章末复习课
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1．解决截距问题不忽略“0”的情形
解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
2．弄清直线的倾斜角与斜率关系
在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．
3．不要忽视斜率不存在的情况
(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.
专题一 直线的倾斜角与斜率问题
直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度，倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视．
(1)对应关系．
①当α≠90°时，k＝tan α；②当α＝90°时，斜率不存在． (2)单调性．
当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．
y2－y1经过A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是k＝，应用时注意其x2－x1
适用的条件是x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
[例1] 已知坐标平面内的三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． 解：(1)由斜率公式，得 1－1
kAB＝＝0，
1－（－1）kBC＝
3＋1－1
＝3，
2－1
3＋1－13
kAC＝＝.
2－（－1）3因为tan 0°＝0，
所以AB的倾斜角为0°；
因为tan 60°＝3，所以BC的倾斜角为60°； 因为tan 30°＝
3，所以AC的倾斜角为30°. 3
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，即D在△ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为
3，3. 3
归纳升华
求直线斜率的方法
1．定义法．已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan α.
y2－y1
2．公式法．若直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝.
x2－x1
3．数形结合法．已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；y2－y1
②由k＝求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．
x2－x1
[变式训练] (1)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角．
(2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．
(1)解：由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率，
－1－23－2－22－2
则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
－2－354－3－3－3
由k1>0知，直线l1的倾斜角是锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角是钝角；由k3＝0知，
直线l3的倾斜角是0°.
(2)解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1， y＋3则＝－1，解得y＝－5. 4－2答案：－5
专题二 直线的平行与垂直问题
1．两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2斜率都存在，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1
⊥l2⇔k1·k2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k1，k2均不存在，则两直线平行或重合．
2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[例2] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.① 又因为点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2.
(2)因为l1∥l2，且l2的斜率为1－a，
aa
所以l1的斜率也存在，且＝1－a，即b＝.
b1－a故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋
4（a－1）a＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0. a1－a
因为原点到l1与l2的距离相等， 所以4
a－1a2
＝1－a，所以a＝2或a＝.
3a
2
a＝2，a＝，
所以或3
b＝－2
b＝2.
归纳升华
考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择；一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．
[变式训练] 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．
3a－0
解：l1的斜率k1＝＝a.
1－（－2）
－2a－（－1）1－2a
当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.
aa－0所以l1⊥l2，
1－2a
所以k1k2＝－1，即a·＝－1，得a＝1.
a
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴， A(－2，0)，B(1，0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 故实数a的值为0或1. 专题三 距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式见下表：
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两平行直线间的距离 已知条件 A(x1，y1)，B(x2，y2) P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0) 公式 |AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）2 |Ax0＋By0＋C|d＝ A2＋B2d＝|C2－C1| A2＋B2 [例3] 求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3，1)的距离为2的直线方程． 解：①当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx(k≠0)，即kx－y＝0.
由已知，得
|3k－1|
2＝2，整理得7k2－6k－1＝0，
k＋1
1
解得k＝－或1，
7
所以所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率为－1，设直线为x＋y＋C＝0(C≠0)，
|4＋C|
由已知得＝2，解得C＝－6或C＝－2.
2所以所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 归纳升华
1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
3．若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解．
[变式训练] 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．
解：①当所求直线经过坐标原点时，
设其方程为y＝kx(k≠0)，由点到直线的距离公式可得3
－6±14x. 故所求直线的方程为y＝2②当直线不经过坐标原点时， xy
设所求方程为＋＝1，
aa即x＋y－a＝0，由题意可得解得a＝1或a＝13.
故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0. 3
－6±14x或 综上可知，所求直线的方程为y＝2x＋y－1＝0或x＋y－13＝0. 专题四 数形结合思想的应用
数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决：
[例4] 已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：由点M(3，5)及直线l：x－2y＋2＝0，可求得点M关于l的对称点M1(5，1)， 同理可得点M关于y轴的对称点M2(－3，5)，如图所示．
|4＋3－a|
＝32， 2
|4k－3|
3
＝32，解得k＝－6±14.
2k2＋1
根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 70，， 令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q2x＋2y－7＝0，59，. 解方程组得两直线的交点P24x－2y＋2＝0，
597
，与点Q0，即为所求． 所以点P242归纳升华
利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解．
[变式训练] 求y＝x2－x＋1－x2＋x＋1的值域． 解：原式可变形为 y＝
x－1＋3－24
2
x＋1＋3， 24
2
1313
它表示动点P(x，0)到点A，和点B－，的距离之差，如图所示，即y＝|PA|
2222－|PB|.
由于||PA|－|PB||<|AB|＝1，所以|y|<1，即－1
