2010届重庆市沙坪坝区部分重点中学模拟考试(理)

2010届重庆市沙坪坝区部分重点中学模拟考试(理)

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一、选择题：

1．若等差数列an的前三项和S39且a11，则a2等于（ A ） A．3 B．4 C．5 D．6

3，则2cos()( A ) 547171A． B． C． D．

55552.设是第四象限角，sin1bianbn3.设a,bR，a2i,则limn等于（ B ） nn3iabA．1 B．1 C．1或1 D．不存在

4．从一个三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是（ D ） A．

1234 B． C． D． 5555f(x)0的 x5．定义在(0,)上的可导函数f(x)满足：xf(x)f(x)且f(1)0,则解集为（ C ）

A．(0,1) B．(0,1)(1,) C．(1,) D．

x2y22226． 过双曲线221a0,b0的右焦点F作圆xya的切线FM(切点为M),

ab交y轴于点P. 若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是（ A ） A．2

B．3

C．2

D．5

7．2010年4月14日青海玉树发生7.1级地震，震后由重庆第三军医大学组成的7名医疗小组（含甲

乙）奔赴灾区。现将这7名医生分成三个医疗小组，一组3人，另两组每组各2人，则甲乙不分在同一组的分法有（ A ）

A．80种 B．90种 C．25种 D．120种 8．若长方体ABCDA1BC11D1的8个顶点在同一个球面上，且AB23，

ADAA12，则顶点A、B间的球面距离是（ D ）

A．

2422 B． C． D．

3342

9．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，ADAB，B45，AB2CD2，M

为腰BC的中点，则MAMD（ B ）

A．1

B．2

C．3

D．4

10．如图，平面平面，直线l，A,C是内不同的两点,B,D是内不同的两点，

 C 且A,B,C,D直线l, M,N分别是线段AB,CD的中点. 下列判断正确的是（ B ）

A．当CD2AB时，M,N两点不可能重合

B．M,N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交



A · M · N l

D B C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB,CD是异面直线时，MN可能与l平行 二、填空题：

11．已知a2，b3，a、b的夹角为60，则2ab13.

211iix012．已知i是虚数单位，函数fx在R上连续，则实数m.

224x0log2mCnx13．已知～Nu,2，且P0P41，则u2。 14．若等比数列an的前n项和Sn满足: an1a1Sn1nN* , 则a11.

15．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM(MD)，有xlD，且f(xl)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当

x0时，f(x)xa2a2，且f(x)为R上的4高调函数，

那么实数a的取值范围是 1a1. 三、解答题：

16．如图，以Ox为始边作角与（0），它们终边分别与（0）单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（35，45） （Ⅰ）求

sin2cos211tan的值；

（Ⅱ）若OPOQ0，求sin的值。 解：（Ⅰ）由三角函数定义得cos35，sin45 ∴原式2sincos2cos22cos(sin1sincos)sincos2cos2

coscos 2·（35）2=1825 7分 （Ⅱ）OP·OQ0，∴2

∴2，∴sinsin(2)cos35 coscos(2)sin45

∴sin()sincoscossin

4433755(5)525 13分 17．在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.

(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率；

2分

4分

9分

11分

(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则

1). 求随机变量的分布列及其数学期望E.

解:（Ⅰ） 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则

A312P(B)＝35 .„„„„„„„(5分)

525（Ⅱ） 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是

 P 0 1 2 27 12574 12524 125

„„„„„„„(11分)

277424122+1×+2×= . „„„„„„„(13分) 12512512512518．如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, BCF30, 且

所以的数学期望E＝0×

ACCB4, 将此平面沿直线EF折成60的二面角EF,BP 平面,

点P为垂足.

(Ⅰ) 求ACP的面积；

(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值.

B

C E F E C

A A

(第18题)

解:（Ⅰ） 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角.

在Rt△BMC中,

由∠BCM＝30, CB = 4, 得CM =23, BM=2.

B F P

  B E A C M F P Q



在Rt△BMP中,由∠BMP＝60, BM=2, 得 MP=1.在Rt△CMP中, 由CM =23, MP=1, 得 CP=13, cos∠PCM＝

123, sin∠PCM =.

1313故 sin∠ACP = sin(150－∠PCM)＝

33. 213所以S△ACP＝33.…………………(7分)

解:（Ⅱ） 如图, 过点A作AQ∥EF, 交MP于点Q , 则∠BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ .

在△BMQ中,由∠BMQ＝60, BM＝MQ＝2, 得BQ = 2. …………………(10分) 在Rt△BAQ中，由AQ＝ACcos30＋CM ＝43, BQ = 2, 得tan∠BAQ =

BQ3. AQ6因此AB与EF所成角的正切值为

23. …………………(13分) 619．设函数fxxblnx1．

（Ⅰ）若对于定义域的任意x，都有fxf1成立，求实数b的值； （Ⅱ）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求b的取值范围；

x10，得x1，∴f(x)的定义域为(1,)，对x(1,)都

有f(x)≥f(1)，又函数f(x)定义域上连续，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有 f'(1)0，

解（Ⅰ）由

bb，∴20，b4.„„„„ 4分 x12b2x22xb（Ⅱ）∵f'(x)2x，又函数f(x)在定义域是单调函数， x1x1∴f'(x)0，或f'(x)0在(1,)上恒成立. ∵f'(x)2x若f'(x)0，∵x10，∴2x2xb0在(1,)上恒成立，

111即b(2x22x)2(x)2恒成立，由此得b；

222

2

若f'(x)0，∵x10，∴2x22xb0，即b(2x22x)恒成立，因(2x22x)在(1,)没有最小值，∴不存在实数b使f'(x)0恒成立.综上所知，实数b的取值范围

1是[,).

220．如图，设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C:y22px(p0)上相异两点，且OPOQ0，直线QP与x轴相交于E．

（Ⅰ）若Q、P到x轴的距离的积为4，求该抛物线方程及OPQ的面积的最小值.

（Ⅱ）在x轴上是否存在一点F，使直线PF与抛物线的另一交点为

y P R（与点Q不重合），而直线RQ与x轴相交于T，且有TR3TQ，若存在，求出F点的坐标（用p表示），若不存在，说明理由．

解：（1）∵OPOQ0，则x1x2y1y20， 又P、Q在抛物线上，故y12px1，y22px2，

22O T E Q R F x yy2故得12y1y20，

4p

22y1y24p2y1y24p2，又y1y24，

故得4p24，p1．y22x ，………………4分 设Ea,0(a0)，

xmya直线PQ方程为xmya，联立方程2，

y2px2消去x得y2pmy2pa0；

y1y22pa4p2 ，a2p2 ，

SOPQ11|OE|(|y1||y2|)22|y1y2|4，面积最小值为4. ……6分 22（Ⅱ）设Ea,0，直线PQ方程为xmya，联立方程组消去x得y2pmy2pa0； ∴y1y22pa ①

2xmyay2px2，

设Fb,0，Rx3,y3，同理可知，y1y32pb ② 由①、②可得

y3b ③ y2a

若TR3TQ，设Tc,0，则有x3c,y303x2c,y20，∴y33y2 即

y33 ④ y2将④代入③，得b3a．又由（Ⅰ）知，OPOQ0，y1y24p2，代入①， 可得2pa4p2，a2p．故b6p．

故知，在x轴上，存在异于E的一点F6p,0， 使得TR3TQ．…………12分

n为偶数2an1221．已知数列an满足：a10，an，n2,3,4,.

n12an1n为奇数22（Ⅰ）求a5，a6，a7的值； （Ⅱ）设bna2n12n，求证：数列bn为等差数列，并求其通项公式；

（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论an与an1的大小关系.

解：（Ⅰ）∵ a10，a212a11，a322a12，a412a23，

∴ a532a25；a612a35；a742a38. „„„„„„3分 （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n，都有：bn1a2n112n12n2a2n12n11bn， 2∴ bn1bn∴ bna111.∴ 数列bn是以b12110为首项，为公差的等差数列. 222n1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 2（Ⅲ）对于任意的正整数k，

当n2k或n1,3时，anan1； 当n4k1时，anan1；

当n4k3时，anan1. „„„„„„„„„„„„„„8分 证明如下：首先，由a10,a21,a32,a43可知n1,3时，anan1； 其次，对于任意的正整数k，

n2k时，anan1a2ka2k112akk12akk0；„„„„„„„9分

n4k1时，anan1a4k1a4k2

2k12a2k12a2k12k2a2k2a2k12k212ak2k12ak0所以，anan1. „„„„„„„10分

n4k3时，anan1a4k3a4k4

2k22a2k112a2k22k12a2k12a2k22k12k12ak212ak14kakak11

事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，kakak1（*）（证明见后），所以，此时，anan1. 综上可知：结论得证.

„„„„„„„12分

对于任意正整数k，kakak1（*）的证明如下：

*1）当k2m（mN）时，

kakak12ma2ma2m12m12amm12amm0，

满足（＊）式。