第六章.抽样与抽样分布习题解(习题六)1.从总体X中抽取容量为5的样本，得数据如下：－1.5，2.8，1.4，0，1.4，据此写出X的样本分布函数.解：把样本数据顺序排列为：－1.5，0，1.4，1.4，2.8，则由样本分布函数的定义，题设样本的分布函数为：⎧0⎪1/5⎪⎪F5(x)=⎨2/5⎪4/5⎪⎪⎩1,(x<−1.5),(−1.5≤x<0),(0≤x<1.4),(1.4≤x<2.8),(x≥2.8)2.从总体X中抽取样本x1,x2,…,xn，用x表示样本均值，试证：(1).∑(xi−x)=0；(2).∑(xi−C)2在C=x时达最小.证明：(1).∑(xi−x)=∑xi−nx=nx−nx=0；(2).设f(C)＝∑(xi−C)2＝∑(xi2−2Cxi+C2)＝∑xi2−2nCx+nC2，求解对C的导数方程：f′(C)=2nC−2nx=0，得唯一驻点C＝x，而且，当Cx时，f′(C)>0，∴C＝x是使f(C)取极小值的点，故∑(xi−C)2在C=x时达最小.3.考察幼林胸径，任意抽取10株作为样本，得数据如下(单位：厘米)：3.0，2.0，5.5，5.0，3.0，6.5，7.0，4.0，4.0，6.0，试计算样本均值、方差、修正方差.解：样本均值：-1-x＝1(3.0×2+2.0+5.5+5.0+6.5+7.0+4.0×2+6.0)=4.6；10122x−nx∑in样本方差：S2=＝12(3×2+22+5.52+52+6.52+72+42×2+62)−10×4.6210＝2.49；样本修正方差：S∗=2n210S=×2.49≈2.77.n−194.设总体X～N(0,0.32)，从中抽取容量为15的样本x1,x2,…,x15，求概率P(∑xi2>2.25).解：∵x1,x2,…,x15是来自总体X的样本，∴xi～N(0,0.32)，从而有标准化随机变量：yi=xi～N(0，1)，(i＝1,2,…,15),于是由χ2-分布定义有：0.31152χ=∑y=xi～χ2(15)，∑0.09i=1i=122i15∴P(∑x>2.5)＝P(0.09∑y>2.25)=P(∑yi2>25)≈0.05.2i2i1515I=1i=12(注：求P(χ2>χα(15)=25),在χ2-分布上侧临界值表中，由自由度n＝15，2及χ2-分布上侧临界值χα(15)=25，反找概率α值，即为所求概率).5.对0<α<1，试证F1−α(m,n)=1，并利用此式求F0.90(28,2)的值.Fα(n,m)证明：设P{F(m,n)>F1−α(m,n)}=1−α------------------①及P{F(n,m)>Fα(n,m)}=α，则应用F-分布性质(1)有：-2-⎧1⎫P{F(n,m)>Fα(n,m)}=P⎨>Fα(n,m)⎬⎩F(m,n)⎭⎧⎫1＝P⎨F(m,n)<⎬=1−Fα(n,m)⎭⎩⎧⎫1P⎨F(m,n)>⎬=α，Fα(n,m)⎭⎩⎧⎫1从而得：P⎨F(m,n)>⎬=1−α-------------------②F(n,m)α⎩⎭于是比较①、②便得：F1−α(m,n)=1/Fα(n,m).求F0.90(28,2)的值：F0.90(28,2)＝11==0.4.F0.1(2,28)2.50-3-
