第 2 章 线性规划的图解法
1、解：
x2 6
A 1 O 0 1 B
C 3 6 x1
c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x1 = 12 x15 ， 最优目标函数值：
7 2 7
69 。7 2、解： a x2
1
a.可行域为 OABC。
b.等值线为图中虚线所示。
0.6
0.1
O
有唯一解
0.1 0.6
x1
x1 0.2 x2 0.6
函数值为 3.6
b 无可行解
c 无界解 d 无可行解 e 无穷多解
20 x1
92 3 函数值为 f 有唯一解
8 3
x2
3
3、解：
a 标准形式：
b 标准形式：
max f 3x1 2 x2 0s1 0s2 0s3
9 x1 2x2 s1 30 3x1 2 x2 s2 13 2 x1 2x2 s3 9 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0
max f 4 x1 6x3 0s1 0s2
3x1 x2 s1 6 x1 2x2 s2 10 7 x1 6 x2 4
c 标准形式：
x1 , x2 , s1 , s2 0
' ' '' max f x1 2x2 2 x2 0s 0s 1 2
'
2
''2
3x1 5x 5x s1 70 2 x ' 5x ' 5x '' 50
1
2
' ' 3x1 2 x2 2x s2 30
x, x, x, s1 , s2 0
4 、解：
标准形式： max z 10 x1 5x2 0s1 0s2
3x1 4 x2 s1 9
5x1 2 x2 s2 8 x1 , x2 , s1 , s2 0
' 1 ' 2
''2
2 ''2
s1 2, s2 0
5 、解：
标准形式： min f 11x 8x 0s 0s 0s
1 2 1 2 3
10 x1 2x2 s1 20 3x1 3x2 s2 18 4 x1 9x2 s3 36
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0
s1 0, s2 0, s3 13
6 、解： b 1 c1 3 c 2 c2 6 d x1 6
x2 4
e x1 4,8
x2 16 2x1
2
f 变化。原斜率从 变为 1
3
7、解： 模型：
max z 500 x1 400 x2
2 x1 300 3x2 540 2 x1 2x2 440 1.2 x1 1.5x2 300
x1 , x2 0
a x1 150
103000 x2 70 即目标函数最优值是
b 2，4 有剩余，分别是 330，15。均为松弛变量
额外利润 250 c 50， 0 ，200， 0
d 在0,500变化，最优解不变。 e 在 400 到正无穷变化，最优解不变。 f 不变
8 、解：
a 模型： min f 8x 3x
a b
50xa 100 xb 1200000 5xa 4xb 60000 100 xb 300000 xa , xb 0
基金 a,b 分别为 4000，10000。
回报率：60000 b 模型变为： max z 5xa 4 xb
50xa 100 xb 1200000 100 xb 300000
xa , xb 0
推导出： x1 18000
x2 3000
故基金 a 投资 90 万，基金 b 投资 30 万。
第 3 章 线性规划问题的计算机求解
1、解： a x1 150
x2 70
目标函数最优值 103000
b 1，3 使用完 2，4 没用完 0，330，0，15
c 50，0，200，0 含义： 1 车间每增加 1 工时，总利润增加 50 元
3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。
d 3 车间，因为增加的利润最大 e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变 f 不变 因为在0,500的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条 件 1 的右边值在200,440变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件） h 100×50=5000 对偶价格不变 i 能
j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解：
a 4000 10000 62000 b 约束条件 1：总投资额增加 1 个单位，风险系数则降低 0.057 约束条件 2：年回报额增加 1 个单位，风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0，约束条件 2 的剩余变量是 0
约束条件 3 为大于等于，故其剩余变量为 700000 d 当 c2 不变时， c1 在 3.75 到正无穷的范围内变化，最优解不变 当 c1 不变时， c2 在负无穷到 6.4 的范围内变化，最优解不变
e 约束条件 1 的右边值在780000,1500000变化，对偶价格仍为 0.057（其他 同理）
f 不能 ，理由见百分之一百法则二 3 、解：
a 18000 3000 102000 153000 b 总投资额的松弛变量为 0 基金 b 的投资额的剩余变量为 0 c 总投资额每增加 1 个单位，回报额增加 0.1
基金 b 的投资额每增加 1 个单位，回报额下降 0.06
d c1 不变时， c2 在负无穷到 10 的范围内变化，其最优解不变
c2 不变时， c1 在 2 到正无穷的范围内变化，其最优解不变
e 约束条件 1 的右边值在 300000 到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为 0.1 约束条件 2 的右边值在 0 到 1200000 的范围内变化，对偶价格仍为-0.06 600000 300000 f 100% 故对偶价格不变 900000 900000 4、解：
a x1 8.5 x2 1.5 x3 0
18.5 x4 1 最优目标函数
b 约束条件 2 和 3 对偶价格为 2 和 3.5
c 选择约束条件 3，最优目标函数值 22 d 在负无穷到 5.5 的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 e 在 0 到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 5、解：
a 约束条件 2 的右边值增加 1 个单位，目标函数值将增加 3.622 b x2 产品的利润提高到 0.703,才有可能大于零或生产
c 根据百分之一百法则判定，最优解不变
65 d 因为 15 100 % 根据百分之一百法则二，我们不能判定 30 9.1 111.25 15 其对偶价格是否有变化
第 4 章 线性规划在工商管理中的应用
1、解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方案 方案 规格 20 1770 1651 1440 合计 剩余 方案 规格 20 1770 1651 1440 合计 剩余 1 2 0 0 0 5280 220 8 0 1 2 0 5072 428 2 1 1 0 0 4410 1090 9 0 1 1 1 4861 639 3 1 0 1 0 4291 1209 10 0 1 0 2 4650 850 4 1 0 0 1 4080 1420 11 0 0 3 0 4953 547 5 0 3 0 0 5310 190 12 0 0 2 1 4742 758 6 0 2 1 0 5191 309 13 0 0 1 2 4531 969 7 0 2 0 1 4980 520 14 0 0 0 3 4320 1180 设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10，x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f＝x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13 ≥ 420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0， x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333
最优值为 300。
2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时
工的人数，则可列出下面的数学模型：
min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9
x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3
x2＋x3＋x4＋x5＋1 ≥ 3 x3＋x4＋x5＋x6＋2 ≥ 3 x4＋x5＋x6＋x7＋1 ≥ 6 x5＋x6＋x7＋x8＋2 ≥ 12 x6＋x7＋x8＋x9＋2 ≥ 12 x7＋x8＋x9＋x10＋1 ≥ 7 x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0， x10＝0，x11＝0 最优值为 320。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班
次。
约束 -------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
松弛/剩余变量 ------------------
0 0 2 9 0 5 0 0 0 0 0 对偶价格 -------------
-4 0 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让 11 时安排的 8 个人工作 3 小时，13 时安排的 1 个人工作 3 小时，可使得总成本更小。
C、设在 11：00-12：00 这段时间内有 x1 个班是 4 小时， y1 个班是 3 小时； 设在 12：00-13：00 这段时间内有 x2 个班是 4 小时， y2 个班是 3 小时；其他时 段也类似。
则：由题意可得如下式子：
min z 16 x1 12 y1
i 1
i 1
11 11
S．T
x1 y1 1 9 x1 y1 x2 y2 1 9
x1 y1 x2 y2 x3 y3 1 1 9 x1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 1 1 3 x2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 1 3 x3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 1 1 3 x4 x5 y5 x6 y6 x7 y7 1 6 x5 x6 y6 x7 y7 x8 y8 1 1 12 x6 x7 y7 x8 y8 x9 y9 1 1 12 x7 x8 y8 x9 y9 x10 y10 1 7
x8 x9 y9 x10 y10 x11 y11 1 7 xi 0, yi 0
i=1,2,…,11
稍微变形后，用管理运筹学软件求解可得：总成本最小为 2 元。 安排如下：y1=8（ 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班），y3=1，y5=1，y7=4，x8=6 这样能比第一问节省：320-2=56 元。
3、解：设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1，x2，x3，则可列出下面的 数学模型：
max z＝10 x1＋12 x2＋14 x2
s．t． x1＋1.5x2＋4x3 ≤ 2000
2x1＋1.2x2＋x3 ≤ 1000 x1 ≤ 200 x2 ≤ 250 x3 ≤ 100
x1，x2，x3≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝200，x2＝250，x3＝100 最优值为 00。
a、在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 A 200 件，B 250 件，C 100 件，可使生产获利最多。
b、A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元，12 元，14 元。材料、台
时的对偶价格均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10 元，B 的市场容量增加一件就可使总利润增加 12 元，C 的市场容量增加 一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都 不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场，如果 要增加资源，则应在 975 到正无穷上增加材料数量，在 800 到正无穷上 增加机器台时数。
4、解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11，白天调查的无孩子的家庭的户
数为 x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 x21，晚上调查的无孩子的家庭 的户数为 x22，则可建立下面的数学模型： min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s．t． x11＋x12＋x21＋x22 ≥ 2000
x11＋x12 ＝ x21＋x22 x11＋x21 ≥ 700 x12＋x22 ≥ 450 x11, x12, x21, x22 ≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000 最优值为 47500。
a、白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户，白天调查的无孩子的家庭的户 数为 300 户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0，晚上调查的无孩子的 家庭的户数为 1000 户，可使总调查费用最小。 b、白天调查的有孩子的家庭的费用在 20－26 元之间，总调查费用不会变化； 白天调查的无孩子的家庭的费用在 19－25 元之间，总调查费用不会变化； 晚上调查的有孩子的家庭的费用在 29－无穷之间，总调查费用不会变化； 晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20－25 元之间，总调查费用不会变 化。
c、调查的总户数在 1400－无穷之间，总调查费用不会变化； 有孩子家庭的最少调查数在 0－1000 之间，总调查费用不会变化； 无孩子家庭的最少调查数在负无穷－1300 之间，总调查费用不会变化。
5、解：设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij，则需要建立下面的 数学模型：
min f＝2800（x11＋x21＋x31＋x41）＋4500（x12＋x22＋x32）＋6000（x13＋x23）
＋7300 x14
s．t．x11＋x12＋x13＋x14 ≥ 15
x12＋x13＋x14＋x21＋x22＋x23 ≥ 10 x13＋x14＋x22＋x23＋x31＋x32≥ 20 x14＋x23＋x32＋x41≥ 12 xij ≥ 0，i，j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝5，x12＝0，x13＝10，x14＝0，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝10，
x＝0，x＝0 3241
最优值为 102000。 即：在一月份租用 500 平方米一个月，租用 1000 平方米三个月；在三月 份租用 1000 平方米一个月，可使所付的租借费最小。
6、解：设 xij 表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量，可建立下面的数学模型：
max z＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5
（x11＋x21＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）
s．t． x11 ≥ 0.5（x11＋x12＋x13）
x12 ≤ 0.2（x11＋x12＋x13） x21 ≥0.3（x21＋x22＋x23） x23 ≤ 0.3（x21＋x22＋x23） x33 ≥ 0.5（x31＋x32＋x33） x11＋x21＋x31 ≤ 30 x12＋x22＋x32 ≤ 30 x13＋x23＋x33 ≤30
xij ≥ 0，i，j＝1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0， x32＝20，x33＝20 最优值为 365。 即：生产雏鸡饲料 50 吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料 40 吨。
7、
设 Xi——第 i 个月生产的产品 I 数量 Yi——第 i 个月生产的产品 II 数量 Zi，Wi 分别为第 i 个月末产品 I、II 库存数
S1i，S2i 分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则
可建立如下模型：
min z (5xi 8 yi ) (4.5xi 7 yi ) (s1i 1.5s2i )
i 1
i 6
i 1
5 12 12
s.t.
X1-10000=Z1
X2+Z1-10000=Z2 X3+Z2-10000=Z3 X4+Z3-10000=Z4 X5+Z4-30000=Z5 X6+Z5-30000=Z6 X7+Z6-30000=Z7 X8+Z7-30000=Z8 X9+Z8-30000=Z9 X10+Z9-100000=Z10 X11+Z10-100000=Z11 X12+Z11-100000=Z12 Y1-50000=W1
Y2+W1-50000=W2 Y3+W2-15000=W3 Y4+W3-15000=W4 Y5+W4-15000=W5 Y6+W5-15000=W6 Y7+W6-15000=W7 Y8+W7-15000=W8
Y9+W8-15000=W9 Y10+W9-50000=W10 Y11+W10-50000=W11 Y12+W11-50000=W12
S1i≤15000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120000 1≤i≤12
0.2Zi+0.4Wi=S1i+S2i 1≤i≤12
Xi≥0, Yi≥0, Zi≥0, Wi≥0, S1i≥0, S2i≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： 最优值= 4910500
X1=10000, X2=10000, X3=10000, X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000, X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000; Y1= 50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000,
Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000; Z8=15000, Z9=90000, Z10 =60000, Z1=30000; S18=3000, S19=15000, S110=12000, S111=6000; S28=3000;
其余变量都等于 0
8、解：设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij，可建立下面的数学模型：
max z＝25（x11＋x21＋x31＋x41＋x51）＋20（x12＋x32＋x42＋x52）＋17（x13
＋x23＋x43＋x53）＋11（x14＋x24＋x44）
s．t． x11＋x21＋x31＋x41＋x51 ≤ 1400
x12＋x32＋x42＋x52 ≥ 300 x12＋x32＋x42＋x52 ≤ 800 x13＋x23＋x43＋x53 ≤ 8000 x14＋x24＋x44 ≥ 700
5x11＋7x12＋6x13+5x14 ≤ 18000 6x21＋3x23＋3x24 ≤ 15000 4x31＋3x32 ≤ 14000
3x41＋2x42＋4x43＋2x44 ≤ 12000 2x51＋4x52＋5x53 ≤ 10000
xij ≥ 0，i＝1，2，3，4，5 j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝0，x12＝0，x13＝1000，x14＝2400，x21＝0，x23＝5000，x24＝0，
x31＝1400，x32＝800，x41＝0，x42＝0，x43＝0，x44＝6000，x51＝0，
x52＝0，x53＝2000 最优值为 279400
9、解：设第一个月正常生产 x1，加班生产 x2，库存 x3；第二个月正常生产 x4， 加班生产 x5，库存 x6；第三个月正常生产 x7，加班生产 x8，库存 x9；第 四个月正常生产 x10，加班生产 x11，可建立下面的数学模型：
min f ＝ 200（x1＋x4＋x7＋x10）＋300（x2＋x5＋x8＋x11）＋60（x3＋x6
＋x9）
s．t．
计算结果是： minf= 3710000 元
x1＝4000 吨，x2=500 吨，x3＝0 吨，x4=4000 吨， x5＝0 吨 ，
x6＝1000 吨， x7＝4000 吨， x8＝500 吨， x9＝0 吨， x10＝4000 吨， x11＝500 吨。
x1≤4000 x4≤4000 x7≤4000 x10≤4000 x3≤1000 x6≤1000 x9≤1000 x2≤1000 x5≤1000 x8≤1000 x11≤1000
x1+ x2- x3=4500 x3+ x4+ x5- x6=3000 x6+ x7+ x8- x9=5500 x9+ x10+ x11=4500
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
第 5 章 单纯形法
1、解：表中 a、c、e、f 是可行解，a、b、f 是基本解，a、f 是基本可行解。
2、解：a、该线性规划的标准型为：
max 5 x1＋9 x2
s．t．0.5 x1＋x2＋s1＝8
x1＋x2－s2＝10
0.25 x1＋0.5 x2－s3＝6 x1，x2，s1，s2，s3 ≥0.
b、有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量
取零。 c、（4，6，0，0，－2） d、（0，10，－2，0，－1）
e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
3、解：a、
迭代次数 基变量 s1 s2 s3 xj cj－xj cB 0 0 0 0 x1 6 3 0 2 0 6 x2 30 1 2 [1] 0 30* x3 25 0 1 －1 0 25 x4 0 1 0 0 0 0 x5 0 0 1 0 0 0 x6 0 0 0 1 0 0 b 40 50 20 0
b、线性规划模型为： max 6 x1＋30 x2＋25 x3 s．t．3 x1＋x2＋s1 = 40
2 x1＋x3＋s2= 50 2 x1＋x2－x3＋s3＝20
x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥0
c、初始解的基为（s1，s2，s3），初始解为（0，0，0，40，50，20），
对应的目标函数值为 0。
d、第一次迭代时，入基变量是 x2，出基变量为 s3。
4、解：最优解为（2.25，0），最优值为 9。
X2
X1
5、解：a、最优解为（2，5，4），最优值为 84。
b、最优解为（0，0，4），最优值为－4。
6、解：a、有无界解
b、最优解为（0.714，2.143，0），最优值为－2.144。 7、解：a、无可行解 b、最优解为（4，4），最优值为 28。 c、有无界解 d、最优解为（4，0，0），最优值为 8。
第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
1
a． c1≤24 b． c2≥6 c． cs2≤8 2
a. c1≥-0.5 b. -2≤c3≤0 c. cs2≤0.5 3
a. b1≥150
b. 0≤b2≤83.333 c. 0≤b3≤150 4
a. b1≥-4
b. 0≤b2≤300 c. b3≥4
5
a. 利润变动范围 c1≤3，故当 c1=2 时最优解不变 b. 根据材料的对偶价格为 1 判断，此做法不利 c. 0≤b2≤45
d. 最优解不变，故不需要修改生产计划 e. 此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为-12 小于零，对原生 产计划没有影响。
6 均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对 应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可 知此线性规划有无穷多组解。
7
a. min f= 10y1+20y2.
s.t. y1+y2≥2,
y1+5y2≥1, y1+y2≥1, y1, y2≥0.
b. max z= 100 y1+200 y2.
s.t. 1/2 y1+4 y2≤4,
2 y1+6 y2≤4,
2 y1+3 y2≤2, y1, y2≥0.
8.
a. min f= -10 y1+50 y2+20 y3-20 y4. s.t. -2 y1+3 y2+ y3- y2≥1, 3 y1+ y2 ≥2, - y1+ y2+ y3- y2 =5,
y1, y2, y2≥0, y3 没有非负。 b. max z= 6 y1-3 y2+2 y3-2 y4.
s.t. y1- y2- y3+ y4≤1, 2 y1+ y2+ y3- y4=3, -3 y1+2 y2- y3+ y4≤2,
y1, y2, y4≥0, y3 没有非负 9. 对偶单纯形为 max z=4 y1-8 y2+2 y3 s.t y1- y2≤1,
- y1- y2+ y3≤2, y1-2 y2- y3≤3, y1, y2, y3≥0
目标函数最优值为: 10 最优解: x1=6, x2=2, x3=0
第 7 章 运输问题
1.
（1）此问题为产销平衡问题 甲 乙 21 17 1 分厂 10 15 2 分厂 23 21 3 分厂 400 250 销量 丙 23 30 20 350 丁 25 19 22 200 产量 300 400 500 1200
最优解如下
******************************************** 起 至 销点
1 2 发点
-------- ----- ----- 1 0 250 2 400 0 3 0 0
此运输问题的成本或收益为: 19800
此问题的另外的解如下：
3 ----- 0 0 350 4 ----- 50 0 150
起 至 销点 发点 1 2 -------- ----- ----- 1 0 250 2 400 0 3 0 0 此运输问题的成本或收益为: 19800
3
----- 50 0 300 4 ---- - 0 0 200
（2）如果 2 分厂产量提高到 600，则为产销不平衡问题 最优解如下
******************************************** 起 发点 -------- 1 2 3
至 销点 1 2 ----- ----- 0 250 400 0 0 0
3 ----- 0 0 350 4 ---- - 0 200 0
此运输问题的成本或收益为:
19050
注释：总供应量多出总需求量 200
第 1 个产地剩余 50 第 3 个产地剩余 150
（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题
最优解如下
******************************************** 起 至 销点
1 2 发点
-------- ----- ----- 1 50 250 2 400 0 3 0 0
此运输问题的成本或收益为: 19600
3 ----- 0 0 350 4 ----- 0 0 150
注释：总需求量多出总供应量 150
第 1 个销地未被满足，缺少 100 第 4 个销地未被满足，缺少 50
2． 本题运输模型如下： ⅰ ⅱ 0.3 0.4 甲 0.3 0.1 乙 0.05 0.05 丙 -0.2 0.3 丁 300 250 最优解如下
ⅲ 0.3 -0.4 0.15 0.1 350 ⅳ 0.4 0.2 0.05 -0.1 200 ⅴ 0.1 -0.2 -0.05 -0.1 250 VI 0.9 0.6 0.55 0.1 150 300 500 400 100
********************************************
起
至 销点 1 ----- 0 0 0 0 150
2 ----- 0 0 50 100 0
3 ----- 100 0 0 0 50
4 ----- 0 0 100 0 0
5 ----- 0 350 0 0 0
6 ----- 200 0 0 0 0
7 ----- 0 0 250 0 0
8 ----- 0 150 0 0 0
发点 -------- 1
2
3
4
5
此运输问题的成本或收益为: 1.050013E+07
3． 建立的运输模型如下： 1 2 1 600 600+60 1’ 600+600¯10% 600+600¯10%+60 2 700 2’ 700+700¯10% 3 3’ 3 5 3 600+60¯2 3 600+600¯10%+60¯2 3 700+60 4 700+700¯10%+60 2 650 2 650+650¯10% 3 6
最优解如下
******************************************** 起 至 销点
1 发点
-------- ----- 1 2 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0
此运输问题的成本或收益为:
2 ----- 0 1 0 4 0 0 0 8465
3 ----- 0 1 0 0 0 2 3 4 ----- 0 0 3 0 2 0 0
此问题的另外的解如下：
起 至 销点
1 发点
-------- ----- 1 2 2 1 3 0 4 0
0 5
6 0 7 0
此运输问题的成本或收益为:
2 ----- 0 2 0 3 0 0 0 8465
3 ----- 0 0 0 1 0 2 3
4 ----- 0 0 3 0 2 0 0
4． 甲 乙 A B C D 甲 0 80 150 200 180 240 1100 最优解如下
乙 100 0 80 210 60 170 1100 A 150 80 0 70 110 90 1400 B 200 210 60 0 130 50 1300 C 180 60 110 140 0 85 1600 D 240 170 80 50 90 0 1200 1600 1700 1100 1100 1100 1100
********************************************
起 发点
至 销点 1 ----- 1100
0 0 0 0 0
2 -----
3 ----- 300 0 1100 0 0 0
4 ----- 200 0 0 1100 0 0
5 ----- 0 600 0 0 1000 0
6 ----- 0 0 0 0 100 1100
-------- 1 2 3 4 5 6
0 1100
0 0 0 0 130000
此运输问题的成本或收益为:
5． 建立的运输模型如下
min f = 500x1+300 x2+550 x3+650 x4. s.t. 54 x1+49 x2+52 x3+ x4≤1100, 57 x1+73 x2+69 x3+65 x4≤1000, x1, x2, x3, x4≥0. 1 2 3 A 54 49 52 B 57 73 69 500 300 550
最优解如下
********************************************
4 65 650 1100 1000
起 发点 -------- 1 2
至 销点 1 2 ----- ----- 250 300 250 0
3
----- 550 0 4 ----- 0 650 5 ----- 0 100
此运输问题的成本或收益为: 6.
a. 最小元素法的初始解如下：
1
甲 乙 10 丙 销量 113300
2 8 3 10
0 0 10 0 7 3
4 15 5 5 0 20 5 0 10 9 25 15
产量 0 15 5 0 0 20 10 10 0 b. 最优解如下
******************************************** 起 至 销点
1 2 发点
-------- ----- ----- 1 0 0 2 20 5 3 0 5 此运输问题的成本或收益为: 145
c. 该运输问题只有一个最优解，因为其检验数均不为零
d. 最优解如下
******************************************** 起 至 销点
1 2 发点
-------- ----- ----- 1 0 0 2 25 0 此运输问题的成本或收益为: 135
3 ----- 15 0 5
3 ----- 15 0
第 8 章 整数规划
1．
求解下列整数规划问题 max z=5x1 +8x 2 x1 +x 2 6, 5x1 +9x 2 45, x1 ,x 2 0,且为整数
a. s.t.
目标函数最优解为 : x1*=0,x 2 *=5,z*=40 。
b. s.t.
2x1 +3x 2 14, 2x1 +x 2 9,
x1,x2 0,且x1为整数。
目标函数最优解为 : x1*=3,x 2 *=2.6667,z*=14.3334 。
c. s.t.
-x1 +3x 2 +x3 7, 7x1 +x 2 +x3 38,
x1 ,x 2 ,x3 0,且x1为整数，x3为0-1变量。
目标函数最优解为 : x1*=5,x 2 *=3,x3 *=0,z*=62 。
max z=7x1 +9x 2 +3x3
max z=3x1 +2x 2
2．解：设 xi 为装到船上的第 i 种货物的件数，i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为：
max z=5x1 +10x 2 +15x3 +18x 4 +25x5 s.t.
20x1 +5x 2 +10x3 +12x 4 +25x5 400000, x1 +2x 2 +3x3 +4x 4 +5x5 50000, x1 +4x 4 10000
0.1x1 +0.2x 2 +0.4x3 +0.1x 4 +0.2x5 750, xi 0, 且为整数，i=1，2，3，4，5。
目标函数最优解为 : x1*=0,x 2 *=0,x3 *=0,x 4 *=2500,x5 *=2500,z*=107500 . 3．解：设 xi 为第 i 项工程，i=1,2,3,4,5,且 xi 为 0-1 变量，并规定，
1,当第i项工程被选定时， xi
0，当第i项工程没被选定时。
根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为：
max z 20x1 40x 2 20x3 15x 4 30x5 s.t.
5x1 +4x 2 +3x3 +7x 4 +8x5 25， x1 +7x 2 +9x3 +4x 4 +6x5 25， 8x1 +10x 2 +2x3 +x 4 +10x5 25，
xi为0-1变量，i=1，2，3，4，5。
目标函数最优解为 : x1*=1,x 2 *=1,x3 *=1,x 4 *=1,x5 *=0,z*=95 4．解：这是一个混合整数规划问题
设 x1、x2、x3 分别为利用 A、B、C 设备生产的产品的件数，生产准备费
只有在利用该设备时才投入，为了说明固定费用的性质，设
1，当利用第i种设备生产时，即x >0, i
y i
0，当不利用第i种设备生产时，即xi =0。 故其目标函数为：
min z 100y1 +300y2 +200y3 +7x1 +2x 2 +5x3
为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产，必须加以下的约束条件， M 为充分大的数。
x1 y1M， x 2 y2 M，
x3 y3M ， 设 M=1000000
a. 该目标函数的数学模型为：
min z=100y1 +300y2 +200y3 +7x1 +2x 2 +5x3 s.t.
x1 +x 2 +x3 =2000，
0.5x1 +1.8x 2 +1.0x3 2000， x1 800， x 2 1200， x3 1400， x1 y1M， x 2 y2 M， x3 y3M ，
x1，x 2，x3 0，且为整数，y1，y2，y3为0-1变量。
目标函数最优解为 : x1*=370,x 2 *=231,x3 *=1399,y1 =1,y2 =1,y3 =1,z*=107 b.该目标函数的数学模型为： min z=100y1 +300y2 +200y3 +7x1 +2x 2 +5x3 s.t.
x1 +x 2 +x3 =2000，
0.5x1 +1.8x 2 +1.0x3 2500， x1 800， x 2 1200， x3 1400， x1 y1M， x 2 y2 M， x3 y3M ，
x1，x 2，x3 0，且为整数，y1，y2，y3为0-1变量。 目标函数最优解为 :
x1*=0,x 2 *=625,x3 *=1375,y1 =0,y2 =1,y3 =1,z*=8625
c.该目标函数的数学模型为：
min z=100y1 +300y2 +200y3 +7x1 +2x 2 +5x3 s.t.
x1 +x 2 +x3 =2000，
0.5x1 +1.8x 2 +1.0x3 2800， x1 800， x 2 1200， x3 1400， x1 y1M， x 2 y2 M， x3 y3M ，
x1，x 2，x3 0，且为整数，y1，y2，y3为0-1变量。
目标函数最优解为 : x1*=0,x 2 *=1000,x3 *=1000,y1 =0,y2 =1,y3 =1,z*=7500 d.该目标函数的数学模型为： min z=100y1 +300y2 +200y3 +7x1 +2x 2 +5x3 s.t.
x1 +x 2 +x3 =2000， x1 800， x 2 1200， x3 1400， x1 y1M， x 2 y2 M， x3 y3M ，
x1，x 2，x3 0，且为整数，y1，y2，y3为0-1变量。
目标函数最优解为 : x1*=0,x 2 *=1200,x3 *=800,y1 =0,y2 =1,y3 =1,z*=6900
5．解：设 xij 为从 Di 地运往 Ri 地的运输量，i=1，2，3，4，j=1，2，3 分别 代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数，并规定，
1，当i地被选设库房， yi
0，当i地没被选设库房。 该目标函数的数学模型为：
min z 45000y1 50000y2 70000y3 40000y4 200x11 400x12 500x13 300x 21 250x 22 +400x 23 +600x31 +350x32 +300x33 +350x 41 +150x 42 +350x 43 s.t.
x11 +x 21 +x31 +x 41 =500， x12 +x 22 +x32 +x 42 =800， x13 +x 23 +x33 +x 43 =700， x11 +x12 +x13 1000y1， x 21 +x 22 +x 23 1000y2， x31 +x32 +x33 1000y3， x 41 +x 42 +x 43 1000y4， y2 y4 ， y1 +y2 +y3 +y4 2， y3 +y4 1，
xij 0，且为整数，yi为0-1分量，i=1，2，3，4。 目标函数最优解为
x11*=500,x12 *=0,x13 *=500,x 21*=0,x 22 *=0,x 23 *=0,x31*=0,x32 *=0,x33 *=0,
:
x 41*=0,x 42 *=800,x 43 *=200,y1 =1,y2 =0,y3 =0,y4 =1,z*=625000
也就是说在北京和武汉建库房，北京向华北和华南各发货 500 件，武汉向华 中发货 800 件，向华南发货 200 件就能满足要求，即这就是最优解。
1，当指派第i人去完成第j项工作时， 6．解：引入 0-1 变量 xij，并令 xij
0，当不指派第i人去完成第j项工作时。 a.为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为：
min z 20x11 19x12 20x13 28x14 18x 21 24x 22 27x 23 20x 24 +26x31 +16x32 +15x33 +18x34 +17x 41 +20x 42 +24x 43 +19x 44 s.t.
x11 +x12 +x13 +x14 =1， x 21 +x 22 +x 23 +x 24 =1， x31 +x32 +x33 +x34 =1， x 41 +x 42 +x 43 +x 44 =1，
x11 +x 21 +x31 +x 41 =1， x12 +x 22 +x32 +x 42 =1， x13 +x 23 +x33 +x 43 =1， x14 +x 24 +x34 +x 44 =1，
xij为0-1变量，i=1，2，3，4，j=1，2，3，4。
目标函数最优解为 :
x11*=0,x12 *=1,x13 *=0,x14 *=0,x 21*=1,x 22 *=0,x 23 *=0,x 24 *=0,x31*=0,x32 *=0,x33 *=1, x34 *=0,x 41*=0,x 42 *=0,x 43 *=0,x 44 *=1,z*=71
或
x11*=0,x12 *=1,x13 *=0,x14 *=0,x 21*=0,x 22 *=0,x 23 *=0,x 24 *=1,x31*=0,x32 *=0,x33 *=1, x34 *=0,x 41*=1,x 42 *=0,x 43 *=0,x 44 *=0,z*=71
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙 C 项工作，丁 D 项工作，或者是 安排甲做 B 项工作，乙做 D 项工作，丙 C 项工作，丁 A 项工作，最少时间为 71 分钟。
b.为使总收益最大的目标函数的数学模型为： 将 a 中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为
:
x11*=0,x12 *=0,x13 *=0,x14 *=1,x 21*=0,x 22 *=1,x 23 *=0,x 24 *=0,x31*=1,x32 *=0,x33 *=0, x34 *=0,x 41*=0,x 42 *=0,x 43 *=1,x 44 *=0,z*=102
即安排甲做 D 项工作，乙做 C 项工作，丙 A 项工作，丁 B 项工作，最大收 益为 102。
c.由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作的所需的时间均 为 0，该问题就变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了，其目标函数的数 学模型为：
min z 20x11 19x12 20x13 28x14 17x15 18x 21 24x 22 27x 23 20x 24 +20x 25 +26x31 +16x32 +15x33 +18x34 +15x35 +17x 41 +20x 42 +24x 43 +19x 44 +16x 45 s.t.
x11 +x12 +x13 +x14 +x15 =1， x 21 +x 22 +x 23 +x 24 +x 25 =1， x31 +x32 +x33 +x34 +x35 =1， x 41 +x 42 +x 43 +x 44 +x 45 =1， x51 +x52 +x53 +x54 +x55 =1， x11 +x 21 +x31 +x 41 +x51 =1， x12 +x 22 +x32 +x 42 +x52 =1， x13 +x 23 +x33 +x 43 +x53 =1， x14 +x 24 +x34 +x 44 +x54 =1， x15 +x 25 +x35 +x 45 +x55 =1，
xij为0-1变量，i=1，2，3，4，5，j=1，2，3，4，5。
目标函数最优解为:
x11*=0,x12 *=1,x13 *=0,x14 *=0,x15 *=0,x 21*=1,x 22 *=0,x 23 *=0,x 24 *=0,x 25 *=0,x31*=0, x32 *=0,x33 *=1,x34 *=0,x35 *=0,x 41*=0,x 42 *=0,x 43 *=0,x 44 *=0,x 45 *=1,z*=68
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙做 C 项工作，丁做 E 项工作，最 少时间为 68 分钟。
d.该问题为人多任务少的问题，其目标函数的数学模型为：
min z 20x11 19x12 20x13 28x14 18x 21 24x 22 27x 23 20x 24 +26x31 +16x32 s.t.
x11 +x12 +x13 +x14 1，
x 21 +x 22 +x 23 +x 24 1， x31 +x32 +x33 +x34 1， x 41 +x 42 +x 43 +x 44 1， x51 +x52 +x53 +x54 1， x11 +x 21 +x31 +x 41 +x51 =1， x12 +x 22 +x32 +x 42 +x52 =1， x13 +x 23 +x33 +x 43 +x53 =1， x14 +x 24 +x34 +x 44 +x54 =1，
+15x33 +18x34 +17x 41 +20x 42 +24x 43 +19x 44 +16x51 +17x52 +20x53 +21x54
xij为0-1变量，i=1，2，3，4，j=1，2，3，4，5。
目标函数最优解为:
x11*=0,x12 *=0,x13 *=0,x14 *=0,x 21*=0,x 22 *=0,x 23 *=0,x 24 *=1,x31*=0,x32 *=0,x33 *=1, x34 *=0,x 41*=1,x 42 *=0,x 43 *=0,x 44 *=0,x51*=0,x52 *=1,x53 *=0,x54 *=0,z*=69
或
x11*=0,x12 *=0,x13 *=0,x14 *=0,x 21*=1,x 22 *=0,x 23 *=0,x 24 *=0,x31*=0,x32 *=0,x33 *=1, x34 *=0,x 41*=0,x 42 *=0,x 43 *=0,x 44 *=1,x51*=0,x52 *=1,x53 *=0,x54 *=0,z*=69 或
x11*=0,x12 *=1,x13 *=0,x14 *=0,x 21*=0,x 22 *=0,x 23 *=0,x 24 *=0,x31*=0,x32 *=0,x33 *=1, x34 *=0,x 41*=0,x 42 *=0,x 43 *=0,x 44 *=1,x51*=1,x52 *=0,x53 *=0,x54 *=0,z*=69
即安排乙做 D 项工作，丙做 C 项工作，丁做 A 项工作，戊做 B 项工作；或
安排乙做 A 项工作，丙做 C 项工作，丁做 D 项工作，戊做 B 项工作；或安排甲
做 B 项工作，丙做 C 项工作，丁做 D 项工作，戊做 A 项工作，最少时间为 69 分钟。
7.解：设飞机停留一小时的损失为 a 元，则停留两小时损失为 4a 元，停留 3 小时损失为 9 元，依次类推，对 A、B、C 三个城市建立的指派问题的效率矩阵 分别如下表所示：
城市 A
起 到 飞 达 101 102 103 104 105 106 107 108 4a 361a 225a 9a 400a 256a a 625a 441a 169a 36a 4a 225a a 16a 109 484a 529a 16a 81a 121a 9a 110 196a 225a 400a 625a 解得最优解为：
起 到 飞 达 101 102 103 104 105 106 107 108 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 109 0 0 1 0 0 0 110
1 0 0 0
城市 B
起 到 飞 达 106 107 108 111 112 101 102 103 256a 225a 100a 529a 484a 2a 9a 4a 441a 625a 576a 361a 36a 25a 576a 113 a 225a 361a 2a 484a 36a 114 256a 529a 9a 625a
解得最优解为：
起 到 飞 达 101 102 103 104 105 106 107 108 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 109 0 0 0 1 0 1 110 0 0 0 0 或为：
起 到 飞 达 101 102 103 104 105 106 107 108 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 109 0 0 0 1 0 0 110
0 0 1 0
城市 C
起 到 飞 达 109 110 113 114 104 105 111 49a 25a 169a 225a 169a 441a 225a 169a 441a 49a 25a 169a 112 a 256a 256a a
解得最优解为：
起 到 飞 达 109 110 113 114 104 105 111 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 112 0 0 0 1 或为：
起 到 飞 达 109 110 113 114 104 105 111 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 112 或为:
0 0 0 1 起 到 飞 达 109 110 113 114 104 105 111 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 112 1 0 0 0 或为：
起 到 飞 达 109 110 113 114 104 105 111 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 112 1 0 0 0
第 9 章 目标规划
1.某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定，因此对每种产
品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两 台设备加工。已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备 的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期 利润不少于 5 千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到 1 万元。试建立 多目标规划模型并求解。
单位加工时间 产品 设备 A B 3 5 6 5 可用时间 45 30 100 50 甲 4 乙 2 8 销售良好时的预期利润 (百元／件) 5 销售较差时的预期利润 (百元／件)
1、解：设工厂生产 A 产品 x1 件，生产 B 产品 x2 件。按照生产要求，建立如下目 标规划模型：
min P (d ) P (d 1 1 2 2 )
4 x1 3x2 45
2 x1 5x2 30
d5x1 5x2 1 d1 50
d2 d2 100 8x1 6 x2 0, i 1, 2x , x , d , d 1 2 i i
由管理运筹学软件先求解得： x1 11.25, x2 0, d 0, d 10, d 6.25, d 0 由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有 无穷多个，为线段 (135 /14,15 / 7) (1 )(45 / 4, 0), [0,1] 上的任一点。
1
2
1
2
x1 次，在报纸上发布广告 x2 次，在广播中 2、解：设食品厂商在电视上发布广告 发布广告 x3 次。 目标规划模型为：
min P 1 (d 1 ) P 2 (d 2 ) P 3 (d 3 ) P 4 (d 4 )
x1 10
x 20
2
x3 15
20 x 10x 5x d d2 3 1 1 400 1
0.7 x1 0.3x2 0.3x3 d2 d2 0
0.3x 0.3x 0.7 x 3 d3 0d1 2 3
2.5x1 0.5x2 0.3x3 d4 d4 20
0, i 1, 2, 3, 4 x , 1 2 x , 3 x , i d , i d
用管理运筹学软件先求下述问题：
min d1 x1 10
x2 20 x3 15
d1 d1 400 20 x1 10x2 5x3
0.7 x1 0.3x2 0.3x3 d2 d2 0
0.3x 0.3x 0.7 x 3 d3 0d1 2 3
2.5x1 0.5x2 0.3x3 d4 d4 20
0, i 1, 2, 3, 4 x , 1 2 x , 3 x , i d , i d
，将其作为约束条件求解下述问题： 得： d d1 0
min
2
x1 10
x2 20 x 15 3
20 x1 10x2 5x3 d1 d1 400
0.3x2 0.3x3 d0.7 x1 2 d2 0
0.3x1 0.3x2 0.7 x3 d3 0 d3
2.5x 0.5x 0.3x d 1 2 3 4 d 4 20
d1 0
x1 , x2 , x3 , di , di 0, i 1, 2, 3, 4
0 ，将其作为约束条件计算下述问题： 得最优值 d 2
min d 3
x1 10
x2 20 x3 15
d1 d1 400 20 x1 10x2 5x3
0.3x2 0.3x3 d2 d2 0 0.7 x1
0.3x1 0.3x2 0.7 x3 d3 0 d3
2.5x 0.5x 0.3x d 1 2 3 4 d 4 20
d1 0
d2 0 x, x, x, d , d
1 2 3 i i 0, i 1, 2, 3, 4
，将其作为约束条件计算下述问题： 得最优值 d 3 0
min d 4
x1 10
x2 20 x 15 3
20 x1 10x2 5x3 d
1 d1 400
0.3x2 0.3x3 d2 d2 0 0.7 x1
0.3x1 0.3x2 0.7 x3 d3 d3 0
d4 d4 20 2.5x1 0.5x2 0.3x3
d 0 1
d2 0
d3 0 x, x, x, d , d
1 2 3 i i 0, i 1, 2, 3, 4 得：
d4 14.316, d 0,
4
x1 9.474, x2 20, x3 2.105, d1 0, d1d2d2d3d3 0, 8.387, 0, 0, 7.368,
所以食品厂商为了依次达到 4 个活动目标，需在电视上发布广告 9.474 次，报纸 上发布广告 20 次，广播中发布广告 2.105 次。（管理运筹学 2.0 可一次求解上述 问题）
3、解：（a）设该化工厂生产 x1 升粘合剂 A 和 x2 升粘合剂 B。则根据工厂要求， 建立以下目标规划模型：
1
2
3
4
min P1 (d d) P2 (d d) P3 (d)
5 1
x x d d 802 1 1 1 3 12
1 x 5 x d d2 100 1 2 2
3 12
100 x1 d3 d3
x d d 2 4 4 120
x x
300 1 2 d5 d5 x , x , x , d , d 0, i 1, 2, 3, 4, 51 2 3 i i
（b）
5
300
+ d5 - d4 d4 + d5 -
200
d3 + A 100 + d1 - d3
-d 1 d2- d 2 +
0 100 图 1 200 图解法求解 300 图解法求解如图 1：目标 1，2 可以达到，目标 3 达不到，所以有满意解为 A 点 （150，120）。
4、解：设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x1 件，生产产品 B x2 件。 min P1 (d d) P2 (d)
1 1
x x d d 602 1 1 1 6 6
（a）目标规划模型为： 1 x 5 x d d 180 2 2 2 1 3 6
d3 d3 1300 4 x1 3x2
x1 , x2 , x3 , di , di 0, i 1, 2, 3
1
2
3
用图解法求解：
500 400 d1- d1+ 300 200 100 0 d3+ d2+ d3- B D C d2- A 100 200 300 400 500 600 如图所示，所示解为区域 ABCD，有无穷多解。
（b）由上图可知，如果不考虑目标 1 和目标 2，仅仅把它们加工时间的最大限 度分别为 60 和 180 小时作为约束条件，而以利润最大化为目标，那么最优解为 C 点（360，0），即生产产品 A360 件，最大利润为 1420 元。结果与（a）是不相 同的，原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于 1300 元。 （c）如果设目标 3 的优先权为 P1，目标 1 和目标 2 的优先权为 P2，则由上图可 知，满意解的区域依然是 ABCD，有无穷多解，与（a）的解是相同的，原因是 （a）和（c）所设定的目标只是优先级别不同，但都能够依次达到。
5．在环境污染日益得到重视的今天，越来越多的企业开始注重工业废水污 水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为 300 元／吨，每吨纸产生的工 业废水的处理费用为 30 元；生产某种特种纸张的利润为 500 元／吨，每吨特种 纸产生的工业废水的处理费用为 40 元。
该纸张制造厂近期目标如下： 目标 1：纸张利润不少于 15 万； 目标 2：工业废水的处理费用不超过 1 万元。 a.设目标 1 的优先权为 P1，目标 2 的优先权为 P2，P1>P2，建立目标规划模型 并用图解法求解。 b.若目标 2 的优先权为 P1，目标 1 的优先权为 P2，建立目标规划模型并求解。
所得的解是否与 a 中的解相同？
c. 若目标 2 的罚数权重为 5，目标 1 的罚数权重为 2，建立加权目标规划模 型求解。
5、解：设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x1 吨，生产特种纸张 x2 吨。 （a）、目标规划模型为：
min P (d ) P (d ) 1 1 2 2
150000 300 x1 500 x2 d1 d1
d2 d2 10000 30 x1 40 x2
x1 , x2 , di , di 0, i 1, 2
图解法略，求解得 x1 0, x2 300, d 0, d 0, d 0, d 200
1 2 1
2
(b)、目标规划模型为：
min P (d ) P (d 1 2 2 1 )
1
300 x1 500 x2 d d 150000
d2 d2 10000 30 x1 40 x2
x, x, d, di 1, 2 1 2 i i 0,
图解法略，求解得 x1 0, x2 250, d 250, d 0, d 0, d 0 由此可见，所得结果与(a)中的解是不相同的。 (c)、加权目标规划模型为：
1
1 2 1
2
min P 1 (5d 2 2d 1 )
150000 300 x1 500 x2 d1 d1
d2 d2 10000 30 x1 40 x2
x1 , x2 , di , di 0, i 1, 2
求解得 x1 0, x2 300, d 250, d 0, d 0, d 12000
1 2 1
2
第 10 章 动态规划
1、最优解：A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E
最优值：13 2、最优解：项目 A：300 万元、项目 B：0 万元、项目 C：100 万元、
最优值：Z=71+49+70=190 万元 3、设每个月的产量是 Xi 百台（i=1、2、3、4）
最优解：X1=4、X2＝0、X3＝4、X4＝3 即第一个月生产 4 台，第一个月生产 0 台，第一个月生产 4 台，第一个月生 产 3 台。
最优值：Z=252000 元 4、最优解：运送第一种产品 5 件
最优值：Z=500 元 5．最大利润 2790 万元。最优安排如下表： 年度 年初完好设备 高负荷工作设备 低负荷工作设备 数 数 1 125 0 125 2 100 0 100 3 80 0 80 4 0 5 32 32 0 6．最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100， 300，100）或（200，200，0，200）。总利润最大增长额为 134 万。 7．在区 1 建 3 个分店，在区 2 建 2 个分店，不在区 3 建立分店。最大总利润 22。 8．最优解为：第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使 用，第五年继续使用，总成本＝4500 元。
9．最优解为第一年购买的设备到第二、三、四年初各更新一组，用到第 5 年末， 其总收入为 17 万元。 10．最优解为第一批投产 3 台，如果无合格品，第二批再投产 3 台，如果仍全部 不合格，第三批投产 4 台。总研制费用最小为 796 元。 11． 月份 采购量 待销数量 1 0 200 2 900 0 3 900 900
4 0 900 最大利润为 14000。 12．
最优策略为（1,2,3）或者（2,1,3），即该厂应订购 6 套设备，可分别分给三个厂 1,2,3 套或者 2,1,3 套。每年利润最大为 18 万元。
第 11 章 图与网络模型
习题 1
解：这是一个最短路问题，要求我们求出从 v1 到 v7 配送的最短距离。用 Dijkstra 算法求解可得到这问题的解为 27。我们也可以用此书附带的管理运筹学
软件进行计算而得出最终结果为：
从节点 1 到节点 7 的最短路 ************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 4 2 3 12 3 5 6 5 7 5
此问题的解为:27
v 即：配送路线为： v1 v2 v3 v5 7
习题 2
解：这是一个最短路的问题，用 Dijkstra 算法求解可得到这问题的解为 4.8， 即在 4 年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8 万元。
最优更新策略为：第一年末不更新
第二年末更新 第三年末不更新 第四年末处理机器
我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题 的解为 4.8。 习题 3
解：此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接 v1 到 v8
的最小生成树。解此题可以得出结果为 18。也可以使用管理运筹学软件，得出 如下结果：
此问题的最小生成树如下：
*************************
起点 终点 距离
---- ---- ----
1 3 2 3 4 2 1 2 4 2 5 2 5 7 3
7 8 7 6 此问题的解为:18
习题 4
2 3
解：此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接 v1 到 v6 的最 大流量。解此题可以得出最大流量为 22。使用管理运筹学软件，我们也可以得 出结果为：
v1 从节点 1 到节点 6 的最大流 ************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 6 1 4 6 1 3 10 2 4 0 2 5 6 3 4 5 3 6 5 4 5 5 4 6 6 5 6 11 此问题的解为:22
即从 v1 到 v6 的最大流量为：22 习题 5
解：此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接 v1
到 v6 的最小费用最大流量。解此问题可以得出最大流为 5，最小费用为 39。使用 管理运筹学软件，我们也可以得出结果如下：
从节点 1 到节点 6 的最大流 ************************* 起点 终点 流量 费用
---- ---- ---- ---- 1 2 1 3 1 3 4 1 2 4 2 4 3 2 1 1 3 5 3 3 4 6 2 4
5
6 3 2
此问题的最大流为:5 此问题的最小费用为:39
第 12 章 排序与统筹方法
习题 1
6 p 5 p2 4 p3 3 p4 2 p5 p1 解：各零件的平均停留时间为： 1
6
由此公式可知，要让停留的平均时间最短，应该让加工时间越少的零件 排在越前面，加工时间越多的零件排在后面。 所以，
此题的加工顺序为：3，7，6，4，1，2，5
习题 2
解：此题为两台机器，n 个零件模型，这种模型加工思路为：钻床上加工时 间越短的零件越早加工，同时把在磨床上加工时间越短的零件越晚加工。
根据以上思路，则加工顺序为： 2 ， 3 ， 7 ， 5 ， 1 ， 6 ， 4 。
钻床 2 3
7 5 1 6
4
磨床
2 3
7 5 1 6 4
4
习题 3
8 12 16 20 24 28 32 36 40
钻床的停工时间是：40.1。磨床的停工时间是：42.6。
解：a. 工序 j 在绘制上有错，应该加一个虚拟工序来避免 v3 和 v4 有两个直接 相连的工序。
b. 工序中出现了缺口，应在 v6 和 v7 之间加一个虚拟工序避免缺口。
c. 工序 v1 、 v2 、 v3 和 v4 之间存在了闭合回路。
习题 4
解：
v 3 a d
c v4
f
5 v1 b
vg
v6
e
v2
习题 5
解：这是一个已知工序时间的关键路径问题，由管理运筹学软件可得出如下 结果：
工序安排
工序
最早开始时间
0 0 4 4 4 9 8
最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差
0 0 5 4 5 10 8
2 4 9 8 7 11 12
2 4 10 8 8 12 12
2 0 1 0 1 1 0
是否关键工序
--- YES --- YES --- --- YES
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A B C D E F G
本问题关键路径是：B--D--G 本工程完成时间是：12
习题 6
解：这是一个不确定工序时间的关键路径问题，由管理运筹学软件可得出如 下结果：
工序 期望时间 方差
---- -------- ----
A 2.08 .07
B 4.17 .26
C 4.92 .18
D 4.08 .18
E 3.08 .07
F 2.17 .26
G 3.83 .26
工序安排
工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序
---------------------------------------------------------------------------------- A B C D E F G
0 0 4.17 4.17 4.17 9.08 8.25
0 0 5 4.17 5.17 9.92 8.25
2.08 4.17 9.08 8.25 7.25 11.25 12.08
2.08 4.17 9.92 8.25 8.25 12.08 12.08
2.08 0 .83 0 1 .83 0
--- YES --- YES --- --- YES
本问题关键路径是：B--D--G 本工程完成时间是：12.08 这个正态分布的均值 E(T ) =12.08
＋其方差为： 2 ＝bd ＋g ＝０.70 则 ＝０.84
当以９８％的概率来保证工作如期完成时，即： (u) 0.98 ，所以 u=2.05
2 2 2
T 12.08 此时提前开始工作的时间Ｔ满足： =2.05
0.84
所以Ｔ＝13.8 14
习题 7
解：最短的施工工时仍为４＋５＋６＝１５
具体的施工措施如下：
工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 ---------------------------------------------------------------------------------- A B C
0 0 7 0 1 3 3 4 10 7 9
0 0 7 0 2 3 6 4 10 9 9
1 3 10 4 3 7 6 9 15 13 15
1 3 10 4 4 7 9 9 15 15 15
时差 是否关键工序 0 0 0 0 1 0 3 0 0 2 0
--- --- --- YES --- ---
D E
F G H I J K
YES --- --- YES
本问题关键路径是：D--H--K 本工程最短完成时间是：15 经过这样调整后，任意一时间所需要的人力数都不超过 15 人。 习题 8
解：此题的网络图如下：
v1
a
v2
c
b v4
d
v3
设第 Vi 发生的时间为 xi ，(Vi, Vj)间的工序提前完工的时间为 yij ， x1 ) 4 y12 y24 4 y23 2 y34 目标函数 min f 4.5( x4
s.t.
x2 x1 3 y12 x3 x2 4 y23 x4 x2 7 y24 x4 x3 5 y34 x1 0 y12 2 y23 2 y24 4 y34 3 xi 0, yij 0
以上 i=1，2，3，4； j=1，2，3，4 用管理运筹学软件中的线性规划部分求解，得到如下结果： minf=46.5 x1=0,x2=1, x3=5,x4=7, y12 2 y23 0 y24 1 y34 3
第 13 章 存贮论
1．运用经济定购批量存贮模型，可以得到
a. 经济订货批量Q* 2Dc3 2 4800 350 579.66 件 c1 40 25% b. 由于需要提前 5 天订货，因此仓库中需要留有 5 天的余量，故再订货点
4800 5 为 96 件
250
4800 250
c. 订货次数为 8.28 次，故两次订货的间隔时间为 30.19 工作
579.7 8.28
日
1 D
d. 每年订货与存贮的总费用TC Q * c1 c3 5796.55 元
2 Q * （使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
2．运用经济定购批量存贮模型，可以得到
a. 经济订货批量Q* 2Dc3 2 14400 1800 1314.53 吨
c1 1500 2% b. 由于需要提前 7 天订货，因此仓库中需要留有 7 天的余量，故再订货点
14400 7 为 276.16 吨
365
365 33.32 天 14400 c. 订货次数为 10.95 次，故两次订货的间隔时间为 1314.53 10.95 d. 每年订货与存贮的总费用TC 1 Q * cD c 39436.02 元
3 1
2 Q * （使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
3．运用经济定购批量存贮模型，可知
a. 经济订货批量Q* 2Dc3 2Dc3 8000 ，其中 p 为产品单价， p 22% c1 2Dc
变换可得 3 80002 22% ，当存贮成本率为 27％时，
p 80002 22% 2Dc3 2Dc3 7221 箱 Q *' c1 ' p 27% 27%
b. 存贮成本率为 i 时，经济订货批量Q* 2Dc3 2Dc3 ，其中 p 为产品
p i c1 单价， 2Dc
变换可得 3 Q *2 i ，当存贮成本率变为i ' 时，
p 2Dc*2 i Dc 3 Q 3 2Q *' c1 ' p i ' i '
4．运用经济生产批量模型，可知
a. 最优经济生产批量Q*
18000 7.79 次
b. 每年生产次数为 2309.4
250
c. 两次生产间隔时间为 32.08 工作日
7.79
250 2309.4
d. 每次生产所需时间为 19.25 工作日
30000 d
e. 最大存贮水平为 (1 )Q* 923.76 套
p
D c 24941.53 元 f. 生产和存贮的全年总成本为TC 1 (1 d )Q * c 3 1
p Q * 2 g. 由于生产准备需要 10 天，因此仓库中需要留有 10 天的余量，故再订货
18000 10 点为 720 套
250
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。） 5．运用经济生产批量模型，可知
2Dc3 2 18000 1600 2309.4 套 d 18000 (1 )c1 (1 ) 150 18% 30000 p
a. 最优经济生产批量 Q*
2Dc3 2 30000 1000 2344.04 d 30000 (1 )c1 (1 ) 130 21% p 50000
件
30000 12.8 次
b. 每年生产次数为 2344.04
250
c. 两次生产间隔时间为 19.53 工作日
12.8
250 2344.04
d. 每次生产所需时间为 11.72 工作日
50000 d
e. 最大存贮水平为 (1 )Q* 937.62 件
p
D c 25596.88 元 f. 生产和存贮的全年总成本为TC 1 (1 d )Q * c 3 1
p Q * 2 g. 由于生产准备需要 5 天，因此仓库中需要留有 5 天的余量，故再订货点
30000 5 为 600 件
250
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
6．运用允许缺货的经济定购批量模型，可以得到
a. 最优订货批量Q* 2Dc3 (c1 c2 ) 2 4800 350(10 25) 685.86 件
c1c2 10 25
b. 最大缺货量 S*
2Dc3c1 2 4800 350 10 195.96 件，另外由于
c2 (c1 c2 ) 25 (10 25)
需要提前 5 天订货，因此仓库中需要留有 5 天的余量，即在习题 1 中所
求出的 96 件，故再订货点为－195.96 + 96 = －99.96 件
4800 250
c. 订货次数为 7.0 次，故两次订货的间隔时间为 35.7 工作日
7 685.86
d. 每 年 订 货 、 存 贮 与 缺 货 的 总 费 用
(Q * S*) D S *2
TC c1 c3 c2 48.98 元
Q * 2Q * 2Q *e. 显然，在允许缺货的情况下，总花费最小。因为在允许缺货时，企业可
以利用这个宽松条件，支付一些缺货费，少付一些存贮费和订货费，从 而可以在总费用上有所节省。
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
2
7．运用允许缺货的经济生产批量模型，可知
a. 最优经济生产批量 Q* 2Dc3 (c1 c2 ) 2 30000 1000(27.3 30)
d 30000 (1 )c1 c 2 (1 ) 27.3 30 50000 p 3239.52 件
d 30000 2Dc c (1 )2 30000 27.3 1000 (1 )3 1 p 50000 b. 最大缺货量 S*
c2 (c1 c2 ) 30 (27.3 30) 617.37 件，另外由于需要 5 天来准备生产，因此要留有 5 天的余量，即
在习题 5 中所求出的 600 件，故再生产点为－617.37 + 600 = －17.37 件
30000 250
故两次订货的间隔时间为 c. 生产次数为 9.26 次， 27 工作日
3239.52 9.26
d 2Dc c c (1 )1 2 3 p
d. 每年生产准备、存贮与缺货的总费用 TC 18521.25
(c1 c2 ) 元
e. 显然，在允许缺货的情况下，总花费最小。因为在允许缺货时，企业可
以利用这个宽松条件，支付一些缺货费，少付一些存贮费和生产准备费， 从而可以在总费用上有所节省。
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。） 8．运用经济订货批量折扣模型， 已知根据定购数量不同，有四种不同的价格。我们可以求得这四种情况的最优订 货量如下： 当订货量 Q 为 0－99 双时，有
Q1* 2Dc3 2 2000 300 129 个； c1 ' 360 20% 当订货量 Q 为 100－199 双时，有
Q2 * 2Dc3 2 2000 300 137 个； c1 '' 320 20% 当订货量 Q 为 200－299 双时，有
Q3 * 2Dc3 2 2000 300 141 个； c1 ''' 300 20% 当订货量 Q 大于 300 双时，有
Q4 * 2Dc3 2 2000 300 146 个。 c1 '''' 280 20% 可以注意到，在第一种情况中，我们用订货量在 0－99 时的价格 360 元/双，计 算出的最优订货批量Q1 * 却大于 99 个，为 129 个。为了得到 360 元/双的价格，
又使得实际订货批量最接近计算所得的最优订货批量Q1 * ，我们调整其最优订货
批量Q1 * 的值，得
Q1 * ＝99 双。
同样我们调整第三种和第四种情况得最优订货批量Q3 * 和Q4 * 的值，得 Q3 * ＝200 双，Q4 * ＝300 双。
可以求得当Q1 * ＝100 双，Q2 * ＝137 双，Q3 * ＝200 双，Q4 * ＝300 双时的每年 的总费用如下表所示：
折扣等级 旅游鞋单 批量Q * 价 1 2 3 4 360 320 300 280 99 137 200 300 最优订货 存贮费 1 Q * c1 2 35 4384 6000 8400 每年费用 订货费 购货费 总费用 D DC c3 Q * 6060.606 4379.562 3000 2000 720000 0000 600000 560000 729624.6 8763.6 609000 570400
由上表可知，最小成本的订货批量为Q * ＝300 双，
此时花费的总成本TC 1 Q * cD c D c 570400 元，
3 1
2 Q *
若每次的订货量为 500 双，则此时的总成本TC 1 QcD c D c 575200 元，
3 1
2 Q
这时要比采取最小成本订货时多花费 4800 元。 （使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
9．
a. 在不允许缺货时，运用经济订货批量模型，可知此时的最小成本为
1 D TC Q * c c3 848.53 元 1
2 Q *
在允许缺货时，运用允许缺货的经济订货批量模型，可知此时的最小成 S*) D S *c 791.26 元 本为TC (Q * 2 c1 c3 Q * 2Q * 2Q *
所以，在允许缺货时，可以节约费用 57.27 元
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
b. 此问缺少条件：对缺货概率做出了不超过 15％的要求，但对订货提前周
期（三周）内的需求状况却没有给出描述。此处，在此问中添加条件： 在三个星期里，对该产品的需求服从均值为 46，均方差为 10 的正态分布。 现解此问如下：
2
2
首先按照经济订货批量模型来求出最优订货批量Q * ，已知每年的平均需求量 D
2Dc3 ＝800 件， c1 ＝3 元/件年， c3 ＝150 元，得Q* 282.84 件。
c1
800 2.83 次。
由于每年的平均需求量为 800 件，可知每年平均订货 282.84
根据服务水平的要求，P（一个月的需求量 r）＝1－ ＝1－0.15＝0.85，其中 r 为再订货点。
r
由于需求量服从正态分布 N (46, 10)，上式即为 ( ) ＝0.85。
r 查标准正态分布表，即得 ＝1.036，故 r 1.036 1.036 10 46 56.36
件。
进而可以求得此时的总成本（存储成本和订货成本）为 879. 元，大于不允许 缺货时的总成本 848.53 元。
故公司不应采取允许缺货的。
10．运用需求为随机的单一周期的存贮模型， 已知 k=15，h=22，有 k 15 0.41 ，
k h 15 22 Q＝11 时，有 p(d ) p(8) p(9) p(10) 0.33 ，
10
d 0
p(d ) p(8) p(9) p(10) p(11) 0.53 。
10
d 0
11
k
此时满足 p(d ) p(d ) 。 k h d 0 d 0
11
故应定购 11000 瓶，此时赚钱的期望值最大。
11．a. 运用需求为随机的单一周期的存贮模型， 已知 k=1400，h=1300，有 k 1400 0.52 ，
k h 1400 1300
故有 P(d Q*) k 0.52 ，
k h
Q * 由于需求量服从正态分布 N (250, 80)，上式即为 ( ) ＝0.52。
Q * 查标准正态分布表，即得 ＝0.05，
故Q* 0.05 0.05 80 250 ＝254 台
b. 商店卖出所有空调的概率是 P(d Q*) ＝1－0.52=0.48。
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
12．a. 运用需求为随机的单一周期的存贮模型，
已知 k=1.7，h=1.8，有 k 1.7 0.49 ，
k h 1.7 1.8
故有 P(d Q*) k 0.49 ，
k h
600 0.49 ， 由于需求量服从区间 (600, 1000)上的均匀分布，即可得 Q * 1000 600
故Q * ＝796 只
b. 商场缺货的概率是 P(d Q*) ＝1－0.49=0.51。
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
13．运用需求为随机变量的定货批量、再订货点模型。 首先按照经济订货批量模型来求出最优订货批量Q * ，
已知每年的平均需求量 D 450 12 ＝5400 立方米， c1 ＝175 元/立方米年， c3 ＝
1800 元，
得Q* 2Dc3 333.3 立方米。
c1 5400
由于每年的平均需求量为 5400 立方米，可知每年平均订货 16.2 次。
333.3
根据服务水平的要求，P（一个月的需求量 r）＝1－ ＝1－0.05＝0.95，其中 r 为再订货点。
r
由于需求量服从正态分布 N (450, 70)，上式即为 ( ) ＝0.95。
r 查标准正态分布表，即得 ＝1.5，
故 r 1.5 1.5 70 450 565 立方米。 综上所述，公司应采取的策略是当仓库里剩下 565 立方米木材时，就应订货，每 次的订货量为 333.3 立方米。
（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）
14．运用需求为随机变量的定期检查存贮量模型。 设该种
M，由统计学的知识可知： P（笔 笔记本的存贮补充水平为
记本的需求量 d M）＝1－ ＝1－0.1＝0.9，
M 由于在 17 天内的笔记本需求量服从正态分布 N (280, 40)，上式即为 ( ) ＝
0.9。
M 查标准正态分布表，即得 ＝1.28，
故 M 1.28 1.28 40 280 331.2 立方米。
第 14 章 排队论
1、为 M/M/1 系统：λ=50 人/小时，μ=80 人 /小时
A、顾客来借书不必等待的概率：P0=0.375 B、柜台前的平均顾客数：Ls=1.6667
C、顾客在柜台前平均逗留时间：Ws=0.333 分钟 D、顾客在柜台前平均等候时间：Wq=0.208 分钟
2、为 M/M/1 系统：λ=2 人/小时，μ1=3 人/小时，μ2=4 人/小时 A、P0=0.3333、Lq=1.3333、Ls=2、Wq=0.667 小时、Ws=1 小时 B、P0＝0.5、Lq=0.5、Ls=1、Wq=0.25 小时、Ws=0.5 小时 C、因为 Z1=74 元/小时、Z2=50 元/小时，故应选择理发师乙。
3、A、为 M/M/1 系统：λ=30 人/小时，μ=40 人/小时
P0=0.25、Lq=2.25、Ls=3、Wq=0.075 小时、Ws=0.1 小时 B、1）M/M/1 系统：λ=30 人/小时，μ=60 人/小时
P0=0.5、Lq=0.5、Ls=1、Wq=0.0167 小时、Ws=0.0333 小时 2）M/M/2 系统：λ=30 人/小时，μ=40 人/小时
P0=0.4545、Lq=0.1227、Ls=0.8727、Wq=0.0041 小时、Ws=0.0291 小
时
系统二明显优于系统一。 4、为 M/G/1 系统：λ=5 辆/小时，μ=12 辆/小时
P0=0.5833、Lq=0.1726、Ls=0.53、Wq=0.0345 小时、Ws=0.1179 小时
5、为 M/M/1 系统：：λ=10 人/小时，μ=20 人/小时
Lq=3 分钟 因为 Lq=3 分钟<4 分钟，故不应该去另一电话亭。
6、为 M/D/1 系统：λ=5 辆/小时，μ=12 辆/小时
P0=0.5833、Lq=0.15、Ls=0.57、Wq=0.03 小时、Ws=0.11 小时、Pw=0.4167
7、某单位电话交换台有一部 300 门内线的总机，已知上班时，有 30%的内线电 话平均每 30 分钟要一次外线电话，70%的分机每一小时要一次外线，又知从外
单位打来的电话呼唤率平均 30 秒一次，设通话平均时间为 2 分钟，以上均服从 负指数分布。如果要求外线电话接通率为 95%以上，问应设多少条外线？
解：为 M/M/n 系统：λ=510 次/小时，μ=30 次/小时；故至少需要 18 部外线 才能满足系统运行。要求外线电话接通率为 95％以上，即 Pw<0.05：
当 n=18 时：Pw=0.7437 当 n=19 时：Pw=0.5413 当 n=20 时：Pw=0.3851
当 n=21 时：Pw=0.2674 当 n=22 时：Pw=0.181 当 n=23 时：Pw=0.1193 当 n=24 时：Pw=0.0766 当 n=25 时：Pw=0.0478
故系统应设 25 条外线才能满足外线电话接通率为 95%以上
8、为 M/M/n 系统：λ=10 台/小时，μ=4 台/小时 至少
需要 3 名修理工才能保证及时维修机器故障。 A、假设雇佣 3 名修理工，则系统为 M/M/3 模型：
Ls=6.0112、Wq=0.3511 小时、Ws=0.6011 小时、Z=630.6742 元 假设雇佣 4 名修理工，则系统为 M/M/4 模型： Ls=3.0331、Wq=0.0533 小时、Ws=0.3033 小时、Z=541.9857 元 假设雇佣 5 名修理工，则系统为 M/M/5 模型：
Ls=2.6304、Wq=0.013 小时、Ws=0.263 小时、Z=476.73 元、Z=607.824
元
故雇佣 4 名修理工时总费用最小，为 541.9857 元
B、等待修理时间不超过 0.5 小时，即要求 Wq<0.5 当雇佣 4 名修理工时，Wq=0.0533 小时<0.5 小时
9、（1）为 M/M/1/2 系统：λ=3 人/小时，μ=5 人/小时
P0=0. 5102；Lq=0.1837；Ls=0.6735；Wq=0. 075； Ws=0. 275 （2）为 M/M/1/3 系统：λ=3 人/小时，μ=5 人/小时
P0=0.4596；Lq=0.3；Ls=0.9044；Wq=0.1347； Ws=0.3347
第 15 章 对策论
1、解：因为 max min aij min max aij 0 ，所以最优纯策略为 2 , 2 ,对策值为
i
j
j
i
0。
2、解：（a）、
A、B 两家公司各有 8 个策略，分别为：1 、 1 表示不做广告；2 、 2 表
示做电视广告；3 、3 表示做电视、报纸广告；4 、4 表示做电视、广播广告；
5 、 5 表示做电视、报纸、广播广告；6 、 6 表示做报纸广告；7 、 7 表示 做报纸、广播广告；8 、 8 表示做广播广告。
局中人 A 的损益矩阵为：
1 2 1 50% 25% 2 75% 50% 3 90% 65% 4 85% 60%
5 100% 75% 6 65% 40% 7 75% 50% 8 60% 35%
i
j
j
i
3 10% 35% 50% 45% 60% 25% 35% 20% 4 15% 40% 55% 50% 65% 30% 40% 25% 5 0 25% 40% 35% 50% 15% 25% 10% 6 35% 60% 75% 70% 85% 50% 60% 45% 7 25% 50% 65% 60% 75% 40% 50% 45% 8 40% 65% 80% 75% 90% 55% 65% 50%
（b）、 max min aij min max aij 50% ，所以这个对策有鞍点。A 和 B 的最优策 略为5 , 5 ，对策值为 50%。
3、解：求超市 A 的最优策略的线性规划模型为：
min x1 x2 x3 x4
5x4 1 3x1 4 x3
6 x 2 x 4 x 1 2 3
x2 3x3 8x4 1 4x1 2x 3x 5x 7 4x 1 1 2 3 x1 , x2 , x3 , x4 0
用管理运筹学软件求得： x1 0.002, x2 0.275, x3 0.304, x4 0.044 1
由 x1 x2 x3 x4 得 v 1.6 v
0.0032, x2 0.44, x3 0.48, x4 0.0704 由 xi v xi 可得： x1
所以超市 A 的最优策略是以 0.0032 的概率采取策略1 ，以 0.44 的概率采取策略
2 ，以 0.48 的概率采取策略3 ，以 0.0704 的概率采取策略4 ，平均市场份 额增加的百分数为 1.6。
求超市 B 的最优策略的线性规划模型为：
max y1 y2 y3 y4
2 y4 1 3 y1 4 y3
6 y y 3 y1 2 3 4
2 y2 3 y3 5 y4 1 4 y1 5 y y 8x 7 y 1 1 2 3 4 y1 , y2 , y3 , y4 0
用管理运筹学软件求得： y1 0.142, y2 0.233, y3 0.18, y4 0.072
1
v 1.6由 y 1 y2 y 3 y4 得
v
0.2272, y2 0.3728, y3 0.2880, y4 0.1152 由 yi v yi 可得： y1
所以超市 B 的最优策略是以 0.2272 的概率采取策略 1 ，以 0.3728 的概率采取策 略 2 ，以 0.2880 的概率采取策略 3 ，以 0.1152 的概率采取策略 4 ，平均市场 份额增加的百分数为 1.6。
管理运筹学 2.0 可从损益矩阵直接求得上述问题答案见下图，结果差异是由于计 算误差所致。
对策最优解如下
局中人甲： X*=(0,.443,.4,.069)T 局中人乙： Y*=(.227,.371,.288,.114)T
对策值为：1.576
4、解：甲、乙两队让自己的运动健将参加三项比赛中的两项的策略各有 c2 3 种，
3
分别为：
1 ， 1 ——参加 100 米蝶泳和 100 米仰泳； 2 ， 2 ——参加 100 米蝶泳和 100 米蛙泳； 3 ， 3 ——参加 100 米仰泳和 100 米蛙泳；
则甲队的损益矩阵为：
1 2 3
1 2 3
12 12 13 12 12 13 13 14 12
采用优超原则简化后得矩阵：
1 2
1 13 12 2 12 14
由线性规划法得相互对偶的两个线性规划为：
min x1 x2 max y1 y2 13x1 12 x2 1
12x1 14 x2 1 x, x 0 1 2
由管理运筹学软件得：
x1 0.053; x2 0.026
1
v 12.6582由 x 1 x2 得
v
0.6709, x2 0.3291 由 xi v xi 可得： x1 1
v 12.6582由 y 1 y2 得
v
0.6709, y2 0.3291 由 yi v yi 可得： y1
所以甲队教练应以 0.6709 的概率出策略1 ，以 0.3291 的概率出策略3 ，平均得
13 y1 12 y2 1
12 y1 14 y2 1 y, y 0 1 2
y1 0.053; y2 0.026
分为 12.6582；乙队教练应以 0.6709 的概率出策略 1 ，以 0.3291 的概率出策略
3 ， 平均得分为 27-12.6582=14.3418。 管理运筹学 2.0 可从损益矩阵直接求得上述问题答案，结果如下图。
对策最优解如下
************************* 局中人甲： X*=(.671,.329)T 局中人乙： Y*=(.671,.329)T
对策值为：12.658
5、解：设齐王和田忌赛马的策略分别有： 1 ， 1 ——以上中下的次序出马；
2 ， 2 ——以上下中的次序出马； 3 ， 3 ——以中上下的次序出马； 4 ， 4 ——以中下上的次序出马； 5 ， 5 ——以下上中的次序出马； 6 ， 6 ——以下中上的次序出马。
齐王的损益矩阵为：
1 2 3 4 5 6
1 6 2 0 4 0 0 2 4 6 2 0 0 0
3 2 2 6 2 0 4 4
4 4 4 6 2 0 5 0 2 4 2 6 2 6 4 0 4 2 4 6
建立相互对偶的线性规划模型并用管理运筹学软件求解得：
min x1 x2 x3 x4 x5 x6
4x4 1 6 x1 2x2
2x3 1 4 x1 6x2
2 x1 2x2 6x3 2 x4 4 x6 1 齐王：
2 x5 1 4 x1 4x2 4x3 6 x4
2 x 4 x 2x 6x 2 x 1
3 4 5 6
2
4 x1 4x3 2x4 4 x5 6x6 1
xi 0, i 1, 2,K, 6 由管理运筹学软件求解得：
x1 0.13, x2 0.109, x3 0.087, x4 0, x5 0.072, x6 0
1
v 2.5126 由 x 1 x2 x 3 x4 x 5 x6 得 v
0.3266, x2 0.2739, 由 xi v xi 可得： x1 0.2186, x4 0, x5 0.1809, x6 0
x3
所以齐王的最优对策是以 0.3266 的概率出1 ，以 0.2739 的概率出2 ，以 0.2186
的概率出3 ，以 0.1809 的概率出5 。
min y1 y2 y3 y4 y5 y6
6 y1 4 y2 2 y3 4 y4 4 y6 1
2 y1 6 y2 2 y3 4 y4 2 y5 1
2 y2 6 y3 4 y4 4 y5 4 y6 1 田忌：
4 y1 2 y3 6 y4 2 y5 2 y6 1 2 y 6 y 4 y 1 4 5 6 4 y3 2 y5 6 y6 1
yi 0, i 1, 2,K, 6 由管理运筹学软件求解得：
y1 0.109, y2 0.051, y3 0.072, y4 0, y5 0.167, y6 0
1 v 2.5063 （与上面 2.5126 不同，是由计算误差由 y 1 y2 y 3 y4 y 5 y6 得 v
导致）
0.2732, y2 0.1278, 0.1805, y4 0, y5 0.4185, y6 0 由 yi v yi 可得： y1
y3
所以田忌的最优对策是以 0.2732 的概率出 1 ，以 0.1278 的概率出 2 ，以 0.1805
的概率出 3 ，以 0.4185 的概率出 5 。（管理运筹学 2.0 可从损益矩阵直接求得上 述问题答案）
第 16 章 决策分析
1．公司收益表为：
自 然状 方 态 案 N1 15 4 N2 8 14 4 N3 0 8 10 N4 -6 3 12 S1 S2 S3 a. S2 方案最优。 b. S1 方案最优。 c. S2 方案最优。 d. S2 方案最优。 e.后悔矩阵为：
公
司 收
益 方 态 值 案 状
1 N1 N2 N3 N4
max ij
1 j 4
18 S1
0 11 11(min)
14
6 0
10 2
18 9
S2
S3
10 0 0 14
故 S2 方案最优。 2．面包进货问题的收益矩阵为;
N1=S5=360, N2=S4=300, N3=S3=240, N4=S2=180, N5=S1=120
公 需 司
求
收
益 量 订 值 货 量 N1 N2 N3 N4 N5
S1
84 126 168 210 252
84 126 168 210 186
84 126 168 144 120
84 126 102 78 54
84 60 36 12 -12
S2
S3
S4
S5
b.用最大最小准则得最优方案为：S1， 用最大最大准则得最优方案为：S5， 其后悔矩阵为：
公 需 司
求
收
益 量 订 值 货 量
N1
N2
N3
N4
N5
max ij
1 j 5
S1
168 126 84 42 0
126 84 42 0 24
84 42 0 24 48
42 0 24 48 72
84 24 48 72 96
168 126 84 72(min) 96
S2
S3 S4 S5
故用后悔值法得最优方案为：S4，
用乐观系数法得最优方案为：S5， 3．第 2 题中需求量的分布概率已知,
E(S1)= 84，E(S2)=119.4， E(S3)=141.6， E(S4)=144， E(S5)=126.6 故用期望值法得最优方案为：S4
题可得：
4．解： I1 表示不合格品的概率为 0.05，I2 表示不合格品的概率为 0.25，由 P（I1）=0.8， P（I2）=0.2，
a. 用 S1 表示检验，S2 表示不检验，则该问题的收益矩阵为：
公 司 方 自 然 状 费 态 用 案 I1 (P（I1）=0.8) I2 (P（I2）=0.2) S1 1500 750 1500 3750 S2 b. E（S1）=1500╳0.8+1500╳0.2=1500 元。 E（S2）=750╳0.8+3750╳0.2=1350 元。 故 S2 为最优检验方案。 c. E（S1）=1500P E（S2）=750P+3750(1-P)=3750-3000P 当 E（S1）= E（S2）时，P=0.833
可见，当 P﹥0.833 时，S1 为最优方案，当 P﹤0.833 时，S2 为最优方案。
5．解：由前面的数据作出决策树图如下：
I1（不合格）P（I1）=0.8 1500 1350 决策 检验 不检验
1500 S1 I2（不合格）P（I2）=0.2 1500 750 1350 S2 I1（不合格）P（I1）=0.8
I2（不合格）P（I2）=0.2
3750
由图说明选定了方案 S2，即不检验。
6．解：规定 S1 表示投资开发事业，S2 表示存放银行。
a.
E（S1）=50000×0.2×0.96-50000×0.04=7600 元 E（S2）=50000×0.06×1=3000 元
比较可知道 S1 更优，即选投资开发事业。即当我们不掌握全情报用期望值 准则来决策时，S1 是最优行动方案。故 EVWOPI =7600 元
b. EVWPI=50000×0.2×0.96+50000×0.06×0.04=9720 元
EVPI= EVWPI- EVWOPI=9720-7600=2120 元
c.用 I1 表示咨询公司结论为开发，I2 表示咨询公司结论为不开发，N1 表示开 发，N2 表示不开发。为了求解题中的问题，先根据题意求出其中的 P（I1）、P（I2 ）、
N2 N1 N2 ) 的值
P( N1 ) 、 P( ) 、 P( ) 、 P( I I1 I1 I2 2
P(I1 N ) 0.9 ，
1
P(I2 N ) 0.1，
1
P(I2 N ) 0.6 ，
2
P（N1）=0.96，
) 0.4 ，
2 N
P（N2）=0.04。
P(I1 P(I N1 )P(1 ) P(
I1
I2 P(I 2 ) P( N 2 )P(
) P( N2 )P(
N
1
I1 ) 0.96 0.9 0.04 0.4 0.88 ， N 2
I2
) 0.04 0.6 0.96 0.1 0.12 ， ) P( N )P( 1 N 2 N1
由贝叶斯公式，我们可求得：
0.9 0.9818 ， P( N1 I1 ) 0.960.88
P ( N2 ) P ( I1 )
0.4 0.0182 ， P( N2 I1 ) P ( I1 ) N 2 0.040.88
P ( N1 ) P ( I2 )
0.1 0.8 ， P( N1 I2 ) P ( I2 ) N 1 0.960.12
P ( N2 ) P ( I2 )
0.6 0.2 。 P( N2 I2 ) P ( I2 ) N 2 0.040.12
P ( N1 ) P ( I1 ) N 1 P ( I1 )
当调查结论为开发时：
E（S1）=0.9818╳50000╳0.2-0.0182╳50000=08 元 E（S2）=50000╳0.06=3000 元 即此题应选择方案 S1。 当调查结论为不开发时：
E（S1）=0. 8╳50000╳0.2-0. 2╳50000=-2000 元 E（S2）=50000╳0.06=3000 元
因为咨询公司调查结论为开发的概率为 P（I）=0.88，不开发的概率 P（I） 12
=0.12，故
E（调）=0.88╳08+0.12╳3000=8199.04 元 这就是当公司委托咨询公司进行市场调查即具有样本情报时，公司的期望 即此进应选择方案 S1。
收益可达到 8199.04 元，比不进行市场调查的公司收益 7600 元要高。故其
EVSI=8199.04-7600=599.04 元
EVSI 599.04 样本情报效率= ×100%= ×100%=28.27% EVPI 2120
因为 599.04＜800，所以该咨询服务费用 800 元是不值得的。 可以直接输入管理运筹学软件直接得出结果。 7．解：a.先求各效用值
1）U（80）=PU（100）+（1-P）U(-10)=0.9(10) +0.1(0)=9， 2）U（60）＝PU（100）+（1-P）U(-10)=0.8(10) +0.1(0)=8， 3）U（10）＝PU（100）+（1-P）U(-10)=0.25(10) +0.75(0)=2.5， 故其效用矩阵为：
概
方 自 然 状 率 态 案
N1 N2 N3 P（N1）=0.2 P（N2）=0.5 P（N3）=0.3 S1(现在扩大) 10 9 0
S2(明年扩大)
9 8 2.5
b. E（S1）=0.2×100+0.5×80+0.3×（-10）=57，
E（S2）=80×0.2+60×0.5+10×0.3=49， 故按实际盈利期望值法确定的最优方案为 S1。
E U (S1 ) 0.2 10 0.5 9 0.3 0 6.5 ，
E U (S2 ) 0.2 9 0.5 8 0.3 2.5 6.55 ，
因为 E U (S1 ) ﹥ E U (S2 ) ，所以 S2 为最优方案。
第 17 章 预测
85 100 105
n=3 时，第 13 个月的销售量为 96.7；
3
100 85 100 105
n＝4 时，第 13 个月的销售量为 97.5
4
b. 结果如下表所示： 1． a.
月份 销售量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
＝0.3 时的预测 ＝0.5 时的预测 值 值 105 135 105 105 115 114 120 100 114.3 117.5 95 110.01 108.75 120 105.507 101.875 140 109.8549 110.9375 135 118.84 125.4688 100 123.72 130.2344 85 116.6102 115.1172 100 107.1272 100.0586 105 104.9 100.0293 104.9923 102.5146
1 2 4
2．a. n=3，比例为 1：2：4 时，第 11 周的股票价格为 9.7 9.6 9.4 ＝
7 7 7
9.5；
1 3 5
b. n=3，比例为 1：3：5 时，第 11 周的股票价格为 9.7 9.6 9.4 ＝
9 9 9
9.5； c. 由 a、b 的结果可以看出，两个结果相同。
3．a. 销售情况如下图所示：
40 35 30 25 20 15 10 5 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由上图可以看出，该时间序列有一定的线性趋势。 b. 设线性方程为Tt b0 b1t ，进行如下计算：
合计
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 Yt 20 24.5 28.2 27.5 26.6 30 31 36 35.2 37.4 296.4 t Yt t 2 1 4 9 16 25 36 49 81 100 385 20 49 84.6 110 133 180 217 288 316.8 374 1772.4
b 1
(Y) / n 1772.4 (55 296.4) / 10 t Y t ＝＝1.72，
(385 55/10 t t )/ n
t 2 t 2 2
b0 Y b1 t ＝20.18，
故所求直线方程为Tt 20.18 1.72 t 。
t＝11 时，Tt 20.18 1.7211＝39.1，即第 11 年的销售量为 39.11 万台。 4．a. 根据销售数据，可以做出下图：
3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
由图可看出，销量有较为明显的上升趋势和季节影响。 b. 根据销售数据，可以做出下表：
季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 销 售 四个季度移动平 中心移动平均 季节于不规则 量 均值 值 因素的指标值 1650 900 2580 17.5 1916.25 1.34638 2460 1935 1927.5 1.276265 1800 1920 1953.75 0.921305 840 1987.5 1967.5 0.426938 2850 1947.5 1953.75 1.458733 2300 1960 1985 1.15869 1850 2010 2013.75 0.918684 1040 2017.5 2050 0.507317 2880 2082.5 2560
去 掉 指 标 值 中 的 不 规 则 因 素 ， 第 三 季 度 的 季 节 指 数 为
1.34638+1.458733
1.40，同理可求得第一、二、四季度的季节指数为 0.92，
2
0.47，1.22。进行调整后，四个季度的季节指数依次为 0.92，0.47，1.39，1.22。 c. 在时间序列中去掉季节因素，可得下表： 季度 销售量 季节指数 1 2 3 4 1 2 3 1650 900 2580 2460 1800 840 2850 0.92 0.47 1.39 1.22 0.92 0.47 1.39 消除季节因素的 销量 1793 1915 1856 2016 1957 1787 2050
4 1 2 3 4 2300 1850 1040 2880 2560 1.22 0.92 0.47 1.39 1.22 1885 2011 2213 2072 2098
使用消除季节因素后的时间序列确定时间序列的趋势，可以得到直线方程为： Tt 1805 25.5 t 。
在第四年第四个季度，t＝16，故Tt 1805 25.516 ＝2213。 第四季度的季节指数是 1.22，故预测值为 2213 1.22＝2699.9。
5．a. 根据销售数据，可以做出下图：
50 40 30 20 10 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
由上图可以看出，销量有明显的上升趋势和季节影响。 b. 根据销售数据，可以做出下表：
季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
销 售 四个季度移动平 中心移动平均 季节于不规则 量 均值 值 因素的指标值 6 6.7 15 11.0 10 8.75 9.25 8.9 4 9.75 10.125 6.5 10 10.5 11.125 11.1 18 11.75 12.125 13.2 15 12.5 13 13.4
7 13.5 14.5 11.3 14 15.5 16.5 15.6 26 17.5 18.125 19.1 23 18.75 19.375 20.5 12 20 20.25 19.4 19 20.5 20.75 21.1 28 21 21.75 20.6 25 22.5 22.875 22.3 27
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 18 22 34 28 21 24 36 30 20 28 40 35 27 23.25 24.75 25.5 26.25 26.75 27.25 27.75 27.5 28.5 29.5 30.75 32.5 24 25.125 25.875 26.5 27 27.5 27.625 28 29 30.125 31.625 29.0 24.4 25.0 25.0 33.9 26.7 26.5 26.8 32.3 31.1 29.4 31.3 43.5
去掉指标值中的不规则因素，并进行调整后，四个季度的季节指数依次为 0.90，1.36，1.12，0.62。
c. 在时间序列中去掉季节因素，可得下表： 季度 销售量 季节指数 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 6 15 10 4 10 18 15 7 14 26 23 12 19 28 25 18 22 34 28 21 24 36 30 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12
消除季节因素的 销量 6.7 11.0 8.9 6.5 11.1 13.2 13.4 11.3 15.6 19.1 20.5 19.4 21.1 20.6 22.3 29.0 24.4 25.0 25.0 33.9 26.7 26.5 26.8
4 1 2 3 4 20 28 40 35 27 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 32.3 31.1 29.4 31.3 43.5
使用消除季节因素后的时间序列确定时间序列的趋势，可以得到直线方程为： Tt 14.8 1.1t 。
在第八年第四个季度，t＝32，故Tt 14.8 1.1 32 ＝50。 第四季度的季节指数是 0.62，故预测值为 50 0.62＝31。
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