维普资讯 http://www.cqvip.com ２４· 中学数学月刊 ２００３年第１期 浅谈组合恒等式证明的常用方法 李俊明 （浙江省平湖市当湖高级中学排列、组合是中学代数中一块相对 ２赋值法 ３１４２００） 的内容，学好这部分知识对提高学生的数学 思维能力有积极的促进作用．而解决这类问 题的思考方法与其它代数内容有所不同，不 能仅靠代数的逻辑推理．本文就这部分知识 中组合恒等式的证明谈几种常用的方法． １通项研究法 我们知道，组合数的两个重要恒等式：Ｃ ＋Ｃ ＋Ｃ：＋…Ｃ：一２”，Ｃ ＋Ｃ：＋Ｃ：＋…一Ｃ ＋Ｃ ＋Ｃｉ＋…一２一 ，是由二项展开式（口＋ ６） 一 Ｃ：口…ｂ 中分别令口一６—１和口一１， ｂ一一１而得到．这种通过给含有Ｃ 的一个 通项研究法是指从研究其通项人手，通 过变形、化简，显现出所证恒等式的内在规 律，从而使原恒等式得证． １ １ 基础恒等式中所含字母赋值而导出要证明的 组合恒等式的证明方法叫赋值法． 例３ 求证：ｌ一３Ｃ ＋３２Ｃ ，一３。Ｃ２ …＋ （一１） ３”ｃ 一２。”ｃｏｓ竺 例１求证：ｃ：＋÷ｃ ＋÷ｃ：＋…＋ 厶 ｏ １ １ ÷Ｃ；Ｉ一÷１．１ Ｔ证明（２ ¨一１）， １ 分析等式左边的组合数可看作是二项 式定理展开式奇数项的二项式系数，所以，可 以考虑用赋值法．又根据组合数前面的系数 规律，可考虑（１＋ ３ ｉ）。”的展开式，从而使 问题得证． 左边第 项为 百１乙 ｋ －一 ．竺 一 （ 一１）！ ［ 一（ 一１）！］一 ，２＋ ！ｒ１ 等 而一而１（ ＋）１－ｋ ！３ 一 ＋ 。１ … ＂ 证明 （１＋ ３ ｉ）。”一Ｃ （ ３ ｉ）。＋Ｃ； 左边一 ·ｃ川１＋ ·ｃ ｚ＋ｌ＋ （￣／， ｉ） ＋Ｃ （￣／，ｉｉ）ｚ十Ｃ （１＋￣，，了ｉ）ｓ＋… ＋Ｃ （ ３ ｉ） ＋…＋Ｃ （ ３ ｉ）抽， ；币１·ｃ川３＋．．．＋ ｃ：丰｝ 又（１＋，／－５－ｉ）ｚ 一［２（ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ要）］ｚ （ｃ ＋－十ｃ：＋－＋ｃ：＋－十…＋ ２２－（ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ），由复数相等条件 Ｃｎ＋１）一赢（２ Ｌ１） 显然有：１—３Ｃ ＋３２Ｃ 一３３Ｃ ＋…＋（一１）” ３一ｃ 一２。ｎｃｏｓ ｏ 右边， 等式成立． ． 、＝ｒ ： ． ． ． 例２求证Ｃ ．２Ｃ：．３Ｃ ． ｕＨ ｕ Ｕ＋寄＋ ＋…＋ Ｕ月 ． Ｃ： 例４求证： （Ｃ：一Ｃ：＋Ｃ：一…）。＋（Ｃ —Ｃ ＋Ｃ：一 ）。一ｍ ０＋Ｃ ＋Ｃ：＋…＋Ｃ：． 翌 竺± ２ 。 证明 等式左边第 项为 。”ｌ 证明在恒等式（口＋６） （口－－ｂ） 一（口ｚ— ｂ２）”中令ａ一１，ｂ＝ｉ，等式左边展开式为 后Ｃ Ｃ －１一 七！（刀一七）！ （志一１）！（ 一是＋１）！ 点＋１， （Ｃ ＋Ｃ ｊ＋Ｃ 。＋…＋ ｉ ）［Ｃ 一Ｃ ｊ＋ Ｃ：ｉ。一…＋（一１）Ｃ；ｉｉ ］ 左边一 ＋（ 一１）＋（ 一２）＋…＋（，２ ［（Ｃ：一Ｃ：＋Ｃ：一…）＋ｉ（Ｃ 一Ｃ ＋Ｃ： 是＋１）＋…＋１ ）］［（Ｃ：一Ｃ：十Ｃ：一…）一ｉ（Ｃ 一Ｃ ＋Ｃ： ）］ 右边， （Ｃ：一Ｃ：＋Ｃ 一…）。＋（Ｃ 一Ｃ ＋Ｃ：一 等式成立． ）０， 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００３年第１期 中学数学月刊 ·２５· 等式右边为（１ 一ｉ ）”一（１＋１） 一Ｃ ＋Ｃ 若干人参加数学竞赛，要求至少有一人参加， 并从中确定一名负责人，问共有多少种不同 情况？ 解法１：参加人数可能是１人，２人，３ 人，…，”人，再从参加者中确定负责人，共有 Ｃ １Ｃ；＋Ｃ，２．Ｃ；＋Ｃ ３ 。１＋…＋Ｃ ｎＣ ，即Ｃ ＋２Ｃ：＋ ＋Ｃ ＋…＋Ｃ：．命题得证． ３系数比较法 系数比较法，是指通过比较与组合数有 关的恒等多项式两边对应项系数，从而使要 证组合恒等式得证的证明方法． 例５ 已知：ｋ≤， ≤＂，求证：Ｃ Ｃ：＋ Ｃ：『Ｉ ｃ ＋ｃ 。Ｃ：＋…＋ＣｏｌＣ：一Ｃ ． 证明 （１＋ ） （１＋ ）” （Ｃ ＋Ｃ １ ＋ Ｃ ＋…＋Ｃ ）（Ｃ ＋Ｃ １ ＋…＋Ｃ；ｉｘ ），显 ３ ＋…＋＂Ｃ：种不同情况． 解法２：先确定负责人，有Ｃ 种方法，再 看其余”一１个人是否参加，每人都有两种情 况，依乘法原理，共有Ｃ ·２一 种情况． 由于答案惟一，可得要证不等式． 然，Ｃ Ｃ ＋Ｃ Ｃ ＋Ｃ Ｃ：＋…＋Ｃ ｏＣ：为上 式右边整理后含 项的系数．又因（１＋ ） （１＋ ）“＝（１＋ ）”叶 一Ｃ：：｜＋ ＋ＣＬ＋ ＋Ｃ 例８ 求证：Ｃ ＋２ Ｃ ＋３。Ｃ：＋…＋，２”Ｃ： 一＂ （ ＋３）“一． ｒ ＋…＋Ｃ ｚ ＋…＋Ｃ 丰： 的系数为Ｃ ＋ ． ，其含 项 证明 构造应用题——从一个学生中选 出若干人参加竞赛培训，然后从中确定参加 竞赛人选：数学一人、物理一人、化学一人（可 以兼报），共有多少种不同情况？ 解法１：参加培训的人数为ｋ时，共有 Ｃ，ｋ． １ １Ｃ：－－ｋ。Ｃ 种不同情况，依加法原理，共 有Ｃ ＋２。Ｃ：＋３。Ｃ：＋…＋ 。Ｃ：种不同情况． 解法２：先确定参加竞赛的人选，其他人 参加培训与否自定． 若三门竞赛由一人参加，有Ｃ ·２一 种 ．．．．由恒等式性质得：Ｃ Ｃ：＋Ｃ Ｃ ＋ Ｃ Ｃ：＋…＋Ｃ ０ ｈ— ｋ＋ ． 例６ 求证：Ｃ：＋２Ｃ：＋ ＋３Ｃ：＋ ＋…＋ ， ｃ：＋ 一。：： Ｃ ｋ＋ １． 分析 左边各项组合数似是（１＋ ）¨” 展开式中 的系数，组合数的系数又成等差 数列，因而易联想到（１＋ｚ） ＋２（１＋ ）¨ ＋ ３（１＋ｚ）抖 ＋…＋ （１＋ ）抖一 …故得如下 证法． ｚ） ＋…＋＂（１＋ ）抖 ～ 情况；若三门竞赛曲两人参加，有Ｃ ２。２Ｃ；· ．证明 （１＋ ） ＋２（１＋ ）抖 ＋３（１＋ ．－２种情况；若三门竞赛由三人参加，有Ｃ Ａ； ２一。种情况，故共有Ｃ ·２一 ＋Ｃ ２。２Ｃ！· ＂ （１＋ ）ｋ＋ｎ （１＋ ）ｋ＋ｎ＋（１＋ ） ２ ２一 ＋ｃ：Ａ；·２一。＝［４＂＋６ｎ（＂一１）＋ （＂一 １）（＂一２）］·２一。＂－－－ｎ。（＂＋３）·．－ｓ种情况． 由于答案惟一，原命题得证． ５化整为零法 化整为零法，是指在化归思想指导下，将 所证恒等式分解为几个简单、熟知的恒等式 （错位相减求和）． 左边 ． 项的系数为 ＋２Ｃ ＋３Ｃ ２ ＋…＋”Ｃ：＋ 一 ，右边 项的系数为”Ｃ肄 一 Ｃｋｍ＋Ｚ一 幂ｃ ＝ ｃ锋 ， 来证明，即通过局部问题的逐个解决而使整 个问题获得解决． 例９ 已知ｆ（ｎ）一ｌ＋口＋口 ＋…＋口”， 左边＝右边，命题得证． ４构造组合应用问题法 许多组合应用问题由于分类与分步的顺 序不同；存在一题多解．这不仅是组合应用问 题的一个重要检验方法，也是证明组合恒等 式的一条途径． 例７ 求证：Ｃ ＋２Ｃ：＋３Ｃ：＋…＋ｎＣ：＝ ，１·２”～． Ｆ（＂）：１＋ ＋（． ）ｚ＋…＋（ ） ．求 证：Ｃ ＋。＋厂（１）Ｃ：＋ｌ－Ｆｆ（２）Ｃ￣＋ｌ＋…＋ｆ（ｎ） Ｃ：：丰；＝＝＝２＂Ｆ（ｎ）． １～ｎｎ＋ｌ 证明‘．． （，２）： １一ｑ ， 证明构造应用题——在”位伺学中选 等式左边＝ｃ ＋ ＋芋 ＋ ＋｝
