初中数学竞赛—— 特殊等腰三角形

初一数赛班

第15讲 特殊等腰三角形

七年级

知识总结归纳

一. 直角三角形斜边上的中线

（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

（2）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 二. 等腰直角三角形

（1）三个内角分别为45、45和90． （2）三条边长度比为1:1:2．

（3）斜边的中线将该三角形分成两个较小的等腰直角三角形． 三. 含30角的直角三角形

（1）三个内角分别为30、60和90．

（2）30所对的直角边等于斜边的一半；进一步地，三条边长度比为1:3:2． （3）斜边中线将该三角形分成一个等腰三角形与一个等边三角形．

注意：第（2）条的逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，

那么这条直角边所对的角等于30”．

四. 等边三角形的性质：

（1）三条边都相等，三个内角都是60．

（2）每条中线同时也是对应角的平分线，还是对应边上的高． 五. 等边三角形的判定方法：

（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形． （2）有两个角是60的三角形是等边三角形． （3）有个一个角是60的等腰三角形是等边三角形．

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典型例题

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一. 直角三角形斜边上的中线

【例1】 已知：D是AB的中点，ACB90，求证：CD

【例2】 已知：锐角三角形ABC中，BD、CE是两条高，F、G分别是BC、DE的中点，求证：FG垂直平分DE．

B F E G D A C B D A 1AB． 2C

二. 等腰直角三角形

【例3】 已知：如图，△ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，

与CD相交于点F． （1）求证：BFAC； （2）求证：CE

B F C

D E

1BF． 2A

2

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分别证明：（1）BCEF；（2）BCEF．

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【例4】 在如下图1和图2中，已知：△ABE、△ACF都是等腰直角三角形，EABCAF90．请

【例5】 在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于

B 图1

F F E A C

B A C

E 图2

E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB，DEADBE． （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；

若不成立，说明理由．

M

M D C C E N

D

B A 图1

A 图2

B

E N 思维的发掘 能力的飞跃

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于E，交BC于F．

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【例6】 如图，在等腰直角△ABC中，ABC90，D为AC边上的中点，过D点作DEDF，交AB（1）求证：△DEF是等腰直角三角形； （2）若AE4，FC3，求EF的长．

B F C

E D A 三. 等边三角形

【例7】 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AECD，AD与BE相交于点F．

（1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求BFD的度数．

【例8】 如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BDCE．

D

A E

B

C

B D C

F A E 4

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BD于M、N，求证：MN∥AC．

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【例9】 如图，B是线段AC上一点，△ABE和△BCD都是等边三角形，连结AD、CE分别交BE、

【例10】 如果△ABC为等边三角形，AFDBDECEF，那么△DEF是否一定是等边三角形，

为什么？

【例11】 如图，等边△ABC内一点D，DBDA，BPAB，DBPDBC，求证：BPD30．

E D M A B N C A D F B E C A

P D B

C

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四. 含30角的直角三角形

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【例12】 证明：（1）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它对应的直角边等于斜边的一半；

（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30．

【例13】 在等边△ABC中，AECD，AD、BE交于P点，BQAD于Q． 求证：BP2PQ．

【例14】 如图，等边△ABC和等腰直角三角形△BCD中，点E是AC的中点，AD与BE交于点F，

求证：CD2AF．

D B F C E A B Q D C P A E 6

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【例15】 如图，设D是等边三角形ABC的边AB上一点，DEBC于E，EFAC于F，FDAB于

D，求证：D、E、F分别是AB、BC、CA上的三等分点．

C分别作此射线的垂线段BD、【例16】 已知过△ABC的顶点A，在BAC内部任意作一条射线，过B、

CE，M为BC的中点．求证：MDME．

A D F B C

E

B E M D A

C

【例17】 如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形．如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点．求证：△CMN是等边三角形．

E C M A N D B 思维的发掘 能力的飞跃

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【例18】 如图，已知ABBC，CDBC，△ADE为等腰直角三角形，AEED，若M为AD的中

点，证明：△BMC为等腰直角三角形．

B E C A M D

作业

1. 在△ABC中，ACB90，D是AC中点，F在BC延长线上，DE∥BC，交AB于点E，连结

CE．CDFA，B59，求F的度数．

B

E C F

D A 2. 如图，在△ABC中，ACB90，ABC30，以AC、BC为边分别作正△ACD、正△ABE，

连结AE、BD相交于O．求证：AOD60．

E B O C A D 8

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为边向内作等边△BCE，连结DE、EF．求证：AD∥EF．

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3. 如图，在△ABC中，A＜60，以AB、AC为一边，分别向外作等边△ABD和△ACF，又以BC

4. 如图，在等腰Rt△ABC中，CACB3，E的BC上一点，满足BE2，在斜边AB 上求作一点

B C D

E A

F

P使得PCPE长度之和最小．

5. 如图，直角△ABC中，C90，A30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE和

正△ACD，DE与AB交于点F，求证：EFFD．

E

B F

C

A

D

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6. 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为BDC90的等腰三角形，以D为顶

点作一个60角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个△AMN．求△AMN的周长．

D

7. 如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，又延长BA到E，使AEBD，连接CE，DE，求

证：CDE为等腰三角形．

M B C N A EAB

8. 如图，在△ABC中，ABBC，ACB90，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，

且AE

C B E D 1BD．求证：BD是ABC的角平分线． 2CD

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