考研数学线性代数讲义
目录
第一讲基本概念
线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法 第二讲行列式
完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则
第三讲矩阵
乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵 第四讲向量组
线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩
第五讲方程组
解的性质解的情况的判别基础解系和通解
第六讲特征向量与特征值相似与对角化
特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现
附录一 内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化
第七讲二次型
二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵
附录二 向量空间及其子空间
附录三两个线性方程组的解集的关系
附录四06,07年考题
1
第一讲基本概念
1．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, … … … …
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.
线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,…,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.
b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.
n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.
2.矩阵和向量
(1)基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.例如
2 -1 0 1 1
1 1 1 0 2
2 5 4 -2 9
3 3 3 -1 8
是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵
a11a12… a1n a11a12… a1n b1
A= a21a22… a2n 和(A|)= a21a22… a2n b2
… … … … … … …
am1am2…amn am1am2…amn bm
为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.
一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,,an的向量可表示成
2
a1
(a1,a2,,an)或 a2 ,
┆
an
请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)
一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2,,n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2,,n).
矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.
(2)线性运算和转置
线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.
加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).
数乘:一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:
①加法交换律:A+B=B+A.
② 加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).
③ 加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.
④ 数乘结合律:c(d)A=(cd)A.
⑤ cA=0c=0 或A=0.
转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作AT(或A).
有以下规律:
①(AT)T=A.
② (A+B)T=AT+BT.
③ (cA)T=cAT.
转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时,T表示行向量,当是行向量时,T表示列向量.
向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量,c1,c2,…,cs是一组数,则称 c11+c22+…+css
为1,2,…,s的(以c1,c2,…,cs为系数的)线性组合.
n维向量组的线性组合也是n维向量.
(3)n 阶矩阵与几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)
3
做事，也将贯彻到将来漫长风雨飘摇的人生路上。青葱少年，当珍惜完备光阴，将来可期!
新生入学个人军训总结9
自从军训起先到现在有两天了!第一天军训正式起先就代表我们不能向以前一样，可以逍遥自在地想做什么就做什么!我们要保持一颗坚决的心来面对这次开学前的挑战!
军姿是军训中最重要的练习，它可以反映，体现一个人的品质，坚持不懈的精神。当你戴上军帽穿上军服，你就是中的一员，在军训中我深有体会!而军姿不仅要动作整齐，昂首挺胸，保持非常肃穆的看法而且我们也要学会忍耐。
似乎快点结束，每次站军姿，到最终几分钟我都会忍受不住，
有时还有这种想法快受不住的时，我就想回家，干脆不军训了，可是在今日的军训中我更加明白我这种想法是错误的，我不应当用躲避的思想去面对军训，有时只要想想，开心的事情，用合理的方法其实军姿很快过去，所以后面几天我肯定会坚持住。
不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海·····没有悬梁刺股的痛楚，就成就不了苏秦连横说秦的大业;没有卧薪尝胆坚忍，越王勾践就打不败吴国;没有铁杵磨成针坚决，我们就看不到李白的千古佳作。
今日我们特别练习了这几项——稍息、立正、向右转、向左转，原地踏步等，在其中我有几个项目中都出了错，教
官喊：“向左转”时，我会弄成“向右转”，原地踏步，明明左脚先起，右手再摆，我用成左脚起，左手摆。实在是太对自己无语了，里面最难做完整的一个动作是齐步走，我们第一排女生总是走不齐，起先我觉得很别扭，还有些不太敢大步走，不过后来看着大家的步法我跟着一遍一遍来，最终也算勉牵强强可以并排，不过还应当多加练习。
晚上我们首先练了一会军姿，然后教官要我们再把前面的内容重新练一遍，再然后教官教我们3首歌，不过有一首歌我还不会唱，只有“团结就是力气”和“一支钢交给我”还算唱得下去，可是当大家一起齐声唱时，我才发觉原来我们班的声音也有那么大!这样才真正是团结就是力气啊!
新生入学个人军训总结10
在军训之前，我对军训是一种恐惊心理。因为他们都说军训很累很累。在军训的第一天，刚好遇到到下雨，我们就在教室里学唱军歌，接下来的几天我们都在欢声笑语中度过的。我们的教官对我们很好，我们都很听话。很幸运遇到了一个好的教官，变更了我以往对教官的看法，以为他会很严厉，可事实却不是如此，他很亲善可亲，我们之间合作的很开心。军训结束了，虽然还有些不舍。但要过去始终都会过去的，拦也拦不住。
这次军训让我懂了很多很多。在人生的道路上我们要学会坚毅。每个胜利者的背后都会经验很多次失败，但他们信
任自己的选择。经过了很多次失败后，他们胜利了。失败是胜利之母，没有失败就没有胜利。彩虹的出现与风雨相伴，梅花的开放与风雪相伴，胜利的结果与失败相伴。无论在上还是在生活上，我们都应当学会坚毅。小时候，父母为你撑起一片蓝天，为你遮风挡雨;长大后，你不仅要为自己撑起一片天，还要为父母撑起一片天，不再依靠于父母，依靠于老师。正因为这样，我们才必需要学会坚毅。将来的路靠自我们学会了坚毅还要学会吃苦。养成吃苦来劳的精神，己走。
做每一件事都会付出代价，只是代价不一样罢了。人生的道路并非是一帆风顺的，我们要靠自己生活下去，俗话说：“自己动手，丰衣足食。”
当我们处于人生的逆境时，肯定要有一种吃苦耐劳的精神，信任自己的实力，信任突破了重重困难，我们就能胜利。我们要学会敬重他人，珍惜他人的劳动成果，虚心向别人学习，当他人指责自己时要想到他是在关切我，因为在每个指责你的人背后，都有很多想指责你却又不屑于指责你的人。所以你要珍惜每个指责你的人。指责是一笔不行多的人生财宝，正因为有了它们，你才会避开犯错误。当你在犯错误，你会想起他们的忠告，于是你便不在犯错误了。要想得到他人的敬重，就必需先学会敬重他人，敬重是一个互利的过程。
新生入学个人军训总结(通用10篇)
至此我们可以写出n阶行列式的值:
a11a12… a1n
a21 a22 … a2n = | j 1 | j 2 | j n | ( | 1 )( | j 1 | j 2 | j n | ) | a 1 | j 1 | a | 2 | j 2 | | a | nj n | . |
… … …
an1an2… ann
这里 | j 1 | j 2 | j n | 表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式. |
用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.
2.化零降阶法
把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.
定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.
化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.
化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.
3.其它性质
行列式还有以下性质:
①把行列式转置值不变,即|AT|=|A|.
② 某一行(列)的公因子可提出.
于是,|cA|=cn|A|.
③对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.
④把两个行(列)向量交换,行列式的值变号.
⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
⑦ 如果A与B都是方阵(不必同阶),则
A * = AO =|A||B|.
O B * B
范德蒙行列式：形如
1 1 1 … 1
a1 a2 a3 … an
a12 a22 a32… an2
… … … …
a1n-ia2n-ia3n-i … ann-i
的行列式(或其转置).它由a1,a2,a3,…,an所决定,它的值等于
7
| ( | a j | a | i | ). |
因此范德蒙行列式不等于0a1,a2,a3,…,an两两不同.
对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.
4.克莱姆法则
克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n(即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为 (D1/D,D2/D,,Dn/D),
这里D是系数行列式的值,Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.
说明与改进:
没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对按法则给的公式求解计算量太大，
解的唯一性的判断,而在这方面法则不够.法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.
实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)(E|),
就是解.
用在齐次方程组上:如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.
二.典型例题
1.利用性质计算元素有规律的行列式
例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2 a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .
a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a a a a a 2
例2 1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2 .
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
例3 1+x1 1 1 1
1 1+x2 1 1 .
1 1 1+x3 1
1 1 1 1+x4
例4 a 0 b c
0 a c b .
b c a 0
c b 0 a
例5 1-a a 0 0 0
8
-1 1-a a 0 0
0 -1 1-a a 0 . (96 四)
0 0 -1 1-a a
0 0 0 -1 1-a
2.测试概念与性质的题
例6 x3-3 1 -3 2x+2
多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.
X+3 -1 33x2-2
9 x3 6 -6
例7求 x-3 a -1 4
f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.
0 b x+1 1
2 2 1 x
例8 设4阶矩阵A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.
例9 a b c d
已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
1 -z x+3 y
y-2 x+1 0 z+3
例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2
0 -7 0 0
5 3 -2 2
3.几个n阶行列式
两类爪形行列式及其值:
例11a1a2 a3… an-1an
b1c2 0 … 0 0
证明 0 b2 c3 0 0 = | n i1 | ( 1) | i | 1 | b 1 | L | b a c i1 i i | 1 | L | c n | . |
… … … …
0 0 0 … bn-1cn
提示:只用对第1行展开(M1i都可直接求出).
例12 a0 a1 a2… an-1 an
b1 c1 0 … 0 0
证明 b2 0 c2 … 0 0 = | a 0 | n i1 | c i | n i1 | c 1 | L | c a bc i1 i i i | 1 | L | c n | . |
… … … …
bn …0 cn
提示:只用对第1行展开(M1i都可直接求出).
另一个常见的n阶行列式:
例13 证明
9
a+b b 0 … 0 0
a a+b b … 0 0
… … … … = | n | a | n i | b | i | | a | n | 1 | | b | n | 1 | (当ab 时). | ||
| i
| | | | | | | | a | | b | | | |
0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b 提示:把第j列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.
4.关于克莱姆法则的题
例14
设有方程组
| x1+x2+x3=a+b+c, |
(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.
参
例1 ①(2+4a)(2-a)4.②x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.
例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.
例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
例5 1-a+a2-a3+a4-a5.
例6 9,-6
例7 1,-10.
例8 40.
例9 x=0,y=3,z=-1.
例10-28.
例14 x1=a,x2=b,x3=c..
第三讲矩阵
10
一．概念复习
1.矩阵乘法的定义和性质
定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
设 a11a12… a1n b11b12… b1s c11c12… c1s A=a21a22… a2n B= b21b22… b2s C=AB=c21c22… c2s … … … … … … … … … am1am2… amn ,bn1bn2…bns , cm1cm2…cms ,则
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:
①矩阵乘法有条件.
② 矩阵乘法无交换律.
③ 矩阵乘法无消去律,即一般地
由AB=0推不出A=0或B=0.
由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)
由BA=CA和A0推不出B=C.(无右消去律)
请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.
矩阵乘法适合以下法则:
①加乘分配律 A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (cA)B=c(AB).
③ 结合律 (AB)C=A(BC).
④ (AB)T=BTAT.
2.n 阶矩阵的方幂和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.
如果AB=BA,则说A和B可交换.
方幂 设k是正整数,n 阶矩阵A的k次方幂Ak即k个A的连乘积.规定A0=E.
显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①AkAh=Ak+h.
② (Ak)h=Akh.
但是一般地(AB)k和AkBk不一定相等!
n阶矩阵的多项式
设f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定 f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E.
称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.
乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例
11
如
当A和B可交换时,有:
(AB)2=A22AB+B2;
A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).
二项展开式成立: | ( | A | | B | ) | m | | m i1 | C | i | A | m | | i B | i | 等等. |
m |
前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.
同一个n阶矩阵的两个多项式总是可交换的.一个n阶矩阵的多项式可以因式分解.
3.分块法则
矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A和B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B的横向切割一致!),再用它们来作乘法.
(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则
A11 A12 B11 B12 =A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求Aij的列数Bjk和的行数相等.
准对角矩阵的乘法:
形如
A1 0 … 0
A= 0 A2 … 0
… … …
0 0 … An
的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,Ak都是方阵.
两个准对角矩阵
A1 0 … 0 B1 0 … 0 A=0 A2 … 0 , B= 0 B2 … 0 … … … … … … 0 0 … Ak 0 0 … Bk如果类型相同,即Ai和Bi阶数相等,则
A1B1 0 … 0
AB= 0 A2B2 … 0 .
… … …
0 0 … AkBk
(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组
设A是mn矩阵B是ns矩阵.A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为1,2,…,s,AB的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):
①AB的每个列向量为:i=Ai,i=1,2,…,s.
即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,As).
② =(b1,b2,…,bn)T,则A=b11+b22+…+bnn.
应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,bni)T,则
12
i=AI=b1i1+b2i2+…+bnin.
即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量i的各分量.
类似地,乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.
以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.
(1)当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.
(2)利用以上规律容易得到下面几个简单推论:
用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量;用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.
数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.
(3)矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.
例如设A=(,,),C=(+2-,3-+,+2),令 1 3 1
B= 2 -1 0 ,则C=AB.
-1 1 2
(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用
对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.
有三类初等矩阵:
E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.
E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.
E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵,也就是把E的(i,j)位的元素改为c.
命题 对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.
4.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)
(1)矩阵方程
矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程: (I)AX=B.(II)XA=B.
这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)
当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,
13
设B=(1,2,…,s),则X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,Xs),则有AXi=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.
这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得
(I)的解法:
将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.
(A|B)(E|X)
(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X..
(AT|BT)(E|XT)
矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.
(2)可逆矩阵的定义与意义
定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.
如果A可逆,则A在乘法中有消去律:
AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)； BA=0B=0；BA=CAB=C.(右消去律)
如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C.BA=CB=CA-1.
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:
(I)AX=B的解X=A-1B.(II)XA=B的解X=BA-1.
这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).
(3)矩阵可逆性的判别与性质
定理 n阶矩阵A可逆|A|0.
证明 “”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0.(并且|A-1|=|A|-1.) “”因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E.事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.
推论 如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.
于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.
可逆矩阵有以下性质:
①如果A可逆,则
A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.
AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.
当c0时,cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.
对任何正整数k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.
(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.)
②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)
初等矩阵都是可逆矩阵,并且
14
E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c))-1=E(i(c-1)),E(i,j(c))-1=E(i,j(-c)).
(4)逆矩阵的计算和伴随矩阵
①计算逆矩阵的初等变换法
当A可逆时,A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1: (A|E)(E|A-1)
这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.
② 伴随矩阵
若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21… An1
A*= A12A22… An2 =(Aij)T.
… … …
A1nA2n…Amn
请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时,A*和A-1有密切关系.
基本公式: AA*=A*A=|A|E.
于是对于可逆矩阵A,有
A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.
因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.
和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.
对于2阶矩阵
c d = -c a ,
a b * d -b
因此当ad-bc0时,
c d = -c a (ad-bc) .
a b -1 d -b
伴随矩阵的其它性质:
①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1=A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.
③ (AT)*=(A*)T.
④ (cA)*=cn-1A*.
⑤ (AB)*=B*A*；(Ak)*=(A*)k.
⑥ 当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.
二 典型例题
1.计算题
例1=(1,-2,3)T,=(1,-1/2,1/3)T,A=T,求A6.
讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则Ak=(T)k-1A=(trA)k-1A. (2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.
① 1 -1 1
T=-1 1 -1 ，求T.（2003一）
②设=(1,0,-1)T,A=T,求|aE-An|.
15
③n维向量=(a,0,,0,a)T,a<0,A=E-T,A-1=E+a-1T,求a.(03 三,四)④n 维向量=(1/2,0,,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB.(95 四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.
例2(1999三) 1 0 1
设A= 0 2 0 ，求An-2An-1.(n>1)
例3 1 0 0
设A= 1 0 1 ，(1)证明当n>1时An=An-2+A2-E.(2) 求An.
例4设A为3阶矩阵,1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3,A2=22+3,A3=22+33.
求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B.(2005 年数学四)
例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)
例63 维向量1,2,3,1,2,3满足
1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.
例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.
(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)
2 1 0
例83阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一) 0 0 1
例9 3-5 1
设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.
-1 0 2
例10 1 1 -1
设3阶矩阵A=-1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.
1-1 1
例114阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知
1 0 0 0
A*= 0 1 0 0 ,求B.(00 一)
1 0 1 0
0 -3 0 8
16
例12 3 0 0 1 0 0
已知A=2 1 0 ,B=0 0 0 ,XA+2B=AB+2X,求X11.
2 1 3 0 0 -1
例13 设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A1=(4,3)T,A2=(7,-8)T,A3=(5,-5)T,
求A.
2.概念和证明题
例14设A是n阶非零实矩阵,满足A*=AT.证明:
(1)|A|>0.
(2)如果n>2,则|A|=1.
例15设矩阵A=(aij)33满足A*=AT,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为
| | | | | | |
(A) | 3 | / | 3 | .(B) 3. (C)1/3. (D) | 3 | . (2005 年数学三) |
例16设A和B都是n阶矩阵,C=A 0 ,则C*= 0 B
(A) |A|A* 0 . (B) |B|B* 0 .
0 |B|B* 0 |A|A*
(C) |A|B* 0 . (D )|B|A* 0 .
0 |B|A* 0 |A|B*
例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2列加到第3列上,得C.求
Q,使得C=AQ.
例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A)交换A*的1,2行得到B*.
(B)交换A*的1,2列得到B*.
(C)交换A*的1,2行得到-B*.
(D)交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)
例19 设A是n阶可逆矩阵,交换A的i,j行得到B.
(1)证明B可逆.
(2)求AB-1.
例20 设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.
(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-cE可逆.
讨论:如果f(A)=0,则
(1)当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.
(2)f(c)0时,A-cE可逆.
(3)上述两条的逆命题不成立.
例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明
17
(1)A2=AT=1.
(2)T=1A不可逆.(96 一)
讨论: (2)的逆命题也成立.
例22设A,B都是n阶矩阵,证明
E-AB可逆E-BA可逆.
例23 设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.
(1)证明A-E可逆.
(2)设 1-3 0
B=2 1 0 ,求A.
0 0 2 (91)
例24 设A,B是3阶矩阵,A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.
(2)设 1-2 0
B=1 2 0 ,求A.
0 0 2 (2002)
例25 设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab0,证明(1)A-bE和B-aE都可逆.
(2)A可逆B可逆.
(3)AB=BA.
例26 设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.
例27设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明
(1)如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.
(2)如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.
(3)等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.
例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A)E.(B)-E.(C) A.(D) -A.(2005 年数学四)
参
1-1/2 1/3
例135A=35-2 1 –2/3 .
3 -3/2 1
①3.② a2(a-2n).③ -1. ④E.⑤ 4.
例2 O.
例3 (1)提示:An=An-2+A2-EAn-2(A2-E)=A2-EA(A2-E)=A2-E.
10 0 (2)n=2k 时,
An=k 1 0 .
k 0 1
18
n=2k+1 时, | 1 0 0 |
An=k+1 0 1 .
k 1 0
例4 1 0 0
B= 1 2 2 .
1 1 3
例5 2.
例6–4a.
例7 0 0 0
B= 1 0 3 . |E+A|=-4
0 1 -2
例8 1/9.
例9-6 10 4
X=-2 4 2 .
-4 10 0
例101 1 0
(1/4)0 1 1 .
1 0 1
例116 0 0 0
B=0 6 0 0 .
6 0 6 0
0 3 0 -1
例121 0 0
2 0 0 .
6 -1 -1
例132 -1 1
-4 -2 -5 .
例15 (A).
例16 (D).
例170 1 1
Q= 1 0 0 .
0 0 1
例18(D).
例19 E(i,j).
例22提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只 有零解.
例231 1/2 0
A=-1/3 1 0 .
0 0 2
例240 2 0
A=-1 -1 0 .
0 0 -2
例25提示:计算(A-bE)(B-aE).
例28(A).
19
第四讲向量组的线性关系与秩
一.概念复习
1.线性表示关系
设1,2,…,s是一个n维向量组.
如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.
判别“是否可以用1,2,…,s线性表示?表示方式是否唯一？”就是问：向量方程 x11+x22+…+xss=
是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的
线性方程组.反之,判别“以A为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题
又可转化为“是否可以用A的列向量组线性表示?表示方式是否唯一？”的问题.
向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系:乘积矩阵AB的每个列向量都可以
表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如
果向量组1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示,则矩阵(1,2,…,t)等于矩阵(1,2,…,s)和一个st矩阵C的乘积.C可以这样构造:它的第i个列向量就是i对1,2,…,s的分解系数(C不是唯一的).
向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示,而1,2,…,s可以用1,2,…,r线性表示,则1,2,…,t可以用1,2,…,r线性表示.
当向量组1,2,…,s和1,2,…,t互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s1,2,…,t.
等价关系也有传递性.
2.向量组的线性相关性
(1)定义(从三个方面看线性相关性)
线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组1,2,…,s中有没有向量
可以用其它的s-1个向量线性表示的问题.
定义 设1,2,…,s是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,…,cs使得 c11+c22+…+css=0,
则说1,2,…,s线性相关否则(即要使得c11+c22+…+css=0,必须c1,c2,…,cs全为0)就
说它们线性无关.
于是,1,2,…,s“线性相关还是无关”也就是向量方程x11+x22+…+xss=0“有没有非零解”,也就是以(1,2,…,s)为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.
当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.
两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.
(2)性质
① 当向量的个数s大于维数n时,1,2,…,s一定线性相关.
20
如果向量的个数s等于维数n,则1,2,…,n线性相关|1,2,…,n|=0.②线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量).
③如果1,2,…,s线性无关而1,2,…,s,线性相关,则可用1,2,…,s线性表
示.
④如果可用1,2,…,s线性表示,则表示方式唯一1,2,…,s线性无关.⑤如果1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示，并且t>s,则1,2,…,t线性相关.推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.
3.向量组的极大无关组和秩
(1)定义
向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包
含向量的个数)的线性无关的部分组.
定义 设1,2,…,s是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果
① (I)线性无关.
② (I)再扩大就线性相关.
就称(I)为1,2,…,s的一个极大无关组.
条件②可换为:任何I都可用(I)线性表示,也就是(I)与1,2,…,s等价.
当1,2,…,s不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,
从而包含的向量个数相等.
定义如果1,2,…,s不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数是一个正整数称为1,2,…,s的秩,记作r(1,2,…,s).如果1,2,…,s全是零向量,则规定r(1,2,…,s)=0.
由定义得出:如果r(1,2,…,s)=k,则
i) 1,2,…,s的一个部分组如果含有多于k个向量,则它一定的相关.ii)1,2,…,s的每个含有k个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.
(2)应用
① 1,2,…,s线性无关r(1,2,…,s)=s.
②可用1,2,…,s线性表示r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s).
(事实上若不可用1,2,…,s线性表示,则r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s)+1.)推论1:可用1,2,…,s唯一线性表示r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s)=s.推论2:如果r(1,2,…,s=维数n,则任何n维向量都可以用1,2,…,s线性表示.
③ 1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示
r(1,2,…,s,1,2,…,t)=r(1,2,…,s).
推论:如果1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示,则r(1,2,…,t)r(1,2,,s).
④ 1,2,…,s和1,2,…,t等价
r(1,2,…,s)=r(1,2,…,s,1,2,…,t)=r(1,2,…,t).
极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性
质仍然成立.
21
4.秩的计算,有相同线性关系的向量组
两个向量个数相同的向量组1,2,…,s,和1,2,…,s称为有相同线性关系,如果向量方程
x11+x22+…+xss=0和x11+x22+…+xss=0
同解,即齐次线性方程组(1,2,…,s)X=0和(1,2,…,s)X=0同解.
当1,2,…,s和1,2,…,s有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.
(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.
(3)它们有相同的内在线性表示关系.
例如,当A经过初等行变换化为B时,AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.
这样,就产生了计算一个向量组1,2,…,s的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(1,2,…,s),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是1,2,…,s的秩,B的各台角所在列号对应的部分组是1,2,…,s的的一个极大无关组.
如果A经过初等列变换化为B，则A的列向量组和B的列向量组是等价关系，虽然秩相等,但是极大无关组并没有对应关系.
5.矩阵的秩
(1)定义
一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r(A).
于是
r(A)=0A=0.
如果A是mn矩阵,则r(A)Min{m,n}.
当r(A)=m时,称A为行满秩的;当r(A)=n时,称A为列满秩的.
对于n阶矩阵A,则行满秩和列满秩是一样的,此时就称A满秩.于是: n阶矩阵A满秩r(A)=n(即A的行(列)向量组无关)|A|0A可逆.
矩阵的秩还可以用它的非0子式来看.
A的r阶子式:任取A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式,如果它的值不为0,就称为非0子式.
命题 r(A)就是A的非0子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式的值都为0,但是A有阶数等于r(A)的非0子式.)
(2)计算
命题 ① 初等变换保持矩阵的秩.
②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.
(3)在矩阵运算中,矩阵的秩有性质
①r(AT)=r(A).
② 如果c不为0,则r(cA)=r(A).
③r(AB)r(A)+r(B).
22
④ r(AB)Min{r(A),r(B)}.
⑤ 当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A)).
⑥ 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n.
⑦ 如果A列满秩(r(A)等于列数),则r(AB)=r(B).
⑧一般公式:r(A)+r(B)n+r(AB).
下面给出⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.
设向量组1,2,,s线性无关,向量组1,2,,t可用1,2,,m线性表示,表示矩阵为C,则
i)r(1,2,,t)=r(C).
ii)如果t=s(此时C是t阶矩阵),则1,2,,s线性无关C可逆.
(令A=(1,2,,s),B=(1,2,,t),则B=AC,并且r(A)=列数s,用⑦得到r(1,2,,s)=r(C).t=s 时,C可逆r(1,2,,s)=r(C)=s1,2,,s线性无关.或直接用⑤证明ii):
C可逆时r(B)=r(A)=s,从而1,2,,s线性无关.如果C不可逆,则r(1,2,,s)r(C)<s, 从而1,2,,s线性相关.)
6.矩阵的等价两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充
分必要条件为它们类型相同,秩相等.
二.典型例题
1.向量组秩的计算和应用
例1a,b,c满足什么条件时向量组1=(a,0,c),2=(b,c,0),3=(0,a,b)线性无关？(02)
例2已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a1,求a.(05)
例3设1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(1,2,3)=2?
例4 设1=(1+λ，1，1)，2=(1，1+λ，1)，3=(1，1，1+λ)，=(0，λ,λ2)．① λ为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式唯一？
②λ为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式不唯一？
③λ为何值时，不可用1，2，3线性表示？
例5设1=(1,0,1,1),2=(2,-1,0,1),3=(-1,2,2,0),1=(0,1,0,1),2=(1,1,1,1).问:c1,c2满足什么条件时c11+c22可以用 1,2,3线性表示?
例6设1=(1,2,0,1),2=(1,1,-1,0),3=(0,1,a,1),1=(1,0,1,0),2=(0,1,0,2).a和k取什么值时,1+k2可用1,2,3线性表示?写出表示式.
例7设1=(1,2,-3)，2=(3,0,1)，3=(9,6,-7)，1=(0,1,-1)，2=(a,2,1)，3=(b，1，0)．已知r(1,2,3)=r(1,2,3),并且3可用1,2,3线性表示，求a,b.(00二)
例8求常数a,使得向量组1=(1,1,a),2=(1,a,1),3=(a,1,1)可由向量组1=(1,1,a),2=(-2,a,4),3=(-2,a,a)线性表示,但是1,2,3不可用1,2,3线性表示.(2005 年数学
二)
23
例9给定向量组(Ⅰ)1=(1,0,2)，2=(1,1,3)，3=(1,-1,a+2)和(Ⅱ)1=(1,2,a+3)，2=(2,1 ,a+6)，3=(2,1,a+4)．当a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价?a 为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价?(03四)
例10设1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1,-2,2,0),5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?
(1)1,2,3.(2)1,2,4.(3)1,2,5.(4)1,3,4.
2.向量组秩的性质的应用
例11已知1,2,3线性相关,而2,3,4线性无关,则1,2,3,4中, 能用另外3个向量线性表示,而 不能用另外3个向量线性表示.
例 | 12 已 | 知 | r(1,2,3)=r(1,2,3,4)=3,r(1,2,3,4,5)=4， | 求 |
r(1,2,3,4-5)．
(95三)
例13已知可用1,2,…,s线性表示，但不可用1,2,…,s-1线性表示．证明⑴s不可用1,2,…,s-1线性表示；
⑵s可用1,2,…,s-1,线性表示．
例141,2,3,线性无关,而1,2,3,线性相关,则A)1,2,3,c+线性相关.
(B)1,2,3,c+线性无关.
(C)1,2,3,+c线性相关.
(D 1,2,3,+c线性无关.
例15 已知n维向量组1,2,…,s线性无关,则n维向量组1,2,…,s也线性无关的充分必要条件为
A)1,2,…,s可用1,2,…,s线性表示.
(B)1,2,…,s可用1,2,…,s线性表示.
(C)1,2,…,s与1,2,…,s等价.
(D 矩阵1,2,…,s)和(1,2,…,s等价.
3.矩阵的秩
例16n 阶矩阵
1 a a … a
a 1 a … a
A= a a 1 … a
┆ ┆ ┆ ┆
a a a … 1
的秩为n-1,求a.(98三)
例17设
24
a b b
A= b a b ,已知r(A)+r(A*)=3,求a,b应该满足的关系.(03三)
b b a
例18设
1 2 3 4 1 2 3 4
A= 2 3 4 5 , B= 0 1 2 3 ,求r(BA+2A).
3 4 5 6 0 0 1 2
4 5 6 7 0 0 0 1
例19 a b -3 b-1 a 1
3阶矩阵A=2 0 2 ，B= 0，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和
3 2 -1 0 2 1 r(AB).
例20 设1，2，3线性无关，则( )线性无关：⑴1+2，2+3，3-1；
⑵1+2，2+3，1+22+3；
⑶1+22，22+33，33+1；
⑷1+2+3，21-32+223，31+52-53．(97三)
例21 设1，2，3线性无关，则( )线性相关：⑴1+2，2+23，3+41；
⑵1-2，2-23，3-41；
⑶1+(1/2)2，2+3，33+21；
⑷1-(1/2)2，2-3，3-21．
例22 设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则( ) (A) 当mn时,AB0. (B) 当mn时,AB.
(C)当nm时,AB|0. (D) 当nm时,AB. (99)
例23AB=0,A,B是两个非零矩阵,则
(A)A的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关.
(B)A的列向量组线性相关.B的列向量组线性相关.
(C)A的行向量组线性相关.B的行向量组线性相关.
(D)A的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关. (04)
4.证明题
例24 设1,2,…,s是n维向量组.证明r(1,2,…,s)=n的充分必要条件为:任何n维向量都可用1,2,…,s线性表示.
例25 设A是mn矩阵，证明r(A)=1存在m维非零列向量=(a1,a2,…，am)T和n维非零列向量=(b1,b2,…,bn)T，使得A=T.
例26 设n阶矩阵A的秩为1，证明A2=tr(A)A.
25
例27设A*为n阶矩阵A的伴随矩阵,则
n, 若r(A)=n,
r(A*)= 1, 若r(A)=n-1,
0,若r(A)<n-1.
例28 设A为n阶矩阵,为n维列向量.正整数k使得Ak=0,但是Ak-10,证明,A,…,Ak-1线性无关.
例29 证明r(1,2,…,s,1,2,…,t)r(1,2,…,s)+r(1,2,…,t).
例30 证明r(A+B)r(A)+r(B).
例31 证明矩阵方程AX=B有解r(A|B)=r(A).
参
例1abc0.
例21/2.
例3a=-1 或b=0并且a0.
例4(1) λ0和-3.(2)λ=0.(3) λ=-3.
例5 2c1+c2=0.
例6 k=-1,a1.
例7 a=15,b=5.
例8 1.
例9 a-1时等价,a=-1 时不等价.
例10 (2)和(4).
例11 1能,4不能.
例12 4.
例14 (D).
例15 (D).
例16 a=1/(1-n).
例17a=-2b0.
例18 2.
例19 a=1,b=2,r(AB)=1.
例20 (C).
例21 (D).
例22 (B).
例23 (A).
26
第五讲线性方程组
一.概念复习
1. 线性方程组的形式
线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：矩阵式 AX=，(齐次方程组AX=0).
向量式 x11+x22+…+xss=，(齐次方程组x11+x22+…+xss=0).
2. 线性方程组解的性质
(1)齐次方程组AX=0
如果1,2,…,s是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c11+c22++css也都是解.
(2)非齐次方程组AX=
如果1,2,…,s是AX=的一组解,则
①它们的线性组合c11+c22+…+css也是AX=解的c1+c2+…+cs=1.
② 它们的线性组合c11+c22+…+css是AX=的解c1+c2+…+cs=0.
如果0是AX=的一个解,则n维向量(n是未知数的个数)也是解-0是导出齐次方程组AX=的解.(也就是说,是0与导出组AX=的一个解的和.)
3. 线性方程组解的情况的判别
对于方程组AX=,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A),r(A|).①无解r(A)<r(A|).
② 有唯一解r(A)=r(A|)=n.
(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.)
③有无穷多解r(A)=r(A|)<n.
方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A)和r(A|)的上界,因此 当r(A)=m时,AX=一定有解.
当m<n时,一定不是唯一解.
对于齐次方程组AX=0,判别解的情况用两个数:n,r(A). 有非零解r(A)=<n(即:只有零解r(A)=n).
推论1 当A列满秩时,A在矩阵乘法中有左消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.
证明 设B=(1,2,…,t),则AB=Ai=0,i=1,2,…,s.1,2,…,t都是AX=0的解.而A列满秩,AX=0只有零解,i=0,i=1,2,…,s,即B=0.
推论2 如果A列满秩,则r(AB)=r(B).
证明 只用证明齐次方程组ABX=0和BX=0同解.(此时矩阵AB和B的列向量组有相同的
线性关系,从而秩相等.)
是ABX=的解AB=B=0(用推论)是BX=的解.于是ABX=0和BX=0确实同解.
27
4. 齐次方程组的基础解系 线性方程组的通解
(1)齐次方程组的基础解系
如果齐次方程组AX=有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=的基础解系.
于是,当1,2,…,s是AX=的基础解系时:
向量是AX=的解可用1,2,…,s线性表示.
定理设AX=有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A).
于是,判别一组向量1,2,…,s是AX=的基础解系的条件为①1,2,…,s是AX=的一组解.
②1,2,…,s线性无关.
③ s=n-r(A).
推论 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n.
证 记B=(1,2,,s),则Ai=0,i=1,2,,s,即每个i都是齐次方程组AX=的解,从而r(B)=r(1,2,,s)n-r(A),即r(A)+r(B)n.
(2)线性方程组的通解
如果1,2,…,s是齐次方程组AX=的基础解系,则AX=的通解(一般解)为 c11+c22+…+css,其中c1c2…,cs可取任何常数.
如果0是非齐次方程组AX=的解,1,2,…,s是导出组AX=的基础解系,则AX=的通解(一般解)为
0+c11+c22+…+css,其中c1c2,…,cs可取任何常数.
二.典型例题
例13x1+2x2-2x3+x4 =0，
6x1+4x2+5x3+2x4+3x5=0，求此齐次方程组的基础解系和通解.
9x1+6x2 +3x4+2x5=0，
例2讨论p,t的取值对下面方程组解的影响,并在有无穷多解时求通解.(96四) x1+x2-2x3+3x4=0，
2x1+x2-6x3+4x4=-1，
3x1+2x2+px3+7x4=-1，
x1-x2-6x3-x4=t ．
例3齐次方程组AX=0的系数矩阵为
1+a 1 1 … … 1
2 2+a 2 … … 2
A= 3 3 3+a … … 3 ,
… … … …
n n n … …n+a
28
a为什么数时AX=0有非零解?求通解.(04一)
例4 线性方程组的增广矩阵为
1 a b 1 0
(A|)= 2 1 1 2 0 ,
3 2+a 4+b 4 1
又已知(1,-1,1,-1)T是它的一个解.
(1)用导出组的基础解系表示通解.
(2)写出满足x2=x3的全部解.(04四)
例5设线性方程组为
x1+a1x2+a12x3=a13,
x1+a3x2+a32x3=a33,x1+a4x2+a42x3=a43.
x1+a2x2+a22x3=a23,
(1)证明当a1,a2,a3,a4两两不相等时,方程组无解.
(2)设a1=a3=-a2=-a4=k,并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.(94三)
例6已知1(0,1,0)T和2=(-3,2,2)T都是方程组
x1-x2+2x3=-1,
3x1+x2+4x3=1, ax1+bx2+cx3=d
的解,求通解.
例7已知1(1,1,-1,-1)T和2(1,0,-1,0)T是线性方程组 x1+x2-x3 +x4=2，
x2+px3+qx4=s,
2x1+tx2-x3+tx4=r
的解,η=(2,-2,1,1)T是它的导出组的解,求方程组的通解.
例8设矩阵A=(,,3,4),其中,3,4线性无关,=2-3.又设=1+2+3+,求AX=的通解.(02一，二)
例91,2,3都是AX=的解,其中=(1,2,3,4),0,1,2,3r(A)=3.求通解.(00三)
例10 1 2 3
已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵B= 2 4 6 ,并且AB=0, 3 6 k
求齐次线性方程组AX=0的通解.(2005 年数学一,二)
例11设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX= (A)在r=m时有解.
(B)在m=n时有唯一解.
(C)在r<n时有无穷多解.
29
(D)在r=n时有唯一解. (97 四)
例12设1，2是非齐次方程组AX=的两个不同的解,,2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为
(A)k11k2212/2.
(B)k11k21212/2.
(C)k11k21212/2.
(D)k11k21212/2.
例13当A=( )时，(0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解系．(A)-2，1，1； (B) 2 0 -1 (C) 1 0 2 (D) 0 1 -1
2 -1 –1 . 0 1 1 . 0 1 -1 . 1 0 2
01 1 ．(92一) 1
例14 x1+x3=0，
2x2+x4=0的一个基础解系为
(A)(0,-1,0,2)T. (B) (0,-1,0,2)T,(0,1/2,0,1)T.
(C)(1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T. (D) (0,-1,0,2)T,(1,0,-1,0)T.
例15已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T构成次线性方程组sx1+x2-2x3=0,
2x1-tx2-2x3=0
的一个基础解系,求a,b,s,t.
例16线性方程组
2x1+x2+x3-x4=1,
x1+x2+x3-2x4=0
的通解可以表示为
(A)(1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T,c 任意.
(B)(0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.(C) (1,-2,1,0)T+c1(-1,2,1,1)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.(D) (1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.
例17 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为
1 2 1 -1 ，
2 3 -1 0
(Ⅱ)的一个基础解系为(2,-1,a+2,1)T,(-1,2,4,a+8)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它们的全部公共解.(02四)
例18设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为x1+x2=0， x3-x4=0，(Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．
例19设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅲ)是将它们合并而得到的方程组.已知(1,0,1,1)T,(-1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是(Ⅰ)的一个基础解系,(0,1,0,1)T,(1,1,-1,0)T是
30
(Ⅱ)的一个基础解系．求(Ⅲ)的通解．
例20 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解1+c11+c22,其中1=(1,0,1)T,1=(1,1,0)T,2=(1,2,1)T；(Ⅱ)有通解2+c,2=(0,1,2)T,=(1,1,2)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.
例21设方程组a11x1+a12x2+…+a16x6=0,
a21x1+a22x2+…+a26x6=0,
a31x1+a32x2+…+a36x6=0
有基础解系(bi1，bi2，…，bi6)T，i=1,2,3, 求方程组
| b11y1+b12y2+…+b16y6=0, |
的基础解系．
例22设(Ⅰ)是n元非齐次线性方程组,系数矩阵的秩为s,证明:如果(Ⅰ)有解，则
⑴ (Ⅰ)有n-s+1个线性无关的解.⑵(Ⅰ)的任意n-s+2个解都线性相关．
例23已知齐次方程组
x1+2x2+3x3=0,x1+bx2+cx3=0,
2x1+3x2+5x3=0, 和 2x1+b2x2+(c+1)x3=0 x1+x2+ax3=0
同解,求a,b,c.(2005 年数学三,四)
例24已知方程组
x1+x2+x3=1, 2x1+3x2+ax3=4,
(I) 3x1+5x2+x3=7,(II) 2x1+4x2+(a-1)x3=b+4(1)a,b 取什么值时这两个方程组同解?此时求解.
(2)a,b取什么值时这两个方程组有公共解?此时求解.
例25构造齐次方程组,使得(1,1,0,-1)T,(0,2,1,1)T构成它的基础解系.
例26构造非齐次方程组,使得其通解为
(1,0,0,1)T+c1(1,1,0,-1)T+c2(0,2,1,1)T,c1,c2任意.
例27设,2,3为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用,2,3线性表示,并且r(A)=n-3,证明,2,3为AX=0的一个基础解系.
例28已知(0,1,0)T是方程组
3x1+2x2-x3=2,
-x1+bx2+2x3=1, ax1+3x2+cx3=d
的解,求通解.
参
31
例1c1(-2/3,1,0,0,0)T+c2(-1/3,0,0,1,0)T+c3(-2/9,0,-1/3,0,1)T,c1,c2,c3任意. 例2t=-2 时有无穷多解.
t=-2,p=-8时通解为
(-1,1,0,0)T+c1(4,-2,1,0)T+c2(-1,-2,0,1)T,c1,c2任意.
t=-2,p-8时通解为
(-1,1,0,0)T+c(-1,-2,0,1)T,c 任意.
例3a=0 或-n(n+1)/2时有非零解.
a=0时通解为
c1(-1,1,0,…,0)T+c2(-1,0,1,…,0)T+…+cn-1(-1,0,0,…,1)T,c1,c2,…,cn-1任意.
a=-n(n+1)/2时通解为
c(1,2,3,…,n)T,c 任意.
例4a=b.
(1)a=1/2时,通解为
(1,-1,1,-1)T+c1(1,-3,1,0)T+c2(1,2,0,-2)T,c1,c2任意.
a1/2时,通解为
(1,-1,1,-1)T+c(-2,1,-1,2)T,c任意.
(2)a=1/2 时,通解为(2,1,1,-3)T+c(3,1,1,-4)T,c任意.
a1/2时,解为(-1,0,0,1)T.
例5(2)(-1,1,1)T+c(1,0,-1)T,c任意.
例6(0,1,0)T+c(-3,1,2)T,c任意.
例7(1,1,-1,-1)T+c1(2,-2,1,1)T+c2(0,-1,0,1)T,c1,c2任意.
例8(1,1,1,1)T+c(1,-2,1,0)T,c任意.
例9 (1,2,3,4)T+c(2,3,4,5)T,c任意.
例10(1)若k9,通解为:
c1(1,2,0)T+c2(0,0,1)T,其中c1,c2任意.
(2)k=9 时:
①r(A)=2,通解为:c(1,2,3)T,其中c任意.
② r(A)=1,通解为:c1(1,2,3)T+c2(b,-a,0)T,其中c1,c2任意.
例11(A).
例12(B).
例13(A)
例14(D)
例15a=2,b=1,s=2,t=-1.
例16(C).
例17a=-1,公共解为c1(2,-1,1,1)T+c2(-1,2,4,7)T,c1,c2任意.
例18 c(1,-1,-1,-1)T,c任意.
例19 c(-3,-2,3,1)T,c任意.
例20 (1/2,3/2,3)T.
例21 (a11,a12,…,a16),(a21,a22,…,a26),(a31,a32,…,a36).
例23 a=2, b=1,c=2.
例24(1)a=1, b=2. (-1,2,0)T+c(-2,1,1)T.
(2)b=2, a 任意.
a=1时即同解;a1时有唯一公共解,为(-1,2,0)T.
例25答案不唯一.
32
一个参为:
x1-x2+2x3=0,
x1-3x3+x4=0.
例26答案不唯一.
一个参为:
x1-x2+2x3=1,
x1-3x3+x4=2.
例28 系数矩阵A的秩可能为2和3.
当A的秩为3时,解唯一.
当A的秩为2时,通解为:
(0,1,0)T+c(1,-1,1)T,c任意.
33
第六讲特征向量和特征值 相似和对角化
一.概念复习
1.特征向量和特征值
(1)定义
设A是n阶矩阵.一个n维向量称为A的特征向量，如果 ①0；
②A与线性相关.
此时，存在唯一数，使得A=，称为的特征值.(并且说是属于的特征向量.)例如对于数量矩阵E，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是.
(2)计算
对等式A=作恒等变形，得(E-A)=0.
于是是A的特征向量,特征值为是齐次方程组(E-A)X=0的非零解.
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：①是A的特征值E-A=0，即(E-A)不可逆.
②是属于的特征向量是齐次方程组(E-A)X=0的非零解.规定A的特征多项式为xE-A，则A的特征值就是它的特征多项式的根.规定特征值的重数：即作为特征多项式的根的重数.
例如，对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.
计算特征值和特征向量的具体步骤为：
计算A的特征多项式，求出它的根，即A的特征值；然后对每个特征值，求齐次方程组(E-A)X=0的非零解，即属于的特征向量.
(3)性质
A的特征值共有n个(其中有的相同，有的是虚数)，也就是A的全体不同特征值的重数
和等于n.
定理设是A的特征值，则它的重数n-r(E-A).
设1,2,…,n是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：①1+2+…+n=tr(A)(A的迹数，即主对角线上元素之和).②12…n=A.
(4)相关矩阵的特征值
命题 如果是A的特征向量，特征值为，即A=,则
①也是A的任何多项式f(A)的特征向量，特征值为f()；
②如果A可逆，则也是A-1的特征向量，特征值为1/;也是A*的特征向量，特征值为|A|/.
从特征值方面看，有
命题 如果是A的特征值，则
①f()是A的多项式f(A)的特征值.
②如果A可逆，则1/是A-1的特征值;|A|/是A*的特征值.
命题 如果A的特征值是1,2,…,n，则
34
① f(A)的特征值是f(1),f(2),…,f(n).
②如果A可逆，则
A-1的特征值是1/1,1/2,…,1/n;
A*的特征值是|A|/1,|A|/2,…,|A|/n.
AT和A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.但是它们的特征向量可能不相同.
2.n 阶矩阵的相似关系
(1)n 阶矩阵的相似关系
设A,B是两个n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵U,使得U-1AU=B,则称A与B相似,记作AB.
当U和A乘积不可交换时,B不等于A;但是如果A是数量矩阵,则只和自己相似. 由定义容易看出,矩阵的相似关系有对称性和传递性,即ABBA；如果AB,BC,则AC.
当AB时,f(A)f(B),在A可逆时A-1B-1,A*B*.(事实上,如果U-1f(A)U=f(B),则U-1A-1U=B-1,U-1A*U=B*.)
当两个矩阵A,B相似时,它们有许多相同的性质:
①|A|=|B|.
② r(A)=r(B).
③ tr(A)=tr(B).
④ A,B有相同的特征多项式,从而特征值完全相同.
(但是A和B的特征向量不一定相同,但是有关系:是A的特征向量U-1是B的特征向量.)
3.n 阶矩阵的对角化问题
如果一个n阶矩阵相似与一个对角矩阵,就说它可以对角化.
并不是每个矩阵都可以对角化的,于是我们的问题是:(1)判断一个n阶矩阵A是否可对角化.
(2)如果可以,怎么构造可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵?
定理1 可逆矩阵U=(1,2,…,n)使得U-1AU是对角矩阵,并且其对角线上的元素为1,2,…,nU的列向量1,2,…,n都是A的特征向量,并且特征值依次为1,2,…,n.判别法则1n 阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量.
构造可逆矩阵U的方法 以An个线性无关的特征向量1,2,…,n为列向量,构造矩阵U=(1,2,…,n),则U-1AU是对角矩阵.
定理2 A的一组特征向量1,2,…,s线性无关1,2,…,s的每个属于同一特征值的部分组都线性无关.
判别法则2 A可对角化对于A的每个特征值,其重数=n-r(E-A).推论 如果A的特征值两两不相同,则A可以对角化.
二.典型例题
1.特征值和特征向量的计算和应用
例1 -1 2 2
设A= 2 -1 -2 ，求A和A-1+E的特征值．(三)
35
2 -2 -1
例2 a 1 1 1
求矩阵 1 a 1 1 的特征值和特征向量．(92四) 1 1 a 1
1 1 1 a
例3 2-1 2
已知=(1，1，-1)T是5 a3 的特征向量，求a,b和的特征值．(97一) -1 b -2
例4 3 2 2 0 1 0
设A= 2 3 2 ,U=1 0 1 ,B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.(03一) 2 2 3 0 0 1
例5 a -1 c
已知 A= 5 b 3 ，|A|=-1，(-1，-1，1)T是A*的特征向量，特征值为.1-c 0 -a 求a,b,c,和.(99一)
例6设3阶矩阵A有3个特征向量1=(1,2,2)T，2=(2,-2,1)T，3=(-2,-1,2)T，它们的特征值依次为1,2,3,求A．(97四)
例7设3阶矩阵A有3个特征向量1=(1,1,1)T,2=(1,2,4)T,3=(1,3,9)T,它们的特征值依次为1,2,3.又设(1,1,3)T,将用1，2，3线性表示并且求An.(92一)
例8 已知3阶矩阵A满足|A+E|=|A-E|=|4E-2A|=0,求|A3-5A2|.
例9 设(1,2,-1)T,=(-2,1,-2)T,A=E-T.求|A2-2A+2E|.
例10 设4阶矩阵A满足A3=A.
(1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数.
(2)如果A还满足|A+E|=8,求|A2+E|.
例11已知n阶矩阵A满足A3=E.
(1)证明A2-2A-3E可逆.
(2)证明A2+A+2E可逆.
2.相似与对角化
例12设A和B都是可对角化的n阶矩阵,证明A和B相似A和B的特征值完全相同.
例13 1 2 -3
已知3阶矩阵A=-1 4 –3 有一个二重特征值,求a,并且讨论A可否对角化.(04一二) 1 a 5
36
例14 设n阶矩阵 1 b … b
A= b 1 … b ,
…… …
b b … 1
(1)求A的特征值和特征向量.
(2)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.(04三)
例15 a 1 1
已知A= 1 a -1 ,a 是一个实数.
1 -1 a
(1) 求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.
(2)计算|A-E|. (02 四)
例16 1 -1 1 2 0 0
已知A= 2 4 -2 B= 0 2 0 .
-3 –3x 0 0 y
(1)求x,y.
(2)求作可逆矩阵U,使得U-1AU=B.(97四)
例17 3 2 -2
设A=-k -1 k .
4 2 -3
(1)问k为何值时A可对角化?
(2)此时作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.(99四)
例18 2 2 0
已知A= 8 2 a 可对角化,求a,作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.(03二) 0 0 6
例19设A为3阶矩阵,1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3,A2=22+3,A3=22+33.
(1)求A的特征值.
(2)求作可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2005 年数学四)
例20设1,2是A的两个不同特征值,1,2分别是对应的特征向量,则1,A(1+2)线性无关的充分必要条件为
(A)10.(B)20.(C) 1=0.(D) 2=0.(2005 年数学一,二,三)
参
例1 A的特征值:1,1,-5.
A-1+E的特征值:2,2,4/5.
例2 a-1,a-1,a-1,a+3.
例3a=-3, b=0, 特征值-1.
37
例4 特征值:9,9,3.
属于9的特征向量:c1(1,-1,0)T+c2(1,1,-1)T,c1,c2不全为0.
属于3的特征向量:c(0,1,1)Tc 不为0.
例5a=2,b=-3,c=2,=1.
例6 7 0 -2
(1/3) 0 5 -2 .
-2-2 6
例7 (2-2n+1+3n,2-2n+2+3n+1,2-2n+3+3n+2)T.
例8 -288.
例9 5.
例10的(2)8.
例13 a=-2(此时可对角化),或a=-2/3(此时不可对角化).
例14(1) 特征值:1-b(n-1重),1+(n-1)b.(如果b=0则都为1.)
属于1-b的特征向量:c1(1,-1,0,…,0)T+c2(1,0,-1,…,0)T,…,cn-1(1,0,0,…, -1)T,c1,c2,…,cn-1不全为0.
属于1+(n-1)b的特征向量:c(1,1,1,…,1),c 不为0.
(2) 1 1 1 … 0 1 1-b 0 0 … 0
U=-1 0 0 … 0 1 ,U-1AU= 0 1-b 0 … 0 .
0 -1 0 … 0 1 0 0 1-b … 0 … … … … … … … …
0 0 0 -1 1 0 0 0 …1+(n-1)b例15
1 1 -1 a+1 0 0
U= 1 0 1 ,U-1AU= 0 a+1 0 .
0 1 1 0 0 a-2 例16 (1)x=5,y=6.
(2) 1 1 1 2 0 0
U= -1 0 -2 ,U-1AU= 0 2 0 .
0 1 3 0 0 6
例17 (1)k=0.
(2) 1 0 1 1 0 0
U= 0 1 0 ,U-1AU= 0 -1 0 .
1 1 2 0 0 -1
例18(1)a=0.
(2) 0 1 1 6 0 0
U= 0 2 -2 ,U-1AU= 0 6 0 .
1 0 0 0 0 -2
例19(1) A的特征值为1,1,4.
(2)令P=(1-2,22-3,2+3),则
1 0 0
P-1AP= 0 1 0 .
0 0 4
例20(B).
38
附录一内积正交矩阵实对称矩阵的对角化
本附录中的向量的分量和矩阵的元素都要求是实数(称为实向量和实矩阵).
1.实向量的内积
定义两个n维实向量=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T的内积规定为: (,)=a1b1+a2b2+…+anbn=T.
内积的性质:
(1)正定性:(,)0,并且(,)=0=0.
(2)对称性:(,)=(,).
(3)双线性性质:(,12)=(,1)(,2);(12,)=(1,)(2,).
(c,)=c(,)=(,c).(c为任意实数)
实向量的长度:‖‖= | () | . |
显然‖c‖=|c|‖‖,‖‖=0=0..
长度为1的向量称为单位向量.如果不是零向量,则/‖‖是单位向量,称为的单位化.
如果(,)=0,则说和正交.
如果向量组1,2,…,s中的每个都是单位向量,并且两两正交,则称它们为单位正交向量组.
2.正交矩阵
定义n阶矩阵Q称为正交矩阵,如果它是实矩阵,并且QQT=E(即Q-1=QT).命题 Q是正交矩阵Q的列向量组是单位正交向量组.
Q的行向量组是单位正交向量组.
3.施密特正交化
这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.
以3个线性无关向量1,2,3为例.
(1)令1=1,
=- | (2 | , | 1 | ) | | , | |
| | | | |
22 | (1 | , | 1 | ) | 1 | | (3 | , | 2 | ) | | . |
=- | , | ) | | - | ||||||||
(3 | 1 | |||||||||||
33 | (1 | , | 1 | ) | 1 | | (2 | , | 2 | ) | 2 | |
此时1,2,3是和1,2,3等价的正交非零向量组.
(2)作1=1/‖1‖,2=2/‖2‖,3=3/‖3‖,则1,2,3是和1,2,3等价的单位正交向量组.
4.实对称矩阵的对角化
时A是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.
A的特征值和特征向量有以下特点:
(1)特征值都是实数.
39
(2)对每个特征值,其重数=n-r(E-A).
(3)属于不同特征值的特征向量互相正交.
于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.
设A是实对称矩阵,构造正交矩阵Q(使得Q-1AQ是对角矩阵)的步骤:
(1)求出A的特征值;
(2)对每个特征,求(E-A)X=0的单位正交基础解系,合在一起得到A的n个单位正交的特征向量;
(3)用它们为列向量构造正交矩阵Q.
例题
1.关于内积和正交矩阵
例1设1,2,…,s是一组两两正交的非零向量,证明它们线性无关.
例2设A为实矩阵,证明r(ATA)=r(A).
例3 设A为3阶正交矩阵,它的第一行第一列位置的元素是1,又设=(1,0,0)T,则方程组AX=的解为 ．（四）
例4设1,2,…,s和1,2,…,t是两个线性无关的n维向量组,并且每个i和j都正交,证明1,2,…,s,1,2,…,t线性无关.
例5 设A为n阶正交矩阵,和都是n维实向量,证明:(1) 内积(,)=(A,A).
(2)长度‖‖=‖A‖.
2.实对称矩阵的对角化
例6 设3阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1,(0,1,1)T是属于-1的特征向量,求A.(95一)
例7 设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,(1,1,-1)T和(-1,2,1)T分别是属于1和2的特征向量,求属于3的特征向量,并且求A.(97三)
例8 设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量.
(1)求A的另一个特征值与相应的特征向量.
(2)求A.(04四)
参
例3 (1,0 0).
例6 1 0 0
0 0 -1 .
0 -1 0
例7 属于3的特征值:(c,0,c),c不为0.
13 -2 5 | 40 |
(1/6)-2 10 2 .
5 2 13
例8(1) 0, (c,-c,-c),c 不为0.
(2) 4 2 2
2 4 -2 .
2-2 4
41
第七讲二次型
一.概念复习
1.基本概念
(1)二次型及其矩阵
n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为
f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+ a22x22+2a23x1x3+…+2a1nx1xn+
……………………
+annxn2
= | n i1 | a x ii i 2 | | 2 | ij | a x x ij i j | j . |
它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵
a11 a12 a13 … a1n
A= a12 a22 a23 … a2n ,
… … … …
a1n a2n a2n … ann
记X=(x1,x2,…,xn)T,则f(x1,x2,…,xn)=XTAX.
称A为f(x1,x2,…,xn)的矩阵,称A的秩为f(x1,x2,…,xn)的秩.
注意:二次型的矩阵是对称矩阵,它和二次型是互相决定的.
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.
大纲的要求限于实二次型.
标准二次型 交叉项的系数都为0的二次型,也就是矩阵为对角矩阵的二次型.规范二次型 形如x12+…+xp2-xp+12…-xp+q2的二次型,它的矩阵是规范对角矩阵: Ep 0 0
0 -Eq 0 .
0 0 0
(2)可逆线性变量替换和矩阵的合同关系
对二次型f(x1,x2,…,xn)引进新的变量y1,y2,…,yn,并且把x1,x2,…,xn表示为它们的齐一次线性函数
| x1=c11y1+c12y2+…+c1nyn, xn=cn1y1+cn2y2+…+cnnyn, |
代入f(x1,x2,…,xn)得到y1,y2,…,yn的二次型g(y1,y2,…,yn).把上述过程称为对二次型f(x1,x2,…,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵
c11c12… c1n
C= c21c22… c2n
42
A= b a b ,r( | A)+r(A*)=3,a,b.(03) |
18
19 a b -3 b-1 a 1
20 | 1( 2( | 3,-.(/( ),-.0 |
21 | 1( 2( | 3,-.(/( ),-70 |
22 A9 mn &’, B9 nm &’, /( )
23AB=0,A,B9ABCD&’,/
BTAB正定r(B)=n.(99一)
例15 设A是3阶实对称矩阵,满足A2+2A=0,并且r(A)=2.(1) 求A的特征值.
(1)当实数k满足什么条件时A+kE正定?(02三)
例16 设D=A C是正定矩阵,其中A,B分别是m,n阶矩阵.记P= Em–A-1C. CTB O En(1)求PTDP.
(2)判断B-CTA-1C是否正定?说明理由.
参
例1(1) f(x1,x2,…,xn)=XTA-1X.
(2)相同.
例2 (A)
例4a=2.
例5a=1,b=2.
例6 a=2.
例7 (1)a=0.
(3)f(x1,x2,x3)=0的通解为(c,-c,0),c任意.
例8 (1)y=2.
例9 -2<c<1.
例10a1a2…an(-1)N.
例11(2)k0,-2.
例15(1)-2,-2,0.
(2)k>2.
例16(1) A0 .
0B-CTA-1C
46
附录二向量空间
1.n 维向量空间及其子空间
记为Rn由全部n维实向量构成的集合,这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集
合,我们把它称为n维向量空间.
设V是Rn的一个子集,如果它满足
(1)当1,2都属于V时,1+2也属于V.
(2)对V的每个元素和任何实数c,c也在V中.
(也就是说,V中任意一组元素的任意线性组合仍在V中)则称V为Rn的一个子空间.
例如n元齐次方程组AX=的全部解构成Rn的一个子空间,称为AX=的解空间.但是非齐次方程组AX=的全部解则不构成Rn的子空间.
对于Rn中的一组元素1,2,…,s,记它们的全部线性组合的集合为 L(1,2,…,s)={c11+c22+…+css|ci任意},
它也是Rn的一个子空间.
2.基,维数,坐标
设V是Rn的一个非0子空间(即它含有非0元素),称V的秩为其维数,记作dimV.称V
的排了次序的极大无关组为V的基.
例如AX=的解空间的维数为n-r(A),它的每个有序的基础解系构成基.
又如dimL(1,2,…,s)=r(1,2,…,s),1,2,…,s的每个有序的极大无关组构成基.
设1,2,…,k是V的一个基,则V的每个元素都可以用1,2,…,k唯一线性表示: =c11+c22+…+ckk,
称其中的系数c1,c2,…,ck为关于基1,2,…,k的坐标,它是一个k维向量.
坐标有线性性质:
(1)两个向量和的坐标等于它们的坐标的和:
如果向量和关于基1,2,…,k的坐标分别为(c1,c2,…,ck)和(d1,d2,…,dk),则+关于基1,2,…,k的坐标为(c1+d1,c2+d2,…,ck+dk)=(c1,c2,…,ck)+(d1,d2,…,dk).
(2)向量的数乘的坐标等于坐标乘数:
如果向量关于基1,2,…,k的坐标为(c1,c2,…,ck),则c关于基1,2,…,k的坐标为(cc1,cc2,…,cck)=c(c1,c2,…,ck).
坐标的意义:设V中的一个向量组1,2,…,t关于某个基的坐标依次为1,2,…,t,则1,2,…,t和1,2,…,t有相同的线性关系.这使得我们可以用坐标来判断向量组的相关性,计算秩和极大无关组等等.
47
3.过渡矩阵,坐标变换公式
设1,2,…,k和1,2,…,k都是V的一个基,并上设I在1,2,…,k中的坐标为(c1i,c2i,…,cki),构造矩阵
c11 c12 … c1k
C= c21 c22 … c2k ,
… … … …
Ck1 ck2 … ckk
称C为1,2,…,k到1,2,…,k的过渡矩阵.
可以利用矩阵分解的工具,用矩阵乘法写出过渡矩阵和两个基的关系: (1,2,…,k)=(1,2,…,k)C.
如果V中向量在基1,2,…,k和1,2,…,k中的坐标分别为x=(x1,x2,…,xk)T和y=(y1,y2,…,yk)T,即有=(1,2,…,k)x,并且
=(1,2,…,k)y=(1,2,…,k)Cy.
于是有坐标变换公式:
x=Cy.
4.规范正交基
如果V的一个基1,2,…,k是单位正交向量组,则称为规范正交基.
两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积.
两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.
例 设A是54矩阵,r(A)=2,(1,1,2,3),(-1,1,4,-1)和(5,-1,-8,9)都是AX=的解,求AX=的解空间的一个规范正交基.,
48
附录三两个线性方程组的解集的关系
线性方程组是考研数学卷线性代数部分的重点.不仅要考计算题(求通解),方程组的理论部分也是重要考点.两个线性方程组的解的关系是近年来在试题中已经屡屡涉及到的问题,但是这个问题不仅有关的教材都没有讨论,一般的辅导材料中也找不到它.下面是对这个问题的一些探讨.
(一)线性方程组的公共解
如果两个线性方程组(I)和(II)都有n个未知数,则它们的公共解就是既满足(I)又满足(II)的n为维向量.当这两个都已具体给出时,只须将它们联立求解,就得到它们的公共解.问题是:如果其中一个方程组(或两个方程组)只给了通解,没有给出其他形式,怎么来求公共解？
例1(94年的考题)设(I)和(II)都是4元线性方程组,其中(I)为
为 x1+x2=0，
x3-x4=0，
(II)的一个基础解系为1=(0,1,1,0),2=(-1,2,2,1).求(I)和(II)的公共解.
解 一种思路是构造一个线性方程组(III),使得它也以12为基础解系于是(III)和(II)同解,从而(I)和(II)的公共解也就是(I)和(III)的公共解,可以解(I)和(III)的联立方程组来求得.例如(III)可以是:
x1+x4=0.
x2-x3=0,
这种思路的困难在于构造方程组(III),在考场上不是每个考生都能很顺利完成的.
另一种思路为:(I)和(II)的公共解都必定是(II)的解,因此有c11c22的形式.它又满足 (I),由此可决定c1与c2应该满足的条件.具体计算过程:将c11c22=(-c2c1+2c2,c1+2c2,c1)代入(I),得到
-c2c1+2c2=0,
c1+2c2-c20
解出c1+c20即当c1+c20时c11+c22也是(I)的解.于是(I)和(II)的公共解为:
c(1-2),其中c可取任意常数.
例2设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元齐次线性方程组，已知1=(1,0,1,1),2=(-1,0,1,0)，3=(0,1,1,0)是(Ⅰ)的一个基础解系,1=(0,1,0,1),2(1,1,-1,0)是(Ⅱ)的一个基础解系．求(Ⅰ)和(Ⅱ)公共解．
解用例1的第二种思路解.现在(Ⅰ)也没有给出具体形式,因此不能用例1的方法决定为使c11c12满足(Ⅰ)，c1与c2应该满足的条件.替代的结论是:c11c12满足(Ⅰ)的充分必要条件为c11+c22能用1,2,3线性表示,即r(1,2,3,c11c22)=r(1,2,3).利用秩来
计算: | 0 0 1 c1c2 0 1 0 c1c2 , 1 1 1 -c2 0 0 1 -2c1 1 0 0 c1 0 0 0 3c1c2 1 -1 0 c2 1 0 0 c1 |
于是当3c1c20时c11c22也是(I)的解.从而(I)和(II)的公共解为:c(1-32),其中c可取任意常数.
49
这两个例子中出现的线性方程组都是齐次的，但是所用的方法稍作修改也可用到非齐
次线性方程组上.
例3 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元非齐次线性方程组，(Ⅰ)为
x1-x2+x3=3,
x2-x4=t.
(Ⅱ)的通解为+c11c22(c1c2可取任意常数),其中 =(1,0,1,0),12=(1,1,1,0).
已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共解,求t和它们的全部公共解.
解 把+c11c22=(1+c2,c1+c2,1+c2,2c1)代入(Ⅰ),得到
c2-c1=1,
c2-c1=t,
于是t=1,(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为+c1c+12(c可取任意常数).
例4 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解1+c11c22,(c1c2可取任意常数),1=(1,0,1,),12=(1,2,1)；(Ⅱ)有通解2+c,2=(0,1,2),=(1,1,2).求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.
解公共解有2+c的形式,它又是(Ⅰ)的解,从而存在c1c2使得 2+c=1+c11c22,
于是2+c-1可用12线性表示,即r(12,2+c-1)=r(12).
1 1 c-1 1 1 c-1
1 2 c+1 0 1 2
0 1 2c+1 0 0 2c-1 ,
得到c=1/2,从而(Ⅰ)和(Ⅱ)有一个公共解2+/2=(1/2,3/2,3).
下面得出两个齐次线性方程组AX=0和BX=0有公共非零解的充分必要条件: (1)r A <n.
B
(2)(设BX=0有基础解系1,2,…,s)A1,A2,…,As线性相关.
(3)(设AX=0和BX=0分别有基础解系1,2,… ,k和1,2,… ,s)向量组1,2,…,k,
1,2,…,s线性相关.
(二)两个线性方程组的解集的包含关系
设(I)和(II)都是有n个未知数的线性方程组,如果(II)的每个解也都是(I)的解,就说(II)的解集包含在(I)的解集中，记作J(II)J(I)，这里J(I)和J(II)分别表示(I)和(II)的解集.如果J(I)=J(II),就说这两个方程组同解.问题是:怎样用方程组的系数矩阵和增广
矩阵来判别这种包含关系和同解关系?
对于两个n元齐次方程组AX=0和BX=0,同解r(A)=r(B)(因为n-r(A)=n-r(B)).命题 (1)设齐次线性方程组(I)AX=0和(II)BX=0都有n个未知数.则J(II)J(I) r(B)=r A .
B
(2)设(I)AX=和(II)BX=是两个n元非齐次线性方程组,则:(II)有解,并且J(II)J(I)r(B)=r A.
B
证(1)J(II)J(I)即(II)和(I)与(II)的联立方程组同解,从而
50
r(B)=r A .
B
反之,因为(I)与(II)的解,一定也是(II)的解,所以当
r(B)=r A
B
时,(I)与(II)的联立方程组的基础解系一定也是(II)的基础解系,从而(I)与(II)的联立方程组和(II)同解,即J(II)J(I).
(2)的“”
取定(II)的一个解,则它也是(I)的解，从而是联立方程组的解.
下面先说明(II)的导出组BX=0的解集包含在(I)的导出组AX=0的解集中:如果是BX=0的解,则+是(II)的解,从而也是(I)的解,因此也是AX=0的解.
rA=r A=r(B).
B B
“”条件
r(B)=r A
B
说明
rA=r A=r(B|)=r(B),
B B
从而(I)与(II)的联立方程组有解,并且BX=0的解集包含在(I)的导出组AX=0的解集中,从而即J(II)J(I).
推论(1)两个齐次线性方程组AX=0和BX=0同解的充分必要条件:r A =r(A)=r(B).
B
(2)两个n元非齐次线性方程组(I)AX=和(II)BX=都有解,并且同解的充分必要条件:r A=r(A)=r(B).
B
例5(98年考研题)已知方程组
x1+mx2-x3-x4=-5 x1+x2 -2x4=-6 (Ⅰ) nx2-x3-2x4=-11 (Ⅱ) 4x1-x2-x3-x4=1 x3-2x4=1-t 3x1-x2-x3 =3同解，求m，n，t．
解 方法一 思路:求出(Ⅱ)的一个解,使得它的第二个分量不为0(为什么?请读者思考),代入(Ⅰ)的各个方程,决定m，n，t的值.
-2 -5 -5 , 1 1 0 2 -6 1 1 0 2 -6 1 0 0 1 -2
(-2,-4,-5,0)是(Ⅱ)的一个解,代入(Ⅰ)的各个方程,求出 m=2,n=4,t=6.
方法二思路:利用命题的结果,方程组(I)的增广矩阵的行向量组可以用方程组(I)的增广矩阵的行向量组线性表示,于是可通过计算秩来决定m，n，t．
0 -1 -1 -1 -1 1 0 0 1 6 9 -5 1 4 3 1 0 0 1 4 3 1 0 0 1 -1 -1 m n 0 0 1 1 1 1 -1 | 51 |
-2-1 0 -1 -2 –2 0 0 0 m-2 n-4 0
-6 1 3 -5 -11 1-t 0 0 0 0 0 t-6 ,
得m=2,n=4,t=6.
注:方法二按理还应该验证两个方程组都有解,但在考试中不做验证不算问题,并且秩的计算中也可看出(Ⅱ)有解.
52
附录四06,07年考题
06年考题
数学一
(5)设矩阵A=2 1 ,E为2阶单位矩阵,2 阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=( ).
-1 2
(11)设1,2,…,s都是n维向量，A是mn矩阵，下列选项中正确的是（ ）.(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.
(B)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.
(D)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
(12)设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A)C=P-1AP.
(B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP.
(D)C=PAPT.
(20)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
ax1+x2+3x3+bx4=14x1+3x2+5x3-x4=-1，
有3个线性无关的解.
① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
② 求a,b的值和方程组的通解.
(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
① 求A的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
数学二
(6)设矩阵A=2 1 ,E为2阶单位矩阵,2 阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=( ).
-1 2
(13)设1,2,…,s都是n维向量，A是mn矩阵，下列选项中正确的是（ ）.(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.
(B)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.
(D)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
(14)设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
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P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A)C=P-1AP.
(B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP.
(D)C=PAPT.
(22)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
ax1+x2+3x3+bx4=14x1+3x2+5x3-x4=-1，
有3个线性无关的解.
① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
② 求a,b的值和方程组的通解.
(23)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
① 求A的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
数学三
(4)设矩阵A=2 1 ,E为2阶单位矩阵,2 阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=( ).
-1 2
(12)1,2,…,s都是n维向量，A是mn矩阵，下列选项中正确的是（ ）.
(A)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.
(B)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.
(D)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
(13)设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A)C=P-1AP.
(B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP.
(D)C=PAPT.
(20)设1=(1+a,1,1,1),2=(2,2+a,2,2), 3=(3,3,3+a,3),4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时1,2,3,4线性相关?在1,2,3,4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
① 求A的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
③ 求A及[A-(3/2)E]6.
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数学四
(4)已知1,2为2维列向量,矩阵A=(21+2,1-2),B=(1,2).若|A|=6,则|B|=( ).
(5)设矩阵A=2 1 ,E为2阶单位矩阵,2 阶矩阵B满足BA=B+2E,则B=( ).
-1 2
(12) 设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A)C=P-1AP.
(B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP.
(D)C=PAPT.
(20)设1=(1+a,1,1,1),2=(2,2+a,2,2), 3=(3,3,3+a,3),4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时1,2,3,4线性相关?在1,2,3,4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
① 求A的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
③ 求A及[A-(3/2)E]6.
07年考题
1．设1，2，3线性无关，则( )线性相关：A.1-2，2-3，3-1；
B.1+2，2+3，3+1；
C.1-22，2-23，3-21；
D.1+22，2+23，3+21．
2．设
2 -1 -1 1 0 0
A= -1 2 -1 , B= 0 1 0 ,则
-1 -1 2 0 0 0
A.A与B既合同又相似.
B.A与B合同但不相似.
C.A与B不合同但相似.
D.A与B既不合同又不相似.
3．设
0 1 0 0
A= 0 0 1 0 , 则A3的秩为 .
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0 0 0 1
0 0 0 0
4.已知方程组
x1+x2+x3=0,
x1+2x2+ax3=0, 和 x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a和全部公共解.x1+4x2+a2x3=0
5.3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量.记 B=A5-4A4+E.
(1)验证1也是B的特征向量.
(2)求B的特征值和特征向量.
(3)求B.
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