特色课程学习单
古埃及的单位分数
班级： 座号： 姓名：
若说从美索不达米亚留下来的数学是我们今日数学发展的起始点，那么同为四大古文明的印度、中国、埃及在数学方面的文化遗产充其量只能说是数学中小游戏－需要大量计算、充满智慧的小游戏。
“目前我们对古埃及数学的认识，主要是来自两卷用埃及僧侣文写成的纸草书，分别是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书(Moscow Mathematical Papyrus)，以及成书于公元前1650年左右的兰德(Rhind Papyrus)纸草书，亦称阿默士(Ahmes)纸草书。兰德纸草书的内容非常丰富，包括有古埃及的乘法和除法的介绍、单位分数的用法、计算方程的试位法
(method of false position)、求圆面积的方法，以及数学应用题的解法等。”(节自古埃及的单位分数问题，文耀光)
分数，在埃及人的眼中，分子是1才是王道。换言之，埃及人宁愿说这球的重量是克，也不愿说成是
3
千克。这种分子为1的分数，我们则称之为单位分数。 4
11 ＋千 2 4
为了埃及人的坚持，数学(史)家开始研究埃及人究竟有什么能耐把所有分数都用单位分数来表示呢?以下介绍埃及人找单位分数的方法，称之为“埃及分解法”。 先看两个例子：
1＋2212×8－13131111例1：＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋ 13 8 8×13 8 8×13 8 8×13 8 52 104
212×60－131115＋6＋51111例2：＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋＋ 60 60× 60 60 × 60 60× 60 356 534 0
问题与讨论：
一、试着依上述二例，找出埃及人所使用的规则。
2
二、你能否用相同的方法将写成单位分数的和。写出来的结果和别的同学相同吗?
53 在埃及方法中，分子皆固定为2，若此分数分子不为2，是否也能用相同的方式处理呢?这个问题一直到1202年，才由中世纪数学家费波那西(Fibonacci 1170～1250)给出肯定的答案。而一直到1880年，才由英国数学家西尔维斯特(Sylvester 1814～17)完成费波那西没有给出的证
明。
1. 费波那西法：
a
设真分数，b除以a得商数q，余数r，则
b
a－ra1
＝＋ b q＋1 b(q＋1)
依此法重复直到分子皆为1即可。
2. 史都华法：
19年，史都华(Stewart)在其著作“Theory of Numbers”中提出了一个新方法，就是不断应用简单恒等式
111＝ ＋ n n＋1 n(n＋1)
把一个真分数分解为单位分数的和。 问题与讨论：
一、试分别利用上述二法，将
1.费波那西法 2.史都华法
结语：分数化成单位分数，到底要用几项来写，有没有最少项的解法，又有没有分母最小的解法，或是分母总和最小的解法呢？各种尚未被解决的问题也让这个游戏继续进行下去。
3
分解成单位分数的和。 7
