经验分布函数及其应用

经验分布函数定义

，xn是总体(离散型、定义：设x1，x2，或连续型，分布函数F(x)

未知)的n个观测值，按大小顺序可排成x1*x2*xn*。若xk*＜x＜x*k1，则不超过x的观测值的频率为函数，就等于在n次重复试验中事件{x}的频率。

0,xx1

kFnx=,xkxxk1,k1,2,……,n1

n1,xxn

我们称此函数Fnx为总体的经验分布函数或样本分布函数。

简单性质：

1.对于每一组观测值ixi，i1,2,……,n，

Fnx单调，非降，左

连续且在xxi，i1,2,……,n点有间断点，在每个点的跳跃值都是

1

n。

2.显然3.

0Fnx1

，具有分布函数的其他性质。

Fnx，xn的函数，是一统计量，即为一随为样本x1，x2，

，xn相互且有相同的分布函数机变量，由于x1，x2，

次其余nk次不发生的额概率，即有：

kknkk

PFnk(x)CnF(x)1F(x)n

Fx，

因而它等价于n次重复试验的伯努利概型中事件{x}发生k

4.格列汶科定理

Fn

设总体的分布函数为F(x)，经验分布函数为



x，对于任何实

数x，记

DnsupFnxFxx

PlimDn01n

则有



其中Dn也为一统计量用来衡量Fnx与F(x)之间在所有的x的值

上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量Dn以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。

经验分布函数的收敛性

经验分布函数在统计中有着非常重要的作用,是理论分布函数与实际数据间的桥梁,本科教材中已经指出,当样本容量足够大时,经验分布函数依概率收敛于总体分布函数,所以,统计推断才得以以样本为依据,而得到合理的结果。而事实上,经验分布函数与总体分布函数还有更进一步的收敛关系,下简单介绍之

我们采用R语言中ecdf(stats)函数，ecdf()所属R语言包：stats，

1234plot(ecdf(c(rnorm(10000))),do.points=FALSE,verticals=TRUE,main=\"模拟正态分布的经验分布函数\")mtext(\"样本容量为10000\以下用的是采用数学方法画出经验分布函数的代码：

123456dat=rnorm(10000)x=density(dat)$xy=density(dat)$ydx=diff(density(dat)$x)[1]plot(x,cumsum(y*dx),main=\"模拟正态分布的经验分布函数\")mtext(\"样本容量为10000\经验分布函数是一个随机变量，而经验分布函数的观测值就是普通意义上的分布函数，它具有分布函数的一切性质。