2018-2019学年度第一学期期末调研测试
高三数学（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，则
（ ）
A. B.
C. 【答案】D 【解析】 【分析】
D.
解一元一次不等式求得的范围，然后求两个集合的交集. 【详解】由
，解得
.故
.故选D.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集等知识，属于基础题. 2.已知复数
（为虚数单位），则
D.
（ ）
A. 2 B. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数除法运算化简为【详解】依题意，
的形式，由此求得.
，故
，故选B.
【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的知识和运算，属于基础题. 3.已知向量
，
，若
，则实数的值为（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】
【分析】 由题得【详解】因为故选D.
【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=4.已知双曲线
,=
，则||的充要条件是
.
，解方程即得解. ，由
，得
，解得x=2，
的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 【答案】A 【解析】 【分析】
B. C. D.
根据离心率得到，由此计算得，进而求得双曲线渐近线方程.
【详解】由于双曲线离心率为所以选A.
，故，解得，故双曲线的渐近线方程为.
【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 5.若
，
，
，则的最大值为（ ）
A. 25 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
将等价变换后，利用基本不等式求得最大值. 【详解】依题意
，当且仅当
时等号成立，故选D.
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6.函数
的图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7.已知A. 若C. 若
是两条不同的直线，，，
，则，则
是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
，，
，则，则
为奇函数，舍去A,
B. 若 D. 若
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，直线有可能在平面呢，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行与它们的交线，故B选项错误.对于C选项，
可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D
选项正确.故选D.
【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题. 8.为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 将
转化为
，由此判断出正确选项.
【详解】由于，故需向左平移后得到的图像.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题. 9.在各项均为正数的等比数列A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】
由等比数列的性质可得b5＝2,再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】已知
,由等比数列的性质可得
，
中，若
，则
（ ）
又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2． 则故选：D．
【点睛】本题考查等比数列的性质力与计算能力，属于中档题． 10.在边长为2的等边A. 【答案】B
B.
中，是 C.
的中点，点是线段 D.
上一动点，则
的取值范围是（ ）
（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能
＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．
【解析】 【分析】
以为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，代入【详解】画出图像如下图所示，以
，所以
时取得最大值为，当
时取得最小值为
分别为
，化简后求得取值范围.
设
，故当
或
轴建立平面直角坐标系，故
，根据二次函数的性质可知，对称轴
，故
的取值范围是
.故选B.
【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积
的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.由于题目所给几何体是等边三角形，所以可以通过建立平面直角坐标系的方法，写出各点的坐标，利用数量积的坐标表示求得数量积的表达式，然后利用二次函数的图像与性质求得最值也即求得取值范围. 11.已知圆：取一点，则该点落在A.
B.
C.
与轴负半轴交于点，圆与直线：内的概率为（ ） D.
交于
两点，那么在圆内随机
【答案】A 【解析】 【分析】 利用弦长公式求得
，利用点到直线的距离求得到直线
的距离，由此求得三角形
的面积，根据
几何概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】圆心到直线的距离为
，圆的半径为
，故
，点
到直线
的
距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线
和圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式圆的半径，是圆心到直线12.设函数
的距离. ，则满足
的的取值范围是（ ）
求解，其中是
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】当除B选项.当
时，时，
，由此排除D选项.当
时，
，由此排
，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.
【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.曲线【答案】【解析】
在点
处的切线方程为_____．
【分析】 先求得曲线在点【详解】
处切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程. ，所以
，且切线的斜率为，由点斜式得
，即
.
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线的点斜式方程，属于基础题.要求曲线在某点处的切线方程，要先求得曲线在切点的斜率，斜率是利用导数求得.直线的点斜式方程为
，其中为斜率，即
14.实数，满足【答案】-11 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】画约束条件
可行域如图： ，且
.填空题，切线方程可写为一般式或者斜截式. ，则的最小值为_____．
目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，即斜率为3，截距为﹣z的动直线， 数形结合可知，当动直线过点C时，z最小 由
得C（﹣4，-1）
∴目标函数z＝3x﹣y的最小值为z＝-12+1＝-11． 故答案为：-11
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标
函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15.三棱锥
的外接球为球，球的直径是
，且
，
都是边长为2的等边三角形，则球
的表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件
中求得直径【详解】由于条公共边为
是球的直径，所以
的中点为球心，根据直径多对的圆周角为直角，在等腰直角三角形
的长，进而求得球的表面积. 是球的直径，故
的中点为球心.由于直径所对的圆周角是直角，且
是等腰直角三角形，故
是有一
，所以求的表面积
的等边三角形，故三角形.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球
的表面积计算问题，关键是找到球心和求出球的半径，属于基础题. 16.如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，边
.则四边形
的面积最大值为_____．
，为半圆上任意一点，以
为一边作等
【答案】【解析】
【分析】 设
，利用表示出四边形
，由余弦定理得
积取得最大值为
.
面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值.
，所以四边形的面积，故当
，时，面
【详解】设设
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的方法，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列（1）求数列（2）设
的首项
，且，10，构成等差数列.
的通项公式； ，
，求
.
【答案】(1) 【解析】 【分析】
(2)
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.
（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得数列的前项和. 【详解】（1）因为，10，构成等差数列，所以又因为数列所以（2）因为所以
为等比数列，
；
， ，
，设其公比为，那么
，
，解得
，
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列
、通项公式和前项和，考查裂项求和
，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合，进而求得数列其它的一些量的值.
18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分.为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为
，
，
，
九组，整理得到如图频率分布直方图.
，
，
，
，
，
（1）求直方图中的值； （2）从当天购物数额在
，
的顾客中按分层抽样的方式抽取6人.那么，从这6人中随机抽取
2人，则这2人积分之和不少于240分的概率. 【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）利用小长方形面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）利用列举法列出所有的基本事件，求得“积分之和不少于
分”的事件数，根据古典概型概率计算公式求得所求的概率. (2)
【详解】（1）各组的频率分别为0.04，0.06，，，，0.2，，0.08，0.02 ∴化简得，解得，
内应抽取4人，记为，每人的积分是130分；
每人的积分是110分；
（2）按分层抽样的方法，在在
内应抽取2人，记为
从6人中随机抽取2人，有
共15种方法.
所以，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的有
共9种方法.
设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分为事件，则
.
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查利用列举法求解古典概型问题，属于中档题. 19.如图，四棱锥
中，
平面
，
为等腰直角三角形，且
，
.
（1）求证：（2）若
； ，求四棱锥
的体积.
【答案】(1)见证明；（2）1 【解析】 【分析】 （1）通过证明其次证得
平面
，证得
，由此得到
的体积.
平面
，
. ，所以，.① ，，平面
②
平面，
，所以平面
，
. 平面
，
，且
.
，
平面
，
平面
，
，
平面平面
，所以，
平面
. ，
平面
，由此证得
.(2)首先证得
平面
，
，从而得到四边形是直角梯形，并求得面积，利用椎体
体积公式计算得四棱锥【详解】（1）因为又因为所以因为
平面平面
，
（2）因为所以因为又因为所以
平面平面
由①②得因为因为
， ，所以四边形，
，所以
是直角梯形，
又因为平面，所以
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四棱锥体积的计算，属于中档题. 20.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用椭圆的定义求得，根据焦点求得，结合直线
斜率存在时，设出直线
求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）当
（2）见证明
（均异于点），求证：直线
和
，且椭圆经过点
.
的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用
斜率不存在时，根据椭圆的
列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线
对称性，证得直线过定点. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为
，
∴∴∴
所以，椭圆的标准方程为.
（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程
消去得，
，，
，
又由即，
得
， ，∴
，
，
∴∴
，
当当
.解得： ，且均满足的方程为的方程为
，
， ，直线过定点，直线过定点
，
，与已知矛盾； .
，易得直线：，此时直线
，
时，直线时，直线
②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为：
，直线，分别与椭圆交于点
，
斜率不存在，
也过定点
综上所述，直线恒过定点
【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系以及判别式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.直线和圆锥曲线相交有关的题目，直线的斜率是否存在，这是首先要考虑的，要分为斜率存在和不存在两种情况讨论. 21.已知函数（1）当
时，求函数
都有
，
的最小值；
成立，求实数的取值范围.
（
且为常数）.
（2）若对任意
【答案】(1) (2)
【解析】 【分析】 （1）当
时，先求得函数
的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.，将原不等式恒成立问题，转化为
求解.利用
的导数，研究函数
（2）构造函数的单调性，求得【详解】（1）当令
时，
的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围. 的定义域为
， . ，解得
.
的导数
；令
，解得
从而在单调递减，在单调递增.
所以，当时，取得最小值.
（2）令那么，对于任意
都有，且
，只须
即可，
记
由已知又因为所以，
，所以对于任意
，所以
，
，都有在
上单调递增，
恒成立，
由所以，当
，解得，
都有
成立.
时，对任意
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数
，将问题转化为
的最小值为非负数求解.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为
.
（为参数），
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）直线与曲线在第一象限内的交点为，过点的直线交曲线于线的斜率.
【答案】(1) 的极坐标方程【解析】 【分析】
（1）对于，根据圆心和半径，得出其极坐标方程，对于，利用
,曲线的普通方程
(2)-4
两点，且
的中点为，求直
消去参数，化简为直角
坐标方程.（2）求出直线的参数方程，代入得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义列方程，由此求得直线的斜率. 【详解】（1）曲线的圆心极坐标为
，半径为1，所以，其极坐标方程为
.
由题意得：，，曲线的普通方程.
（2）当时，，，所以，
于是直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），
代入的普通方程，整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点由韦达定理得：
所以，直线的斜率为-4.
【点睛】本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查参数方程化为直角坐标方程，考查直线的参数方程的几何意义，属于中档题. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数（1）当
.
时，求不等式
的解集；
在内，设，
对应的参数为，，则
，
.
.
（2），使得，求的取值范围. (2)
或
.
【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；（2）不等式而得到a的范围. 【详解】（1）当①当②当③当
时，时，时，
，
的解集为
，
，
，于是，
或
，所以，
或
.
时，
，，
，令，矛盾. ，所以，
.
. ，
有解，即
,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从
，所以.
综上所述，不等式（2）由题意得：因为，所以，
有解，
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题型.
