球形储罐考虑储液晃动时的简化动力学模型基本理论

第38卷第7期

JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK

Vol. 38 No. 7 2019

球形储罐考虑储液晃动时的简化动力学模型基本理论

吕远孙建刚2&孙宗光崔利富2&王振2

(

1.大连海事大学道路与桥梁工程研究所，辽宁大

连

116026;2.大连民族大学土木工程学院，辽宁大

连

116650)

摘要：为了更加真实地反应球形储罐在地震动作用时的液固藕联振动动力响应，采用速度势刚性理论，根据边

界条件推导出合理的势函数，进一步求出球形储罐在地震动作用时的动液压力、储液晃动波高、支承底部剪力及倾覆弯矩 表达式，并分析了不同截断数8及球罐半径对各参量的影响。将该推导的晃动分量系数和晃动频率与Lggd值作对 比，两者十分接近，验证了该推导过程的正确性。构建了便于工程应用的球形储罐考虑储液晃动简化动力学模型，分

2

I

、

、3、5四类场地进行了地震动响应研究并与有限元数值仿真模拟计算结果进行对比，有限元解与理论解十分接近，且 关键词：球形储罐;储液晃动;势函数;简化力学模型;地震动响应中图分类号：TU352

文献标志码：A

理论解均值均大于有限元解均值，计算结果偏于安全，进一步佐证了所构建的简化力学模型的准确性及可靠性。

DOI:10. 13465/j. cnki.ji.2019.07.023

Basic theory for simplified dynamic model of a spherical tank considering stored liquid sloshing

LU Yuan1 , SUN Jiangang2 , SUN Zongguang1 , CUI Lifu2 , WANG Zhen2

(1. Institute of Road and Bridge Engineering，Dalian Maritime University，Dalian 116026，Chin

2. College of Civil Engineering，Dalian Nationalities University，Dalian 116650，China)

Abstract:

In order to describe dynamic responses with liquid-structure interaction of a spherical tank under ground

velocity potential rigidity theory was adopted，and a reasonable

motion more accurately，the potential function was

under boundary conditions. Further，dynamic liquid pressure，wave height of stored liquid sloshing，shear force andoverturning moment at support bottom of the tank under ground motion were deduced. Effects of different truncationnumbers and the tank / s radius on each parameter were analyzed. Comparing sloshing component coefficients and sloshing frequencies derived here with

those deduced

by

Lazaros，they

were

very close to each

other

to

authors’ derivations. Then， a simplified dynamic model for a spherical tank considering stored liquid sloshingwas constructed. Seismic responses of the tank on sites of type，2compared witli those of finite

element numerical

，3 and 5 were studied，respectively. The results were

shown that tlie finite of

the of the

element solu

than and

those

former，and proposed

simulations. It was

theoretical ones，all average values of the latter are biased to

safety

to

verify

the

are larger correctness

the

reliability

simp

Key words ： spherical tank ； stored liquid sloshing; potential function; simplified dynamic model; seismic response

球形储罐是石油化工领域非常重要的存储设备， 其存储介质往往为生产过程中易燃易爆的原料、过程 料和成品。此类结构一旦遭遇强震，可能发生储罐容 器坠落倒塌引起爆炸，进而引发火灾等。因此研究球 形储罐在地震作用下的动力响应及抗震、减震措施是 很有必要的。《构筑物抗震设计规范》[1]对球形储罐的 抗震设计做出了相应规定，其忽略储液晃动效应，采用

基金项目：国家自然科学基金（51478090 ;51878124);辽宁省自然科学基

金（2015020620;20180550073

收稿日期：2017-11-17修改稿收到日期：2018-01-19

第一作者吕远男，博士生,1990年3月生 通信作者孙建刚男，博士，教授,1959年4月生

等效附加质量法将球罐简化为一个单质点体系进行抗 震设计，但在地震动作用下球罐的振动为罐内储液与 罐壁及支承结构的液固藕联振动，其受力过程较为复 杂。事实上，有关储罐类的液固耦合振动国内外学者 已经进行了大量研究，但主要针对立式圆筒形储罐，而

Xt举架式球形储罐的研究相对较少。20世纪，学者们 对球形储罐的晃动问题进行了理论和实验研究[17]。 Ramaneyulu等[8]采用有限元数值仿真手段，对LPG球 形储罐进行了地震荷载作用下的可靠性评估。 Papaspyrou等[9]采用速度势理论针对50J储液球形储 罐，推导出了一种用于计算储液动液压力等储液晃动 效应的数学解析模型，并研究了不同外部激励条件时

156振动与冲击2019年第38卷

的储液晃动效应。Lazaros等[1()C1]采用速度势理论推导 了球形储罐和水平圆柱形储罐线性晃 型，并以50 J储 志刚[12]利 地 应

限

晃动的地震动响应

限元数值

，

罐罐体在地

为

了地 形储罐

应的数学应

。

了考虑储液

位移仅为时间相关变量，记作；（K。

，认为罐内储液的晃动吸收了

全。戴鸿等[13]采化石

罐

了地震，认为

罐受力的

，

量，有利于球罐

了储液晃

(a)第一阶振型 （b) >

体水平平动

下是偏于安全的，其支体系才是薄弱点。Seyyed等[14]采线性势流体理论及

Mehler-Fock

求解球罐储液晃动问题，并研究了不同储

压力的

。

目

形储罐考虑储液晃动的地震动响应研究已经取得了 成果，

于理论

验的 ，且理论求解过程十分复杂，不便于

应用。

为

了更加 地反应球形储罐在地 的液固藕

联 力响应，本文采

势刚性理论，根据边界

条件推导出合理的势函数， 推导

形储罐

地

的

压力、储液晃动波高、支

剪力及倾覆弯矩表达式， 了便于

应用的球形储罐考虑储液晃动简化动力学模型， 了地

f响

应

限元数值仿

计

果进行对比，

辅证了理论推导的 性。

1

基本理论

!1基本假定

于球形储罐相对于大型

储罐来说体积较小，

厚厚，且于

形形状及主要存储轻质，所以

体的晃动过 罐

生的变形 ，应 说达到了

计的

。

假为刚性罐壁，设；是罐罐体在地

的相，是

相

量， 我们也知

于球罐支承的存在，罐体各

的

相同，

；0也是空间相 量，记 ；（7，0，，#，K。球形储罐在地震

主要激

型，故主要以

型

为

，现利

限 ， 形储罐进行模

， 型的

形 。

，

限 数值仿 型，

。图1可知，

罐罐体来说，

型

似

为球罐罐体水平平动及罐体 面的旋转，由

于球罐支承系统的 刚度比抗剪刚度大得多，属于剪切型 ， 型以水平平动为主，转十分弱，

计 为 简 化 计

转 。Lazaros等

储液晃

应

罐 计影

的 便做过类似假定， 了罐体转

，假

罐罐体整体平动，在地

罐体各

：

(7

罐体转动图1

罐第一阶振型

Fig. 1 Spherical tank first order mode

同时假定储液为无旋、无粘、不可压缩的理想流 体。在地

下，根据 势刚性理论[15_6]，储地应 为对流 和刚性运动，储

势

为刚性

势和对流晃

势，记为1(X0，)#，

K

Laplace = —(r，0，y8，K + —(X0，y#，K，满足球坐标系下的

方程：

dr1

22 r ddri

丄

cos 0 '1

X

'02

X sin 0 '0

r2sin\" 0 d#2罐计算简图如图2所示，地面运动；（K作用

下，罐体

生相

为；（K的

。因为-、-均满足方程（1 )，

别讨论刚性速度势和晃

I

势。

! 2

刚性速度势

根据上述假定，刚性

势-(r，0，沐K

应满足 Laplace方程

（1)和边界条件：

—.(# + 2

= —.(# )

(2)

第7期吕远等：球形储罐考虑储液晃动时的简化动力学模型基本理论157

=[;(〇+;(〇]sin 0cos # (4)

m

./n(K nX_1Pn(cos 0 cos 0 ) XX#

其中X = 7表示球罐半径&;( K为地面运动速度， ;(K为罐体运动速度;根据求解Laplace方程分离变 量法及边界条件可得出刚性速度势#

—=[;(K + ;(0]. X ■ 2n 0 ■ c〇s #

-2* ^Rsin 0

—((X0 ./n(0X_1[Pn(CoS 0 ]’ ？

一 -0 n = 1sin 0—* ( x 0 XX# =厂2* 厂RSn 0 r . 0* * [/4(K + ;(K ] — ( (X0 ------xx# (13)

4

/一R

其中Rsin 0为自由液面半径，0 = arcosi;且在

)

(5)

! 3晃动速度势

同刚性速度势，晃动速度势—（X0#，K也满足 Laplace方程（1)和边界条件：

面域〇2上存在r=c|，/为储液高度;所以式（K)可

—(# + 2 *)= —R(

#)(6)B—B=0

#(7)# =0，T

B—=0

(8)

由分离变量法设—（X0#，K = 7\" ( X / ( 0) L (#) .\"(K，根据赵忠奎等[17]提出的求解球域内Laplace方 程边值问题的方法，依据现有的边界条件可求得晃动 速度势的一般级数解：

—(X0#，K = .,=/1„ ⑴广 >i(c〇s0c〇s#，

8 = 0，1，2,3… （9)对于储液自由液面（如图1所示，记为O\")来说还

存在:^1

:0;-

我 '1dt By ;

其中为表面波动方程，因此可得：

- <^2BK

214

B1

B — .■BB> — ———B—By

Bt

4

By

Bt

By

0 (10)

而又因为；=xin 0os #,所以存在

—=[;(K +;(K]xin0os# = [;(K +;〇(K];

故而BB

—=〇。

式（10)可以写为：

B 2—R

B—2R B —

X

(11)

将速度势方程式(5) $( 9)代入式（11)可得:

-4-.…4 =,（k) rnPln ( c〇s e) +T1

.n=1

/n(0nX_1pn(C〇S 0)C〇S 0 =8

.n=1

/n(KX_1[pn(c〇s 0 ]’sin 0 =[…4(t) +…0(t)] .LJ^

4

(12)

由于式（12)在自由液面〇2上均满足，根据叠加原

理，可将两边同时乘以调和函数—（X 0，并在圆域〇2 内积分，所以可以得到如下方程：

广I20 * \\广R b 0 0 (X0 /( 1― *8 … ,4 n.=/1n n ⑴ XPnn

OD 0 +cos 0以转换为：2，

0 (4 |n.:1/ n(K^oF0

pn(cS0 +

./n(Kn (co/2^ 0

r

pn(coS0) ) ?

(20 co23 0

60 -2*\\J0 — * (尺\\ c 一〇s R60 ./n(0 ?-------(/-R)cos ------- n+1sin2 00L[ >1X (c os0e)]」

]02* I4(K + ;

(K

] — * (V Hcos 一 R0，0

sin20 (/ -R):

4 cos 0

d0(14)

同时由边界条件(8)可得：

.n =/ 1

n ( K nRn-pn ( cos 0) cos 0 = 0 (15)

式（15 )在储液与罐壁耦合面S1 ( r=R)上均满足，同样

可根据叠加原理，将两边同时乘以调和函数—* (X0)， 并在圆域〇1内积分，所以可以得到如下方程：

j*0 fJ —0 * (R，0) ./nn=1

(t) nRn-1 p, ( c S 0) ?

cos 07sin 0d0# = 0 (16)将式（14) $( 16)相加可得：

f01 (含.4 n=1. n( K(/-R：0

0in 0 pn (coS0) +

./n(Kn ---(/-— Rn)n+----sn 0pcos + n100XC1 (O S0)) 0) ) X?/ -R

01

co20:

，0|60

01

nW

-------(/ - R)n+sin20「p1( 0) ] ]0 +cos -------〇[pn(C° 0) ] 60 +

—* ( R，0) .=1

fn ( K) nRn+1 p；n ( co s 0) cos 0s i n 0d0 =

n—-R

10 …4 ⑴ + .0 ⑴]—* ( —c^os 0 0 R\" \\V，0) 乂

X

sin20 ( — -R

)3

4

cos40

60

(17)

158振动与冲击2019年第38卷

式（17)可以写成矩阵的形式#广01

f -*[#i]TLD]60 +

•> 0

AT,=

2*(7c)13 f1 Pl (a)槡 1 _ a2

/ <7

(30)

广01

f -*([#\"]? = [#3]T C [#]T)[/]60 =

0jVJ〇

-*^如=2

(18)

f1 >1(a),槡^da

/ >7

参照结构动力学振型叠加原理[18]，可以将式（24)

(;^4 ⑴ C;0(K) (cos/_&7)3JBl00 0 SJ4

看作是耦合在一起的8阶线性无阻尼运动控制方程， 现在需要对其进行解耦，首先求出各阶振型及对应晃

其中：

*#1 ] = [L (f

fg-c〇C

s

Q

0

m

0>(c〇0)]

J»x1(19)[#\"]=[,

( cos 0) ]

(20)

[#3 ] = [L ( / _ C〇〇S ):2+0 0Sm20[ >(C〇S0)]]J8 X1(21 )

[#4] = [,7\"+1>i(c〇s 0)cos 0sin 0+8X1 (22)

[/]=[/„(0] 8X1

(23)

根据Galerkin离散化原则，调和函数-((

X 0)可离

8

散为一个8阶列向量-((X0) = .

rz>(

cos

0) &记

i = 1

做[>]=[办;]811，则式（18)可以写为：[a] {/I C [6] {/I = _ W (;(0

C ;0(0 ) (24)

其中

[a] 8X8 = * >][ #1 ] ?

(25)

[6+8X8 = [>]([#2]T _ [#3]T C [#4]?) (26)

W8X1

= [P+^C

cos 0^

2

4

0 (27)

7 -/

同时可设 & =7/<7C0S 0，C = cos 01

/一7&分储液

7

/>7

高度大于储罐半径和储液高度小于储罐半径两种情况 考虑。则矩阵[a] &[6] ,{；?的，行z列元素分别为#

a,i

2*(7c),+l+2 f1 >(&)>(&)

4 丄 -da， / <7

a\"+l+(28)

a,i

2*( 7c)T

>1(a)>i(a)

da

， / >7

6，=_2 *,( 7)

Z

>1(&)>,(&)

da

2*(7C)l+\"+1 f1 > (a1>:2(a) (1 _&2 ) da C2*«(7c) \"+l+1| Pp (a)P,(a) da， / <7

(29)

6, =2*(7c)l+,+1f

> (a1p:1(a)da C

2*(7d

1 >(alp:2(a) (1 _

a2)dac

2*,7\"+1+1*1(&)>,(&)da， / B 7动频率#

([6] _%,[a]){

I

= 0 (31)

式中为，阶晃动频率，{*, I为对应的，阶晃动振 型;根据上述内容可知，式(24)为8阶矩阵方程，其中 8 =1，2,3，4,为截断数，其取值不同时结果精度会产生差异；

因此式(24)可以转化为8个非耦合的方程：8【V(0 c e

v

(0 = _ (;⑴ c ;⑴）（32)

其中

{*I?[a]{*|

+ ’E = {* 丨

T[6]{*+

+ ，+ = {*+T{；?

，[/I = .

{ *, I V

(33)

可将式(32)写为如下形式：

+%+;(0=_ (;4(K C ;0(K )

(34)

其中

(,) (,)2 {*|T[6 I ]{*+ (35);(0=8崩，％ = {*t[ a+{ * I (35)

式(34)为晃动分量无阻尼运动方程，有阻尼运动方程 如下所示：

;<(0 +2:%+<(0 +%+;(0 =

_ (;4(K C;0 ⑴） （36)

由于储液晃动主要以第一阶振型为主，所以只以+ =1 时为主要研究对象，记；1(0 =;(0。

根据式(32) ~ (35)可得储液晃动速度势为：

—(r，0，#，t) = ;( 〇 { * I 1

*~+COS# (37)

其中[#] =

[

xp

,(&)];

所以总速度势为：

1 = [;(〇 C；0(0) ] ■ x - sin 0 ■ cos # C

x■ c((t,)) ---------{*1IT[#]

cos #

#

卜1

(38)

、有了总速度势，可得得出重力场作用下自由液面 的振动形态，及储液作用在罐壁上的动液压力：

-I(39)

>('1

7，0，#，t)(40)

第7期吕远等：球形储罐考虑储液晃动时的简化动力学模型基本理论159

将式(38)分别代入式(39)、(40)中可得#

hv

8[;4(0 +;o(0 +;(K]

C

(44)

丄

4(*;4(K

4

+;〇(〇] • r • sin 0 • cos #式中：

M

l

*pR

[3 (/

P7T

]，为储液总体积；

R\"

1*1 1T[#](1 _ &2)T 6&;

a

^ )

>(R

K

，d，#，t) =~( 41 )

p*R

21

| * } T [ #]( 1 _ &\" ) Id分别为刚性分量质量，

p( [ ；4 ( t) +；0 ( t)] ?晃动分量质量。

f# )

(42)

a

R

. ^0 cos #…，t l*ll?[#] • sm + xc(t) ---------cos

储液惯性力而产生的对支柱底部的倾覆弯矩也

是球罐地 ⑴

：

ds =应 的主要 #

则由储液运动产生的水平方向基底剪力为#

Y

⑴

p\\

〇i dt

'1 .

sin 0cos #ds

_$ '1[ r( 1 + c〇s 0) +- ] s i n 0co s #〇1 '_

(43)

8

_aL(;4 ⑴

P*R2

+;0(K) _

-0(;4(0 +;0(K) _+;(

0

8

—(;4

(0

+

(45)

1 [ #] (1 - a\") 士 da；⑴

1

;〇(0)

<

可以写为：

Y1(K

_ 8[;4(0 + ;0(K]

M

l

1 + [R(

—0 :h +

R

+ ■

3 (1 _ c2)2

4c3 _ 12c

引如3 *

爪r

l *1 ! ?[#]

(1 _ a2 ) 2 a da ]

(46)

$*

r

* 1 [ #]( 1 _ &2 ) ^ a da

(47)

%等参数的影响，而其均为储液高度/、储罐半径R的 因变量，因此记；=|，0 p ; p 2。根据式（31)可知，随

K

hc : h + R

式中：c k cos 0i

。

/-RR

，

h 为 罐 的

^的变化，我们无法得出上 的 值

，只 果精

得

生

，

数随储

求

化数8取各参

系列数值解，且

由上述可知，晃动波高、动液压力、基底剪力及倾覆弯矩主要受<

数随；0 p； p2，R =6. 15)化的一系列值，研 数8

各参数值的变化。计

果如图3所示。

l *1 ! ?[#]

m1

、晃动分量系数s=

a

L

、刚

性分量等效高度—0、晃 量等效高度hc及晃动频率

(G e值(b)晃动分量系数〔7刚性分量等效高度

(d)晃动分量等效高度

图3

不同截断数8时各参数曲线

(e)晃动频率

Fig. 3 The parameters curve of different truncated

160振动与冲击2019年第38卷

图3可知，随

近于某一值。当8

58

数

8

的增大，各数曲线趋

数

= 9。

于上

述各参数也受储罐半径7的影响，因此研究不同储罐 半

，各数的变化情况，计

果如图&所示。

时各数数值变化已十分微弱，

8

基本满足计算精度要求，

(a) e 值

(b)晃动分量系数

〔7刚性分量等效高度

(6)晃动分量等效高度

图4

不同储液高度时各参数曲线

(5

晃动频率

Fig. 4 The parameters curve of different height of the fluid

从图4(G中可以看出，随着7的增大，e值也逐渐增大，通过数值对比发现存在类似^ = I

2

e 2 7-\"度也逐渐增大，且近似存在

() _ 7 (-〇i --)

(-< --)71，（-02 --)

1的相关关系，

2

1等式的精确度与所取截断数及球罐半径的大小

7，因此晃动分量和刚性分量的等效高度可写为-<7$

(27 + -，-〇 _ -〇 ( 27 + -，其中-]〇分别是随尤变 化的系数；

于晃

说，其值随着7的增大逐

、所以晃动频率可

相关，从数据上来看， 时，

1J

数取9,半径0 <7&15 m

以内。储存介质为液体的球形储罐，除

渐减小，通过数值对比存在-以写为％ _ Aa

I

at\"超大型球形储罐(储量超过15 000 m3)外，其半径大多 于15 m，

等

应用于绝大多数球形储罐，认为

\"，A为随；变化的系数。上述已经提

化时的解

为了便于工程设

似

，拟

& = 7等式在0< 7 & 15 m是具有普适性的。因此e

22

到，我们无法得出各参数系数随储

，只 计应用， 合

得

系列数值解，

合，得

量系数来说，其值 化

&刚性 量等

储罐半径无关，只随储

知，随储量等

和晃

各参数值

表述为e _7的形式，其中：为随％变化的系数;对 晃

化;从图4(7$图4(d)

如式(48)〜（52)所示，参数值见表1。

罐半 的

e =(1.146sin(1. 725; - 0.186 9) + 0.3 3sin(3. 331 2; + 0.997 5) +

0. 973 3sin(6. 415; + 0. 597 7) + 0. 911 1sin(6. 506; + 3. 5) )7

r

(48)

=0.517 9 +0. 538 1cos(1. 377;) -0.072 68sin(1. 377;) -0.059 57cos(2.754；)-0. 0 12sin(2. 754；) (49)

0)83.31; + 168.3________________ 反

3. 571 ;4 + 6. 699;3 + 5. 69;2 - 109. 9; + 168.

0. 030 77;2 + 0. 274 8; - 0. 000 725 7)27 + -

Lazaros*11]值

(50)(51)(52)

-<

表

(0. 035 01; - 0. 149 3;4 + 0. 232;3 - 0. 147;2 + 0. 372; - 0. 002 425)27 + -

-0 : ( - 0. 013 76; + 0. 050 26;4 - 0. 066 86;

1曲线拟合优度+

Tab. 1 Goodness of fit of curves +$

数数值

e

r

将本文推导的晃动分量系数与晃动频率近似解析

比，如图5所示，发现两者十分

性。

-<

接近，由此也辅证了本文推导过程的

%

-0

0.999 5 1.000 0 1.000 0 1.000 01.000 0

第7期吕远等：球形储罐考虑储液晃动时的简化动力学模型基本理论161

.01

0.8 0.60. 40.

2

0 0.5 1.0 1.5 2.0

储液高度与半径之比

(G

晃

量系数对比

齋

截标崃

0

0.5

1.0

1.5

2.0

储液高度与半径之比

(b)晃动频率对比

图5数值对比

Fig. 5 Numerical comparison

2

简化力学模型

上述推导中所求出的Y 分别为储液在地震动下 生的

于支 的剪力和弯矩。地，支

剪力和

矩还应包

罐罐

体、支 量、球罐配件等产生的剪力和弯矩。！筑物 计 》（ZB 5#191—\"#1\")[1] 罐简化

为

单质量体系：

meq ： 8$ C 8\" + #. )8( + 8& C

()()

式中:8为球壳质量;8\"为液体有效质量;8(为支柱 和拉杆质量;m&为保温层质量;8)为球罐其他附件质 量，包括各开口，

装置，

和平台等。

由于8&、8) —般附加于罐体，$/2支柱和拉杆质 量集中于支承顶部附加在罐体上，为便于 计，此

时也可将8$、#. 58(、8&、8)整合为一个集中质量，

记作

8s =8$ C #. 5 8

( C 8& + 85

(54)

可设地 集

量对应的相：移

为罐体相

；#(K。

得由于其惯性

生的基底剪力为：

Y(K =-8』；4(0 +;〇(0]

(55)

基 剪力 为：

Y(K 二 Y +Y =- (rn +rn)[;4⑴ +;#(K]-rn[;4(K +;〇⑴ +;(K] (56)

由罐体，支体系及附件等产生的基底弯矩表达式为： M\" = ( — 8$ —i — #. 5 8( —( — 8& —& —85-5 -…-8人）[;⑴ +;〇 ⑴](57) 式中:—$为球壳集中质量等 ；—（为支 量等效

;—&为

量等

；—5…—，为各附件等效

，根据不同球罐结构形式，表示多种附件对应的等。

对球壳来说其对支柱底部产生的弯矩可表达为

8

$ —$ =厂2*厂0厂7$[* * * [ 7$ ( $ + cos 0) + —]p$r\"sin

0drddd# -

厂2*厂0厂7\"J J * [ 72 ( $ + cos 0) +—]p

$r\"sin

0drd0iy#] X

[;+;0] (58)

求解积分，可得：

8$—$ ==^*$7((— +

7

1)[;4⑴ +;〇(K]-|*$7((— +7\")[;(K

+;0(K] (59)

:7$为球罐内壁半径;7\"为球罐外壁半径;$为罐 体密度;7$ -7\"为罐罐壁厚度，相于7$、7\"来说十

，

(5%)可以写为：

■4*Pl7^ (— +7$)[ (^) +；*〇 (^)]-夺*$7((— +7\")[;4(K +;〇(K] -夺*$(7( -7\")[;⑴ +;〇(K](— +7)

(60)

而|*$(7( -7()为罐壁质量，由此可知，球壳集中质量等效高度—$=—+7,为球罐圆心处。根据支承

简化原则，将支和拉杆质量集中于支承顶 部，因此—（=—+7;保温层质量等效高度推导类似于球 壳，也存在—& = — + 7;对于石油化工中的球形储罐来 说，球罐附 量（各口，

装置，

和平台等)相对于罐

体质量及球壳质量等

基

矩的贡

献较小，因此为简化计算，可假设—5…—，=—+ 7，所以 罐体，支承体系及附件等产生的基 矩表达式可

与为：

a

\"⑴=-8

』；⑴ +;(K

](— +7)

(6〇

总基底弯矩为：

a(K

=a$ +

a

\" =

8』；4(/：) +;0(K]—0 +

8C[;4 ⑴ +

;0

⑴ +;(

0

]—< +

8S[;4(K

+;0(K](— +7)

(6\")

则根据式(56)、（6\")以 形储罐考虑储液晃动

的简化动力学模型

图6中^，<人，<0,8^分别为：

E

=

8

C%\"，< = (6()

：E，<分别为支 的刚度和阻尼，可根据

[$+相 得出;为储罐和支

量，其等

为—+ 7。由

Hamilton原理，可推导相应的

方程：

162

振动与冲击

2019年第38卷

3算例分析

选取某一 1 000 m3液化石油气罐作为算例，储液

高度为/ = 1. 57,忽略其内压影响，储液密度为480

kg/m

3，球罐直径为12. 3 m，球心距地面8 m，拉杆上部

地面6 m，球壳与支承体系均采

数如表2所示。分别

型

线性化四类场地中满形储罐简化

应对比

连接 型，

[1]的条天然波和两条人工波

图6球罐简化力学模型

Fig. 6 Spherical tank simplified mechanical model

力学模型和有限元数值仿 地

，四种场地波加

()

反应谱如图7所示，调整加速

果，如表3〜6所示。

2

T- [)dK + 8Wdt ： 0

曲线峰值为03 /，计

式中:T [分别为系统的动能和势能;W为非保守力做 的

。

()可得运动方程为：

mc mc

2 型参数

Tab. 2 Model parameters

10n/(N 108/(N109/(N 比• m _2 )• m _2 )• m _2 )2.06132132

2. 152.15430

2.062.062.06

0.30.30.3

{;(0} +

\\；0

)

球壳（16MnR)厚347 850

支柱（10 根）4426 x107 800拉杆（10对）直径567 800

J

8 8+8+8

(t) J

;(tE0-1;0(t

);(〇1 [\\EC 卜⑴ 1+ Ec

0

i

;(〇 8

;4(

t

从表3〜表6中数据可以看出，对不同场地地震动

(65)

+ mR

C + m

输入，罐地 应 ，从（类地到5类场

地，晃波高、基剪力及倾覆弯矩均值逐渐增大。变

§

/_1翅赵««曷

-1A 1A 1A o c!uo o

异系数反应了各工况计算数值在同场地不同地震波条 下的 说

，从表数据可知，

系数均

&，从

，选波为合理。而均值

限元解的

反应了本文推导的理论

:.2

......

4208

(G

I类场地2类场地

(7 3类场地

图7

Fig. 7

(d) 5类场地

四类场地加速度反应谱

Four types of site acceleration response spectrum

表中可以看出，均值差异率均在10 J以下，有限元解与 理论解十分接近，且理论解均值均大于有限 计

果偏于安全， 的简化力学模型的

性及可靠性。

均值，

；

佐证了本文所

第7期吕远等：球形储罐考虑储液晃动时的简化动力学模型基本理论

表3

TH1TG025

TH3G0250. 1510. 148548.4625.4

I

163

类场地地震动响应对比

金门公园

0.2360. 210541. 8543. 33 901 . 94 025.1

Tab. 3Class I site ground motion response comparison

CPM0. 2270. 199595. 3366. 1

州波

0. 2980. 215932. 7859. 86 719. 06 777. 7

人工波1

0. 57610. 5611 276.51 057. 09 247.38 138. 9

人工波2

0. 7500. 21 485.01 140. 910 745. 08 687. 2

均值

0. 3710. 365927. 8847. 26 696.56 491.1

方差

0. 2000.201352. 6326. 02 560. 12 535. 1

((

YYaa

理论解m

/

变异系数

0. 5370.5510. 3800. 3850. 3820.391

均值 异率J

1. 62

有限元解m理论解k<有限元解k<理论解

/

0. 3590.5821114.91 337. 8

/

/(k< • im)8 032. 23 942. 74 287. 4

有限元解/(k<•m)10 279. 84 780. 12 749. 1注:差异率=(理论解-有限元解)/理论解

表

/

9. 74

0. 97

4

#

类场地地震动响应对比

TH3TG0350. 3810. 4491 223.8 1 124.78 813. 08 711.7

Tab.4Class # site ground motion response comparison

兰州波

EL1. 090. 8382 219. 8 1 994. 115 954. 015 410. 5

TH1TG0350. 3620. 4691 165. 6 752. 18 393. 65 752. 8

TH2TG0350. 5450. 5221 360. 1 1 056. 59 754. 58 156.3

人工波1

0. 8600. 6251 769.3 1 876. 312 797. 014 578. 7

人工波2

0. 5930. 7371 673.0 1 627.912 052.012 416. 9

均值

0. 6530. 6001 590. 5 1 442.911 46111 113

方

0. 2440. 133342. 3 431 . 72 468. 63 341.4

变异系数

0. 3730.2210. 215 0. 2990. 2150. 301

均值 异率J

8. 12

((

Yaaa

理论解m

/

有限元解m理论解k< 有限元解k<

/

0. 7390. 5621 721 . 9 1 668. 912 462. 012 767. 0

/

/(k< • 1m)有限元解/(k<•m)

理论解

/

9. 28

3. 03

表

5

$

Tab?Class $ site ground motion response comparison

EMC

CPC1. 0981. 1021 913. 01 930. 313 813. 015 504. 9

LWD0. 5270. 53181 655. 41 681.811 925.013 800. 6

PEL0.9710. 8331 799. 21 424. 512 971. 0

EL1.0630. 8672 210. 81 993.715 954. 0

类场地地震动响应对比

人工波1

0. 9981. 039

人工波2

1. 2930. 9732 267.01 940. 319 527. 0

均值

0. 90.8241 806. 01 683. 513 466. 013 185. 0

方

0. 3130. 237368. 1299. 33 3722 480

变异系数

0. 3480. 2880. 203 80. 1780. 2500. 188

均值 异率J

8. 34

((

YYaa

理论解m

/

有限元解m理论解k<有限元解k<理论解

/

0. 3420. 4221 077. 51 103. 87 753. 58 354. 5

/

1 719. 41 710. 112 321. 0

/(k< • im)有限元解/(k<•m)

/

6. 79

2. 09

10 831. 315 401 . 713 349. 815 052.7

表

6

%

类场地地震动响应对比

TH2TG0651. 1020.9552 166.71 877.515 599.014 397.4

Tab?Class % site ground motion response comparison

天津波

-—hhM

Pasadena1.6601.6852 503.12 256.217 880.017 831.6

TRI1.00.9542 282.82 305.516 411.018 119.7

TH1TG0651.1040.8382 219.81 993.315 954.015 410.4

人工波1

1.6001.6032 399.01 976.717 269.014 997.5

人工波2

1.4031.4242 183.81 938.115 817.014 010.2

均值

1.2291.1962 253.12 055.316 20615 463

方

0.3260.335148.4150.511 029.61 693.9

变异系数

0.2650.2800.0660.0730.00.110

均值 异率J

2.698.78

理论解m有限元解m理论解k<有限元解k<理论解

/

0.60.912 016.22 040.014 514.013 475.1

/

/

/(k< • im)M有限元解/(k<•m)

4

结论

/

4.59

(2)构建了便于工程应用的球形储罐考虑储液晃 动简化动力学模型，进行了地震动响应研究并与有限 元数值仿真模拟计算结果进行对比，有限元解与理论 解十分接近，且理论解均值均大于有限元解均值，计算 结果偏于安全，由此则进一步佐证了本文所构建的简 化力学模型的准确性及可靠性。

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(1)采用速度势刚性理论，根据边界条件推导出 合理的势函数，并进一步推导出球形储罐在地震动作 用时的动液压力、储液晃动波高、支承底部剪力及倾覆 弯矩表达式，并分析了不同截断数8及求球罐半径7 对各参量的影响，将本文推导的晃动分量系数和晃动 频率近似解析解与与Lg

gd

值作对比，两者十分接 京：中国

近，由此也辅证了本文推导过程的正确性。

计划出版社，2012.

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