截得弦的中点分别为E,F,弦长分别为d1,d2. ∵四边形AECF是矩形,∴CE2+CF2=AC2=1,
即[4-()2]+[4-()2]=1,化简得 + =28,
从而d1+d2≤ · =2 ,等号成立⇔d1=d2= ,
∴d1=d2= 时,(d1+d2)max=2 ,
即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为2 ,
此时d1= ,显然直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x+1),则
,∴k=±1,
= -
∴直线l1的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.12分
20.(本小题满分12分)
已知圆C:(x+4)2+y2=16和点F(-6,0),G是圆C上任意一点.
(1)若直线FG与直线l:x=-4交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;
(2)在平面上是否存在定点P,使得对圆C上任意的点G有 = ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:(1)由题意,设G(-5,yG),代入(x+4)2+y2=16,得yG=± , 所以FG的斜率为k=± ,FG的方程为y=± (x+6). 所以C(-4,0)到FG的距离为d=
,
=7. ……………………………5分
直线FG被圆C截得的弦长为2 -
(2)设P(s,t),G(x0,y0),则由=得=,
- -
整理得3( + )+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0, ① 又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上,所以 + +8x0=0, ②
②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0,
又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知
- -
解得s=-12,t=0,
所以在平面上存在一定点P,其坐标为(-12,0).12分
21.(本小题满分12分)
已知以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为坐标原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N,若OM=ON,求圆C的方程.
解析:(1)∵圆C过原点O,∴OC2=t2+ . 设圆C的方程是(x-t)2+(y-)2=t2+ , 令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,
∴S△OAB=OA×OB=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.5分 (2)∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=,∴直线OC的方程是y=x,
∴=t,解得t=2或t=-2,
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC= , 此时C到直线y=-2x+4的距离d= < ,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点. 当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC= , 此时C到直线y=-2x+4的距离d=圆C与直线y=-2x+4不相交, ∴t=-2不符合题意,舍去.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.12分
> , 22.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直,且AC和BD分别在x轴和y轴上. (1)求证:F<0;
· =0,求D2+E2-4F的值; (2)若四边形ABCD的面积为8,对角线AC的长为2,且
(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G,OH⊥AB且垂足为H.试判断点O、G、H是否共线,并说明理由.
解析:(1)由题意,原点O必定在圆M内,即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边后的值小于0,于是F<0.3分
(2)四边形ABCD的面积S=
·
,∵S=8,|AC|=2,可得|BD|=8.
· 又∵ =0,∴∠A为直角.
∵四边形是圆的内接四边形,∴|BD|=2r=8⇒r=4. 对于方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
所表示的圆,可知+-F=r2,
∴D2+E2-4F=4r2=.7分
(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d),
=(,). 则可得点G的坐标为(,),即
=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G、O、H三点共线,只需证 · 又 =0即可. · 而 =
-
,且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当y=0时,可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标, 于是有xAxC=ac=F.
同理,当x=0时,可得y2+Ey+F=0,其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标, 于是有yByD=bd=F.
-
=0,即AB⊥OG.
· ∴ =
故O、G、H必定三点共线.12分
