维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第５期 ２００７年０９月 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） 、 ．２５ Ｎｏ．５ Ｓｅｐ． ２００７ 文章编号：１００８—１４ｏ２（２ｏｏ７）ｏ５—０６７９—０２ 求解变分不等式问题的一种新投影方法 岳丽，邵珠艳，古鲁峰 （济宁医学院信息科学技术系。山东日照２７６８２６） 摘要：提出了一种求解变分不等式问题的新投影方法，该方法主要采用了一种新的投影方 向．并证明了新算法在较弱条件下具有全局收敛性． 关键词： 变分不等式；伪单调算子；全局收敛；投影法 中图分类号：０２２１．２ 文献标示码：Ａ ０引 言 设Ｈ是一Ｈｉｌ￣ｒｔ空间，其内积和范数分别记 为（・）及ｌｌ・ｌｌ，Ｋ为Ｈｉｌｂｅｒｔ空间的非空闭凸子集． ｄｋ＝一｛Ｔ（ｕ ）＋ｐＴ（ｏ￣ ）｝， —（１一 ）ｌ ｌＲ（ ）ＩＩ。、 — 一 步２．取ｋ：＝ｋ＋１，转步１． 变分不等式问题（ＶＩＰ），即，求ｕ∈Ｋ满足 （ （ｕ），口一ｕ）≥０，Ｖ口∈Ｋ （１） ２算法收敛性 引理１ 设瓦是变分不等式（１）的解，若 ：日 其中 ：日一日为连续非线性算子． 纵观求（ＶＩＰ）的投影类算法迭代公式（见文献 一日是伪单调算子，则有 （ｕ一面，ｄ）≥（１一 ） Ｒ（ｕ）ｌｌ。，ｖ ｕ∈Ｈ（４） 证明： 由于瓦是变分不等式（１）的解，则有 （口一瓦， （瓦））≥Ｏ，Ｖ ∈Ｋ ［１，２］），我们可以看出其关键是寻求函数，（ｕ）＝ 去ＩＩ ｕ—ｕ ＩＩ。的下降方向ｄｋ，本文通过对前文所 提方向分析与计算，提出了新的搜索方向ｄｋ＝一 ｛ｙ（ ）＋ｐＴ（ｏ￣ ）｝，并将此方向应用于求解 （ＶＩＰ），当函数 （・）为伪单调算子时，可证明算法 沿此方向具有全局收敛性． 又因为 ：日一日是伪单调算子，所以由上式知 （口一面， （口））≥０ 所以 （５） （ｕ一面，ｐＴ［ｕ一，１Ｒ（ｕ）］） １ 算 法 步Ｏ．任给ｕ。∈Ｋ， ， ∈（Ｏ，１），ｋ：＝Ｏ； 步１． ≥ （Ｒ（ｕ），Ｔ［ｕ一 （ｕ）］） ＝一 （Ｒ（ｕ），Ｔ（ｕ）一Ｔ［ｕ一 （ｕ）］） ＋ （Ｒ（ｕ），Ｔ（ｕ）） 对 ∈日计算 ＝＝ＰＫ［ 一ｐＴ（ ）］若 又 ≥一 Ｉｌ Ｒ（ｕ）ｌｌ。＋ （Ｒ（１１，）， （ｕ）） （６） ｌ ｌＲ（ ）ｌｌ＝０停止，否则计算 （１一 Ｉ） ＋仉 ｌＤ （Ｒ（ｕ）， （ｕ））≥叩ｌｌ Ｒ（ｕ）ｌ ｌ２ 由（６）及（７）得 （７） 其中仉＝ ， 是满足下式的最小非负整数ｍ （２） （３） Ｐ＜Ｔ（ ）一 （ 一 Ｒ（ｕ ））．Ｒ（ｕ ） （ｕ一面，一ｄ）＝（ｕ一瓦，Ｔ（ｕ）＋ｐＴ［ｕ一 （ｕ）］） ＞≤ ｌ｛Ｒ（ ）ｌｌ。 那么通过 “≥（１一 ） Ｒ（ｕ）ＩＩ。 证毕 定理１ 设瓦是变分不等式（１）的解， “是有 ＝ＰＫ［ ＋ａｋｄｋ］ 求解 “； （其中 算法得到的近似解，那么有 ｌ ｌ一瓦ｌ ≤ｌｌ 一瓦ｌｌｌ。 ①收稿日期：￣００７—０６一ｌ８ 作者简介：岳丽（１９７９一），女，山东日照人，济宁医学院信息科学技术系助教，硕士． 维普资讯 http://www.cqvip.com ６８０ 一 一 佳木斯大学学报（自然科学版） ｌ ｌｄ（８） ＩＩ尺（ ）ＩＩ ２００７年 ｋ ＩＩ 证明： 由定理的条件及引理１得 ＜ＩＤ（Ｔ（ ）一 ［ 一 尺（ ）］，尺（ ）） （１１） 设瓦∈日是序列｛ ：后∈Ⅳ２｝的聚点，且序列｛ ‘： ∈Ｎ２｝的子序列｛ ｝收敛到瓦，在ａ】）式两边取 极限，得到 ＩＩ尺（瓦）ＩＩ ≤０，从而有尺（瓦）＝０，即 瓦∈日是变分不等式（１）的解，与上面证明类似，可 得ｌｉａｒ ＝瓦，综上所述，本文提出的算法在较弱的 条件下全局收敛． ｌ ｌ＝ 一瓦Ｉ ≤ｌＩ ｌｌ／，ｋ一瓦＋口Ｉ ｌｌ ｌ ｌｌ／，ｋ一瓦ｌ ｌ２＋２口Ｉ（ Ｉ一瓦，ｄｋ）＋口：ｌ ｌｌｌ ２ ≤ｌｌ 一 ＩＩ ＋ （ｃｒ一１） ｌｌ尺（ ）ＩＩ ＋口：ｌ ＩｌＩ ≤ 定理２ 当日有限维时，算法产生的序列全 局收敛到变分不等式（１）的解． 证明： 设ｌ／，。是变分不等式（１）的解，从式（７） 可知序列｛ ｝是有界的，从而知 ３结论 本文提出了一种求解变分不等式问题的新方 法，该方法利用了一种不同于现存投影类方法中的 台 Ⅳ。，有 ｌｌ ＩＩ ” 一 －Ｉ”Ｉ ： 一 任何方向．并证明了新算法对伪单调算子的变分不 等式具有全局收敛性．对于该算法在数值实验中的 还有待于继续研究． 由上式及Ｉ ＩＩ的有界性知，存在无限指标集 实施效果如何及能否适用于求解广义变分不等式， ｌｉｒａ∑ＩＩ尺（ ）ｌｌ＝０ ｋ－￣／一Ｖ１ （９） 参考文献： Ｌ１］ ．Ｂ．Ｓ，ＡＣｌ嘲０ｆ ＰＩ咏 ｌ加ａｎｄ ｃ０曲 ｂｌｏ，Ｎ￣ｆｏｒ Ｉｎ０ｔ０ｎｅ 或存在无限指标集Ⅳ２，使得 Ｊｉｍ ＝０ （１０） Ｖ ∞日ｌ ｂ呷ｌｄｌｉｄ舶［Ｊ］．ＡｐＰ１．Ｍ日ｔｈ．０ ｍ，，１９９７，３５，６９—７６． ［２］№．Ｍ．Ａ，Ｗ Ｙ．Ｊ． Ｘｉｕ Ｎ．ｔｔ．Ｓ０皿ｅ Ｎｅｗ Ｎｅｔｈ￣ 迁 假设（９）成立，设瓦∈日是序列｛ ： ∈Ｎ。｝的 聚点，且序列｛ ： ∈Ｎ。｝的子序列｛ ｝收敛到 ｆｏｒ ｖＩ ｍｉ∞ｄ ｂｅｑｌｌｌ曲ｉ圈［Ｊ］．Ａｌ’ｐｌｉ。ｄ Ｍ日ｔｌ搬ｍ 馐衄ｄ ｃ０ｎ Ｉｔａ－ ，２００３，１３７，４２３—４３５． ［３］ＸｉｕＮ．ｔｔ． Ｊ．Ｚ，ｓ０ｍｅＲｅ刚Ａｄ哪∞，ｉｎＩＭ￣ｏｎ— 瓦，由尺（・）的连续性可知尺（瓦）＝ｌｉｍＲ（ ）＝０， 从而知 ∈日是变分不等式（１）的解，由ｌ “一 ｌｔｙｐｅ Ｍｌ ｍ０ｄＢ ｆｏｒ ｖ日ｒｉａ ｎ日ｌ ｂ呷ｌａｌｉ吐∞［Ｊ］．ｃ０唧Ｉｌｔ．ＡＰｐ１．Ｍ日ｔｈ， ２００３，１５２，５５９—５８５． 瓦ＩＩ ≤ＩＩ 一瓦ＩＩ 知序列｛ ｝有且仅有一个聚 点，从而ｌｌｍ ＝瓦． Ｌ４］Ｓ０ＩｏｄＤＹＭＶ∞ｄＳｖａｉｔｅｒＢ．Ｆ．ＡＮｅｗ ｅ出∞Ｍｅｌｈ０ｄｆｏｒＶ日ｃ １日ｌ ｂ唧】ａｌｉ ＬＪＪ．ＳＩＡＭ Ｊ．ｃ０ｎ ．０曲ｍ，１９９６，３４，１８１４—１８３０． ［５］岳丽，邵珠艳，时贞军．广义变分不等式问题的自适应算子分 裂算法［Ｊ］．曲阜师范大学学报．２ＯＯ６，２２（４）：４１４—４２１． ∞ 假设Ｑ０）成立，即ＪｉＩｎ ＝０，由 的选择知 ＦＡ Ｎｅｗ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｙａｒｍｆｉｏｎ ｑ伽ｔ ＹＵＥ／ｉ，ＳＩＩ－ＡＯ （ＤＥ ｒ劬ｍｔ ｏｆ№ｍ ⅡＳｄｍｅｅ Ｔ —ｙｏｎ， Ｃ，Ｕ 一厂ｅ，ｌｇ －ｏ ，抽ｈ唔Ｍｅｄ‘ｃａＩＱＩＩｅ伊，尉ｚ ２７６ｆｆ２６，Ｃｈｈ曩） Ａｂｓ ｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｎｅｗ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ—ｔｙｐｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐＩｏｐ０ｓｅｄ．＂ＩＩ￣ｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｅｓ ａ ｎｅｗ￣．ａｒｃｈ ｄｉｒｅｃ— ｔｉｏｎ．Ａ ｇｌｏｂａｌ ｃｏｎｖｅｒ￣ｎｅｅ ｏｆ ｎｅｗ ｍｅｔｈｙｌ ｉｎ ａ ｗｅａｋ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｏ￣ｉａｔｉｏｍｌ ｉｎ 哆；ｐｓｅｕｄｏ—ｍｏｎｏｔｏｎｅ￣ ０ｂａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ
