浅谈量子力学中的对称性和守恒律

秦山山 物理学基地班 2008213578

[摘要]对称性在物理学中占有重要的地位，本文首先对对称性和守恒律进行了简要的讨论， 结合经典力学中的守恒规律， 着重讨论了量子力学中的几个基本连续时空变换不变性、 空间 反演不变性、全同粒子的交换对称性及与之对应的守恒律，并结合相应的例子，讨论了对称 性在处理量子力学问题中的应用。 关键词： 量子力学 对称性 守恒 变换 引言 对称性都高于经典力学中的对称性。 对称性的观点由来已久， 并深刻影响了 量子力学中常见的对称性有一些是普 一代又一代的人。纵观物理学的发展，我们 遍存在的基本对称性， 有一些则是特殊系统 可以看出， 对称性已经成为人们提出新理论 才具有的对称性。量子力学中的时间均匀 的指导原则和解决问题的途径。 对称性总是 性、空间均匀性、空间各向同性、全同粒子 与美、和谐相联系的，经典力学展现出令人 的交换对称性是普适的、 严格成立的基本对 震惊的和谐与对称，分别与空间平移对称 称性；而空间反射不变性、时间反演不变性 性，时间平移对称性、空间旋转对称性相联 对大部分情况成立。 此外还有各种系统的各 系的能量守恒定律， 动量手恒定律和角动量 种对称性，比如，中心场问题的空间旋转对 守恒定律成了当时人们认识世界的 “窗口” 。 称性，谐振子的空间反演不变性。上面的这 到了十九世纪末， 物理学对和谐的追求已经 些对称性根据相应的变换是连续的还是离 达到了极致， 当时已知的物理现象都可以归 散的 纳到力学、电磁理论、热力

学统计物理学等 可分为两类： 空间反射、时间反演、全同 高度完美的理论框架中。到了二十世纪，守 粒子的交换等属于离散变换； 其余的为连续 恒定律与对称性在物理学中占了更重要的 变换。 地位。 对称性的观点在爱因斯坦创建狭义和 本文首先讨论了对称性和守恒的概念， 广义相对论的过程中起了重要作用。 量子力 接着讨论了量子力学中几种基本对称变换 学中的好量子数、守恒定律、跃迁选择定则 和相应的守恒律，即连续时空变换、空间反 等都与对称性有关。 射变换、全同粒子的置换。最后以能级简并 && 1918 年， 德国数学家诺特 E.Nother ） （ 为例来说明利用对称性可以在不求解薛定 提出诺特定理： 每一个准确的对称性都对应 谔方程的情况下得出关于系统的有用信息， 一个守恒定律，相应地有一个守恒量。一个 以此说明对称性在分析和解决量子力学问 力学系统的对称性就是它运动规律的不变 题的中要性。 性。在经典力学里，运动规律由拉格朗函

数 决定， 因而时空对称性表现为拉格朗日函数 在时空变换下的不变性；在量子力学中，微 一，对称性与守恒的基本概念 观粒子的运动规律是薛定谔方程， 它决定于 系统的哈密顿算符，因此，量子力学系统的 对称性表现为哈密顿算符的不变性。 但无论 1.对称性 给定系统的某种对称性是指系统的某种不 就对称性的种类和程度来说， 量子力学中的

可分辨性，某种不可观测性，这就是说，在 某种操作或变换下系统依

然保持不变。比 如，在经典力学中，系统的运动规律由拉格 朗日函数决定，它具有时间平移、空间平移 和空间旋转下的不变性，分别对应能量守 恒、动量守恒和角动量守恒。同样，在量子 力学中， 微观粒子的运动规律由薛定谔方程 描述，它决定于系统的哈密顿算符，因此量 子力学系统的对称性变现为哈密顿算符的 不变性。 要求。

ˆ 设有变换： S （不依赖于时间，且存在 ˆ S −1 ） ˆ 对任意算符 O ，它作用于任意波函数 Ψ ， ˆ

有 OΨ = Φ ˆ 则在变换 S 下有 ˆ ˆ Ψ → Ψ ( S ) = S Ψ O( S ) Ψ ( S ) = Φ ( S ) 所以， 2.守恒量

在经典力学中， 如果系统的某一力学量 不随时间变化，则称之为守恒量。经典力学 中力学量 f 对时间的倒数为 df ∂f = + [ H , f ]PB dt ∂t (1)

ˆˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆˆ Φ ( S ) = SO1Ψ = SOS −1S Ψ = SOS −1Ψ ( S ) ( 4) [ H , f ]PB ≡ ∑ ( α S

∂H ∂f ∂H ∂f ) (2) − ∂pα ∂qα ∂qα ∂pα O 所以， ˆ

(S )

ˆ ˆ ˆ 特殊的有 SHS −1 = H ˆˆˆ ˆ = SOS −1 ，

即可用泊松括号来表示，如果 f 不显含时 间，且 [ H , f ]PB = 0 ，则 f 守恒；而在量子 力学中力学量平均值随时间的演化可用量 子泊松括号来表示，即 ˆ dF ∂F i ˆ ˆ = + [H , F ] (3) dt ∂t h 这说明， 一个系统的对称变换应使系统的哈 密顿算符不变。 ˆ 可以证明，对称变换 S 必定满足： ˆ ˆ ˆ ˆ （1） S 与 H 对易： [ S , H ] = 0 ˆ ˆ ˆ （2） S 是幺正算符 ： S = S * † −1

ˆ 一个连续变化的幺正变换 S 总可以写成 ˆ ˆ S ( λ ) = e iλ F

dF 若 = 0 ，即力学量平均值不随时间变 dt 化，则称 F 为守恒量。由上式可以看出，对 ( 5)

ˆ ˆ 其中 λ 为实参数， F 为厄米算符（ S 的生

成元） ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ S , H ] = iλ[ H , F ]eiλ F = 0 ˆ ˆ ∴ [H , F ] = 0 即 F 是守恒量

ˆ 于不显含时间的算符 F （一般这一要求满 ˆ ˆ ˆ 足）如果 [ H , F ] = 0 ， F 与 H 对易得话， ， 即 ˆ

F 为守恒量。 值得注意的是， 量子力学中的 守恒量与经典力学不同，

它是指 F 的平均

值以及它在波函数中取不同值的概率分布 不随时间演化。 (6) (7)

ˆ 综上所述， 无论变换算符 S 是不是厄米 ˆ 算，它都对应于某个守恒量，即若 S 是厄米

算符， S 是守恒量； S 是不是厄米算符， 则 若ˆ 则其生成元是守恒量。

二，变换（或操作）

我们首先来讨论对称变换应该满足的

三，时空对称性及其相应的 规律 1 时间均匀性和能量守恒

和经典力学情况相似， 一个孤立的没有 任何外界参照物的量子体系的哈密顿量中 不能显含时间参量——否则就可观测到系 统的绝对时间坐标， 这违背时间轴的均匀性 质，因此，设想沿着时间轴平移这个系统， 将不会造成任何物理上可觉察的变化， 也就 是说，孤立的量子体系，时间原点的不同选 取在物理上是完全等价的。 时间平移算符是这样一种关于系统演 化的变换算符， 它是在设想中将系统的描述 沿时间轴推迟到 t = t0 + δ t 时刻发生，反映 在波函数上就是 此。需要注意的是，如前面所讲，能量守恒 只是说明系统的能量平均值不随时间变话， E 取各本征值的概率分布不随时间变化， 它 只决

定于初始时刻的分布， 如果初态就是系 统的某个能量本征态， 则以后将一直保持不 变。 2 空间均与性和动量守恒

用与上面类似的方法分析可以得到空

ˆr 间平移算符 Sδ r ，即空间坐标不动而把系统

ˆ ψ ( S ) (r ) = Sδ rr ψ (r ) = ψ (r − δ一小段距离 δ r ，对任意态矢均有 作三维泰勒展开 得空间平移算符 r r r r

r ∞ (−δ r ∇) r r r r ˆ Sδ rr ψ (r ) = ψψ (r ) n! n=0 = e −δ r r ∇ ψ (S )

ˆ (t ) = Sδ t ψ (t ) = ψ (t − δ t ) ψ (r ) = e i r ˆ − p h r − i r ˆ p h

平移− δ r ) = ∑ r ) (12) r (r ψ (r ) r (13) (8)

ˆ 为确定时间平移算符 Sδ t ，将 ψ (t − δ t ) 在 ˆ Sδ rr = e (14)

易见空间平移算符不是厄米算符， 如果系统 t 的邻域内展开成泰勒级数

ˆr 具有空间平移不变性，则 Sδ r 是对称变换， ψ (t − δ t ) = ∑ (−δ t =e

−δ t ∂ ∂t 1 k =0 k ∞

∂ k ) ψ (t ) ∂t (9)

r r ˆ ˆ 其生成元 p 与 H 对易，即动量 p 是守恒 量。 对于多粒子体系可得空间平移算符为 ψ (t )

将上式代入薛定谔方程

∂ ˆ ih ψ (t ) = H ψ (t ) ∂t 即有

δ tH ˆ Sδ t ψ (t ) = ψ (t − δ t ) = e h ψ (t ) ˆ i

i r ˆ Sδ rr = exp(− δ r h ∑p) i =1 i n r (15) (10)

比较上式两端，即得时间平移算符

显然，对于孤立体系，其动量是守恒量，若 体系处于外场中， 体系的哈密顿算符不具有 空间平移不变性，则动量不是守恒量。 ˆ Sδ t = e i ˆ δ tH h

3 空间各向同性和角动量守恒 (11)

ˆ ˆ 若体系具有时间平移不变性， Sδ t 与 H 对 ˆ 易，则时间平移算符的生成元 H 是守恒算

符，能量是守恒量。显然，对应孤立体系， 由于系统与外界没有能量交换， 情况本应如

由于空间是各向同性的， 并无特殊的方 向可言（若存在有向的外场，将破坏这种各 向同性） ，设想一个孤立系统绕任何轴转动 任

意角度， 这种操作应当不影响系统的任何 物理性质。 ˆr 设空间转动算符为 Sδϕ ，当系统整体绕

r r r n 轴旋转 δϕ （ δϕ = nδϕ ）时，矢径端点移 动

在经典力学里，空间反射的定义是 δ r = δϕ × r r r r

r r r → −r , r r p →−p ψ (S )

r r r r r ˆr (r ) = Sδϕ ψ (r ) = ψ (r − δˆ 它 类似的， 在量子力学中引入宇称算符 P ， 的定义是 =e =e

r r − (δ r × r ) ∇ ψ (r ) = e r

i r r r ˆ − (δϕ × r ) p h r

r ) r × ψ (r ) (16) r

r ˆ r P r = −r 它作用于任意波函数就是 i r r r ˆ − δϕ ( r × p ) h

i r ˆ − δϕ L r r ψ (r ) = e h ψ (r ) 得空间转动算符

r r ˆ P ψ (r ) = ψ (−r ) (18)

i r r ˆ ˆr Sδϕ = exp(− δϕ L ) h (17)

2 ˆ P 既是幺正算符， 又是厄米算符， P = 1 即 ˆ 可知宇宙算符有两个本征值： ±1 。宇称算

若体系具有空间旋转不变性， 则转动算符的 生成元 L 是守恒量， 虽然 L 的三个分量都是 守恒量，但由于 L 的三个分量彼此不对易， 不能同时有各自确定的值， L 的某一分量 当 取确定的值时，L 的另外两个分量取值概律 分布确定。 以上讨论的是关于时空连续对称变换， 由于时间和空间内禀地具有均匀性和各向 同性的性质，只要不遭到外来破坏，这些属 性就会自然地显现在系统的运动中， 成为系 统能量、动量、角动量三个普适守恒定律的 物理根源。因此，我们可以说，这是时空的 属性在系统运动上的体现， 这也是为什么从 经典力学过渡

到量子力学时， 虽然研究对象 ——微观客体的行为很反常，难以琢磨，概 念和结论也发生了极大变化， 但这三个守恒 定律却安然无恙的贯穿下来的缘故， 因为量 子客体存在于运动于和经典系统同一的时 空中。 r r

符这两个本征态矢构成完备集， 可用它们展 开任意态矢。如果系统具有空间反射对称

ˆ ˆ ˆ 性，那就意味着 [ H , P ] = 0 ，由于 P 是厄

米算符，所以它本身就是一个守恒算符，这 种由系统空间反射对称性决定的守恒量称 为宇称。宇称算符的本征值是相乘的，这是 因为同一粒子的几部分波函数 （或多粒子的 波函数）总是相乘的，于此同时，由前面的 分析知道， 连续变换所对应的力学量本征值 是相加的， 因为连续变换所对应的守恒量都 在指数上，指数算符相乘时，指数上的量就 相加。 体系宇称守恒的条件是系统的哈密顿 r ˆ r ˆ r

ˆ r r ˆ r r H (r , p) = H (−r , − p) 算符具有偶宇，即 (19)

ˆ 当 H 是偶宇称算符，且能量本征值无简并，

则相应的能量本征态有确定的宇称。 在中心 力场中，空间反射只与方位角有关，而与 r 无关，在球坐标系中，空间反射为 (r , θ , ϕ ) → (r , π − θ , π + ϕ ) 对于球谐函数，有

4 空间反射对称性和宇称守恒

在非相对论力学范围内，有关时空的变 换，除了上述三个连续变换，还有两个离散 变换，就是空间反射变换和时间反演变换。 由于后者不与任何物理守恒量联系， 本文不 予讨论，而只考虑空间反射变换。

ˆ PYlm (θ , ϕ ) = Ylm (π − θ , π + ϕ ) = N lm Pl ( − cos θ )eim (π +ϕ ) m

= N lm (−1) l+ m

Pl (cos θ )( −1) m eimϕ m

= ( −1)l Ylm (θ , ϕ ) (20)

可见 Ylm (θ , ϕ ) 的宇称为 (−1) 。 l

原理，它是全同性原理的一个推论。 四，全同粒子交换对称性与 全同性原理

如果微观粒子的全部内禀属性（质量、 电荷、自旋、内部结构等）都相同，就称它 们为全同粒子。在经典力学中，可以根据粒 子的轨道来

区分全同粒子，在量子力学中， 不确定关系使之成为不可能。 如果让两个全 同粒子处于相同的物理条件下， 它们将有完 全相同的实验表现，从原理上无法加以区 分， 如果设想交换系统中任意两个全同粒子 所处的状态和地位， 将不会表现出任何可以 观测的物理效应。 在量子力学中， 描述同一状态的波函数 可以相差一个相因子， 而且只能相差一个相 因子。因而对于全同粒子体系，交换两个全 同粒子的全部变量时，波函数或者是对称 的， 或者是反对称的。 前者对应的是玻色子， 后者对应的是费米子，它们分别服从玻色 ——爱因斯坦统计和费米——狄拉克统计。 实验表明， 自旋为半整数的粒子是费米 子，为整数的是玻色子；复合粒子（如原子 核） 是费米子还是玻色子取决于它所包含的 费米子的数目——数目为偶数的是玻色子， 为奇数的是费米子。 全同粒子体系波函数的对称与反对称化 全同费米子体系的波函数反对称化为 由上式可以看出， 如果有两个全同费米子处 = C ∑ pψ k 1 (q1 ) k 2 (q2 )Lψ kN (qN ) ψ p

N 个玻色子体系的对称化波函数为 ψ s (q1 , q2 ,K qN )

(21)

p 表示 N 个单粒子波函数的某种排列，∑ p

C 表示对所有可能的排列求和， 是归一化常 数。 全同粒子体系（粒子自旋——轨道耦合 可忽略） 的总波函数可以写出空间波函数和 自旋波函数的乘积，即

r r r Ψ (r1 , σ 1 ; r2 , σ 2; L ; rn , σ n ) r r r = Ψ (r1 , r2 ,K rn ) χ (σ 1 , σ 2 ,Lσ n ) (22)

例如：对于二电子体系的波函数（不考虑轨 道——角动量耦合） ，自旋基底波函数有四 个， 由它们可以得到三个对称的波函数和一 个反对称的波函数。 其中满足交换反对称的 ，对称的波函数 对应于自旋单态（ S = 0 ） 对应于自旋三重态（ S = 0, ±1 ） 。如果二电 子体系的总自旋 S=1，则轨道波函数对于坐 标交换反对称；如果总自旋 S=0，则轨道波 函数对于坐标交换对称。考虑 e-e 散射，由 散射理论知，在 r → ∞ 时，散射波

r →∞ ψ sc ⎯⎯⎯ Af (θ )eikr / r → (23)

其中 f (θ ) 为散射振幅，由上面的分析知， 质心系中，若两电子处于总自旋 S=0 态，空 间波函数应对称，散射振幅表为 反之，对于 S=1 态，散射振幅表为

f (θ ) − f (π − θ ) f (θ ) + f (π − θ )

所以，微分散射截面分别为 (25) (24) ψA =

ψ k1 (q1 ) ψ k1 (q2 ) L ψ k1 (qN ) 1 ψ k 2 (q1 ) ψ k 2 (q2 ) L ψ k 2 (qN )

N! M M O M ψ kN (q1 ) ψ kN (q2 ) L ψ kN (qN ) σ s (θ ) = f (θ ) + f (π − θ ) （ 对 于 S=0 2 态）

于相同的量子态： ki = k j ，则行列式第 i 和 第 j 行相同，使得行列式为零，因此，由费 米子组成的系统中， 不可能有两个或两个以 上的粒子处于同一状态， 这就是泡利不相容

σ a (θ ) = f (θ ) − f (π − θ ) (对于 S=1 态) 2

假设入射电子束及靶电子均为极化， 即自旋 取向是无规则分布的，统计来说，有 1/4 的

概律处于自旋单态，3/4 的概律处于自旋三 重态，因此，总的散射截面为：

N = nx + n y + nz , nx , n y , n y , N = 0,1, 2,L 给定 N 后，( nx , n y , n y ) 有 σ (θ ) = σ s (θ ) + σ a (θ )

= f (θ ) + f (π − θ ) 2 2 1 4 3 4

1 ( N + 1)( N + 2) 2 种组合，所以能级的简并度为

1 − [ f ∗ (θ ) f (π − θ ) + f (θ ) f ∗ (π − θ )] (26) 2 式中最后一项是干涉项， 我们知道对于不同 粒子的散射，质心系中总散射截面应该为

1 f N = ( N + 1)( N + 2) 2 （b）无限深球方势阱 (30)

σ (θ ) = f (θ ) + f (π − θ ) 2 2 (27)

可见， 全同粒子的散射与不同粒子间的散射 有很大的不同。 ⎧0, V (r ) = ⎨ ⎩∞, r和 Woods-Saxon 势场

五，对称性在分析和解决量 子力学问题的应用举例

对体系的对称性分析， 可以简化一些计 算， 不经过求解薛定谔方程而可以得到态及 本征值的某些知识，这包括分析能级特征、 简化矩阵元计算，给出禁戒规则等。下面我 们以对称性与能级简并为例。 能级简并与系 统的对称性有密切关系，一般而言，体系的 对称性越高，能级简并度越高。 例：试比较下列几种势场中粒子能级的 简并度。 三维各向同性谐振子势场； （a） （b） 无限深球方势阱或 Woods-Saxon 势场； （c） 进一步假设粒子有自旋 1/2，考虑自旋—— 轨道耦合作用对能级的影响； （d）设势场发 生变形，但保持轴对称，对称轴取为 Z 轴； （e）设此轴对称势场以匀角速度 Ω 绕 X 轴 旋转。 解： （a）三维各向同性谐振子势 V ( r ) = −V0 / [1 + e( r − R )/ a ] (32)

（ V0 刻画势阱深度，R 代表势阱“半 径” a 代表势阱延伸的有效距离） ， 这些势都 属于一般的中心势场， 粒子的轨道角动量是 守恒量。在球坐标中求解薛定谔方程，并取 能量本征函数为 ( H , l 2 , lz ) 的共同本征函 数，所得径向方程中只出现角量子数 l,而与 磁量子数 m 无关。能级简并度 Enr 为 f nr = 2l + 1 (33)

这是中心力场问题中的最小能级简并度， 在 三维各向同性谐振子势场中， 能级只依赖于

nr 与 l 的一种特殊组合，即依赖于 N = 2nr + l

给定 N 后， l 尚有多种取值（ l =N,N-2, L ） j 均给出相同的能量，所以能级简并度增 大，这是由于 V (r ) 正比于 r 这种特殊对 称性造成的， 即三维各向同性谐振子势场的 对称性比一般中心力场对称性高。 （c）在一般中心力场中，如粒子具有 自旋 s=1/2,而势场与自旋无关，则能级对于 自旋的不同指向是简并的，即对 ms = ± 2 V (r ) = 1 M ω 2r 2 2 (28)

中粒子的能级为 3 EN = ( N + )hω 2 其中 (29) 1 2

简并，因此各能级的简并度都增加一倍， 再受到均匀外电场（沿 Z 轴方向）的作用， 也属于这种情况。例如碱金属原子光谱的 。 f nr = 2(2l + 1） Stark 效应。 如果再受到外来均匀磁场 （沿 Z 若存在自旋轨道耦合作用，作用势正比于 轴方向）的作用，能级将与 lz 的本征值 m 直 s l ，则 l 与 s 不再是守恒量，但可以证明粒 子的总角动量 J = l + s 仍为守恒量， 2

也是 l 守恒量。这时可选 ( H , l 2 , J 2 , J z ) 作为守恒 量完全集，相应的能级记为 Enr ,lj ，它不依 赖于 m j ，因此，能级简并度为 接相关，ψ m 与ψ − m 将对应于不同的能级， 这时能级简并将全部解除。 例如碱金属原子 光谱的塞曼效应。 简并消除是由于外磁场的 作用破坏了时间反演不变性。 （e）设轴对称变形势场被推动，以匀 角速度 Ω 绕 x 轴旋转， 在这转动参照系中看 来，粒子将受到一项科里奥利力的作用 f nr lj = 2 j + 1 量子数 j 和 l 的关系为 (34) H C = −Ωlx (36)

它反映粒子所受的科里奥利力和离心力。 在 ⎧l ± 1/ 2, j=⎨ ⎩1/ 2, l≠0 l =0 (35)

此情况下， lz 不再是守恒量， [l z , H C ] ≠ 0 ， 或者说时间反演不变性遭到破换， 能级简并 将全部解除。 通过这个例子，我们可以看出，体系的 能级简并度与对称性的密切联系。 不同的势 场，其对称的程度不同，能级的简并度就不 同，当外加势场不断破坏这种对称性时，体 系的能级简并度就会一步步将低， 最终能级 简并将完全消除。

给定 nr l 后，如 l=0，则 j=1/2，只形成一个 能级，能值不变，简并度为 2；如 l ≠ 0 ，则

j = l ± 1 / 2 ,原来的能级 Enr l 在自旋轨道的 耦合作用下为两条能级，其中

j = l + 1 / 2 者简并度为 2l + 2 ，j = l − 1 / 2

者简并度为 2l ，这两条能级相应的状态总 数位 4l + 2 ， 和能级前的状态数 2 f nr l 相 同。 （d）如势场发生轴对称形变（取对称轴 为 Z 轴） 则 l 2 和 J 2 不再是守恒量， J z 仍 ， 但 守恒， 但是通常所指轴对称变形势场还具有 镜像反射对称性。在这种情况下，能级与轨 道角动量沿对称轴的投影 lz 的绝对值 m 有 关，即能级对于 lz = ± m 是简并的，所以通 常能级为二重简并， 对于轴对称变形谐振子 势场，由于其具有更高的对称性，能级具有 更高的简并度。 在一般中心力场中运动的带电粒子， 如 结论

量子力学中的对称性高于经典力学中 的，对称性和是系统的时空内禀属性的体 现。 对称性变换就是使体系的哈密顿量保持 不变的变换， 而对称性就是通过对称变换与 守恒量联系起来的。对系统对称性的分析， 在不求解薛定谔方程的情况下， 就能得到关 于系统的一些重要信息，比如能级简并度， 跃迁选择定则，好量子数的选取等，这对分 析和解决问题具有重要意义。 参考文献

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