高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

函数与方程

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫做函数yf(x)的零点。

（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点 （3）变号零点与不变号零点

①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

③若函数f(x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根。

（2）函数yf(x)零点个数（或方程f(x)0实数根的个数）确定方法

① 代数法：函数yf(x)的零点f(x)0的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

0yf(x)有2个零点f(x)0有两个不等实根； 0yf(x)有1个零点f(x)0有两个相等实根；

0yf(x)无零点f(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.

1、 二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度; ②求区间(a,b)的中点c;

数学

③计算f(c);

(ⅰ)若f(c)0,则c就是函数的零点;

(ⅱ) 若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c)); (ⅲ) 若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b));

④判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.

【经典例题】

1．函数f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

2．函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )

A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 3．若函数f(x)axxa (a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

4．设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当x[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos(x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[,]上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 D、8 5．函数f(x)xcosx在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）

A、4 B、5 6．函数f(x)

C、6

D、7

2x31322xcosx在[0,)内 （ ）

A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点

a，a－b≤1，

7．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)

b，a－b>1.

－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )

33－1， B、(－∞，－2]∪－1，－ A、(－∞，－2]∪241131

－1，∪，＋∞ D、－1，－∪，＋∞ C、4444

8．已知函数f（x）=logaxxb(a＞0，且a1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点

x0(n,n1),nN*,则n= . 9．求下列函数的零点：

（1）f(x)x2xx2； （2）f(x)x

数学

324. x

10．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．

【课堂练习】

1、在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为 （ ）

A、(,0) B、(0,) C、(,) D、(,) 2、若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间 （ ） A、(0,1) B、(1,1.25) C、(1.25,1.75) D、(1.75,2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )

x141411421324

4、函数fx=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）

xA．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）

5、设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是 （ ） A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数fx=x-cosx在[0，﹚内 （ ）

A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数f(x)的零点与g(x)42x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（ ） A、f(x)4x1 B、f(x)(x1) C、f(x)e1 D、f(x)ln(x) 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )

232A、f(x)x8 B、f(x)lnx3 C、f(x)x22x2 D、f(x)x4x1

x2x129、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）

数学

11A、,

84

11B、,

42

C、,1

12 D、(1,2)

10、lgx10有解的区域是 （ ） xD、(100,)

A、(0,1] B、(1,10] C、(10,100]

11、在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为 （ ）

111113A、(,0) B、 (0,) C、(,) D、(,)

44422412、函数f(x)xlog2x的零点所在区间为（ ）

A、[0,]

x18B、[,]

1184C、[,]

x1142D、[,1]

1213、设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得

f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（ ）

A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) D、不能确定 14、设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（ ） ．A、4,2 B、 2,0 C、0,2 D、2,4

x22x3,x015、函数f(x)， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0

2lnx,x016、若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f (1) = －2 f (1.375) = －0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054 那么方程x3x22x20的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）

A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程2xx23的实数解的个数为 . 2218、已知函数f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。

23x在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。 33220 、求函数f(x)x2x3x6的一个正数零点(精确度0.1)．

19、判断函数f(x)4xx2

数学

【课后作业】

1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

2、设f(x)3x，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ( )

A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0]

x23、已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的 （ ） A、函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点 B、函数f(x)在(3,5)内无零点 C、函数f(x)在(2,5)内有零点 D、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点 4、若函数f(x)x3xa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 （ ）

A、2,2 B、2,2

C、,1 D、1,

35、函数f(x)xlnx的零点所在的区间为 （ ）

A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e） 6、求函数f(x)2x3x1零点的个数为 （ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

327、如果二次函数yxxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是

（ ） A、(11111111,) B、(,) C、(,) D、(,) 42428、方程lgxx0根的个数为 （ ） A、无穷多 B、3 C、1 D、0

9、用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)<0，则方程的根在区间 ( )

A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定

1

10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( )

311

，1，(1，e)内均有零点 B、在区间，1，(1，e)内均无零点 A、在区间ee11

，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 C、在区间ee

数学

11、设函数f(x)lnx12x1(x0)，则函数yf(x) ( ) 2A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点

12、用二分法研究函数f(x)x3x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点

3x0 ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )

A、（0，0.5），f(0.2（0，1），f(0.2（0.5，1），f(0.7（0，0.5），f(0.15) B、5) C、5) D、25) 13、函数f(x)2x2在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

14、（已知函数f(x)logaxxb(a0,且a1).当2a34是，函数f(x)的零点

x3x0(n,n1),n*N, . 则n=

15、用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)

2＋4的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．

2

x2

16、已知函数 f(x)＝{2－1，x>0，－x－2x，x≤0， 若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的

取值范围是________． 17、函数f(x)x5x6的零点组成的集合是 . 318、用“二分法”求方程x2x50在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的

2区间是

19、函数f(x)lnxx2的零点个数为 .

20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．

函数与方程

【考纲说明】

2、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 3、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫做函数yf(x)的零点。

数学

（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点 （3）变号零点与不变号零点

①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

③若函数f(x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根。

（2）函数yf(x)零点个数（或方程f(x)0实数根的个数）确定方法

① 代数法：函数yf(x)的零点f(x)0的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

0yf(x)有2个零点f(x)0有两个不等实根； 0yf(x)有1个零点f(x)0有两个相等实根；

0yf(x)无零点f(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.

4、 二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度; ②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c);

(ⅰ)若f(c)0,则c就是函数的零点;

(ⅱ) 若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c)); (ⅲ) 若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b));

数学

④判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】 函数f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B

【解析】解法1：因为f(0)=1+02=1，f(1)=2+22=8，即f(0)f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1. 解法2：设y1=2，y2=2x，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.

4x33x32510 【例2】 函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )

A、(4－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【答案】B 5－【解析】∵ f(－1)＝21＋3×(－1)＝－<0， 620f(0)＝2＋0＝1>0， ∴ f8(－1) f(0)<0. ∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)． 【例3】若函数f(x)axxa (a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】（1，）2函数f(x)=axxa (a0且a1)有两个零点，方程axxa0有两个不相等的实数【解析】

x根，即两个函数ya与yxa的图像有两个不同的交点，当0a1时，两个函数的图像有且仅有

一个交点，不合题意；当a1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【例4】设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当x[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos(x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[,]上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B

【解析】因为当x[0,1]时，f(x)=x3. 所以当x[1,2]时，(2x)[0,1]，f(x)f(2x)(2x)，

31322数学

132213偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，g()g()0，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、

2211131这两个零点之外，分别在区间[,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零点，共有6个零点，故选B

2222当x[0,]时，g(x)xcos(x)；当x[,]时，g(x)xcos(x)，注意到函数f(x)、 g(x)都是【例5】函数f(x)xcosx在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5

【答案】C

C、6

D、7

212【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+ 【例6】函数f(x)π ,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C． 2

xcosx在[0,)内 （ ）

A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 【答案】B

【解析】解法一：数形结合法，令f(x)xcosx0，则xcosx，设函数yx和ycosx，

xcosx在

它们在[0,)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f(x)[0,)内有且仅有一个零点；

解法二：在x[在x(0,2,)上，x1，cosx1，所以f(x)xcosx0；

12xsinx0，所以函数f(x)xcosx是增函数，又因为f(0)1，

2]，f(x)f()20，所以f(x)xcosx在x[0,]上有且只有一个零点． 22a，a－b≤1，

【例7】对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y

b，a－b>1.

＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )

33－1， B、(－∞，－2]∪－1，－ A、(－∞，－2]∪24

数学

1131

－1，∪，＋∞ D、－1，－∪，＋∞ C、4444【答案】B

x－2，x－2－(x－x)≤1，

【解析】f(x)＝ ＝2223x－x()x－x，x－2－>1x－x2，x<－1，或x>，2

2

2

3

x2－2，－1≤x≤，2



2

则f(x)的图象如图

∵ y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴ y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，

3

由图象知c≤－2，或－14

【例8】已知函数f（x）=logaxxb(a＞0，且a1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点

*x0(n,n1),nN则,n= . 【答案】5

【解析】方程logaxxb(a＞0，且a1)=0的根为x0,即函数ylogax(2a3)的图象与函数

yxb(3b4)的交点横坐标为x0,且x0(n,n1),nN*,结合图象,因为当xa(2a3)时,y1,此时对应直线上y1的点的横坐标x1b(4,5);当y2时, 对数函数ylogax(2a3)的图象上点的横坐标x(4,9),直线yxb(3b4)的图象上点的横坐标x(5,6),故所求的n5. 【例9】求下列函数的零点：

（1）f(x)x2xx2； （2）f(x)x324. x2【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2. 【解析】（1）由x2xx20,

3x2(x2)(x2)0,(x2)(x1)(x1)0, x2或x1或x1.故函数的零点是2，1，-1.

4x240, （2）由x0,得xx(x2)(x2)0,(x2)(x2)0, xx2或x=-2.数学

故函数的零点是2，-2.

【例10】判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． 【答案】1.312 5 【解析】 因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：

区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 －0.3 0.22 －0.05 0.08 由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似零点为1.312 5.

【课堂练习】

1、在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为 （ ）

A、(,0) B、(0,) C、(,) D、(,) 2、若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间 （ ） A、(0,1) B、(1,1.25) C、(1.25,1.75) D、(1.75,2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )

x141411421324

4、函数fx=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）

xA．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）

5、设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是 （ ） A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数fx=x-cosx在[0，﹚内 （ ）

A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数f(x)的零点与g(x)42x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（ ） A、f(x)4x1 B、f(x)(x1) C、f(x)e1 D、f(x)ln(x) 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )

232A、f(x)x8 B、f(x)lnx3 C、f(x)x22x2 D、f(x)x4x1

x2x129、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）

数学

11A、,

84

11B、,

42

C、,1

12 D、(1,2)

10、lgx10有解的区域是 （ ） xD、(100,)

A、(0,1] B、(1,10] C、(10,100]

11、在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为 （ ）

111113A、(,0) B、 (0,) C、(,) D、(,)

44422412、函数f(x)xlog2x的零点所在区间为（ ）

A、[0,]

x18B、[,]

1184C、[,]

x1142D、[,1]

1213、设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得

f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（ ）

A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) D、不能确定 14、设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（ ） ．A、4,2 B、 2,0 C、0,2 D、2,4

x22x3,x015、函数f(x)， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0

2lnx,x016、若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f (1) = －2 f (1.375) = －0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054 那么方程x3x22x20的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）

A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程2xx23的实数解的个数为 . 2218、已知函数f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。

23x在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。 33220 、求函数f(x)x2x3x6的一个正数零点(精确度0.1)．

19、判断函数f(x)4xx2【课后作业】

1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

数学

2、设f(x)3x，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ( )

A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0]

x23、已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的 （ ） A、函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点 B、函数f(x)在(3,5)内无零点 C、函数f(x)在(2,5)内有零点 D、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点 4、若函数f(x)x3xa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 （ ）

A、2,2 B、2,2

C、,1 D、1,

35、函数f(x)xlnx的零点所在的区间为 （ ）

A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e） 6、求函数f(x)2x3x1零点的个数为 （ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

327、如果二次函数yxxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是

（ ） A、(11111111,) B、(,) C、(,) D、(,) 42428、方程lgxx0根的个数为 （ ） A、无穷多 B、3 C、1 D、0

9、用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)<0，则方程的根在区间 ( )

A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定

1

10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( )

311

，1，(1，e)内均有零点 B、在区间，1，(1，e)内均无零点 A、在区间ee11

，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 C、在区间ee11、设函数f(x)lnx12x1(x0)，则函数yf(x) ( ) 2A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点

数学

C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点

12、用二分法研究函数f(x)x3x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点

3x0 ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )

A、（0，0.5），f(0.2（0，1），f(0.2（0.5，1），f(0.7（0，0.5），f(0.15) B、5) C、5) D、25) 13、函数f(x)2x2在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

14、（已知函数f(x)logaxxb(a0,且a1).当2a34是，函数f(x)的零点

x3x0(n,n1),n*N, . 则n=

15、用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)

2＋4的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．

2

x2

16、已知函数 f(x)＝{2－1，x>0，－x－2x，x≤0， 若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的

取值范围是________． 17、函数f(x)x5x6的零点组成的集合是 . 318、用“二分法”求方程x2x50在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的

2区间是

19、函数f(x)lnxx2的零点个数为 .

20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．

函数与方程【参】

【课堂练习】

1-16、CDCBA BACCB CCBABC 17、2

2218、解：设方程x(a1)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，

则(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10 由韦达定理得a2(a1)10，

2数学

即aa20，所以2a1 19、解：因为f1412272130，f1410 3333所以fx在区间[1,1]上有零点

91又fx42x2x2x

22'22当1x1时，0f'x9 2所以在[1,1]上单调递增函数，所以fx在[1,1]上有且只有一个零点。

20、解 由于f(1)60,f(2)40，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) (1.687 5,1.75) 中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75 中点函数值 －2.625 0.234 4 －1.302 7 －0.561 8 －0.170 7 由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，

所以可将1.687 5作为函数零点的近似值． 【课后作业】

1-13、BDCAB CCDAD AAB 14、2 15、(2,3) 16、 (0,1) 17、{2,3} 18、[2,2.5)

19、2

20、证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，

∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解． 设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0， ∴x0∈(1,1.5)，

取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0， f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，

取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0， f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)， 取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，

数学

f(1.187 5)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，

∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．

数学