中点弦问题

1. 中点弦问题(点差法)(总6页)

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圆锥曲线常规题型方法归纳与总结

①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题

圆锥曲线的中点弦问题------点差法

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

x2y2如：（1）221(ab0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，

ab则有

x0y02k0。 2abx2y2（2）221(a0,b0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)

ab则有

x0y0k0 a2b2- 2 -

（3）y=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

2

经典例题讲解 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦例1、过椭圆1所在直线的方程。

解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)

 M(2,1)为AB的中点 x1x24 y1y22 又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216 两式相减得(x1x2)4(y1y2)0 于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

22222222y1y2xx4112 x1x24(y1y2)42211即kAB，故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40。

22y21，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交例2、已知双曲线x22于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题

设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)

则x1x22，y1y22

yy2x111，x221

22222- 3 -

两式相减，得

1yy2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0 kAB12

2x1x2故直线AB:y12(x1)

y12(x1)由2y2 消去y，得2x24x30

x12 (4)242380

这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点

M平分的弦可能不存在。

二. 求弦的中点坐标、弦中点轨迹

1y2x21的一条弦的斜率为3，它与直线x的交点恰为这例3、已知椭圆27525条弦的中点M，求点M的坐标。

解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x01 2x1x22x01 ， y1y22y0

yxyx又 111，221

752575252222两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0

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即2y0(y1y2)3(x1x2)0 y1y23 x1x22y0 ky1y2133，即y0 3  22y0x1x211点M的坐标为(,)。

22y2x21,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 例4、已知椭圆7525解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则

x1x22x， y1y22y

yxyx又 111，221

752575252222两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0 即y(y1y2)3x(x1x2)0，即

y1y23x

x1x2y ky1y23x3，即xy0 3 yx1x2xy053535353,)Q(,) 由y2x2，得P(122227525点M在椭圆内

它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为xy0(三.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

5353x) 22例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y3x2截得的弦

的中点的横坐标为

1，求椭圆的方程。 2y2x2解：设椭圆的方程为221，则a2b250┅┅①

ab- 5 -

设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则

x011，y03x02 x1x22x01，y1y22y01 222222yxyx又12121，22221 abab两式相减得b2(y1y2)(y1y2)a2(x1x2)(x1x2)0 即b2(y1y2)a2(x1x2)0

a2y1y2a2  23┅┅② 

bx1x2b2联立①②解得a275，b225

y2x21 所求椭圆的方程是7525四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

x2y21，试确定的m取值范围，使得对于直线y4xm，例6、已知椭圆43椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y4xm的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中点，则3x14y112，3x24y212 两式相减得，3(x1x2)4(y1y2)0 即3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

22222222x1x22x，y1y22y，

y1y21

x1x24y3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。 它与直线y4xm的交点必须在椭圆内

y3xxm3联立，得 则必须满足y23x2，

4y4xmy3m- 6 -

3213213即(3m)23m2，解得 m41313五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

习题实战 1.直线yx1与椭圆

x29y231相交于A、B两点，则AB中点坐标

2.已知，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线的方程是x=b，倾斜角为

11的直线l交椭圆C于A、B两点，且线段AB的中点为(,)，求椭圆

244C的方程.

3. 已知双曲线x2y221，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交

于A、B两点，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由

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4.已知又曲线线C的渐近线方程y3x，其一个焦点为F1(10,0). （1）求双曲线的方程；（2）是否经过B1(0,3)的直线l，使得直线l与双曲线线C交于A、B两点，且以AB为直径的圆经过B2(0,3)若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

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