第一章
一、选择题
1．(2010·北京理，6)a、b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的( )
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 [答案] B
[解析] f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x＋(|b|－|a|)x－a·b，如a⊥b，则有a·b＝0，如果同时有|b|＝|a|，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，则a·b＝0，因此可得a⊥b，故该条件必要．
2．(2008·安徽，7)a<0是方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负数根的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件 [答案] B
1[解析] 当a<0时，x1·x2＝<0，
a∴方程ax2＋2x＋1＝0有一个负根；
1
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0的根为x＝－. 2
∴a<0是方程ax2＋2x＋1＝0有一个负数根的充分不必要条件，故选B. 3．对下列命题的否定说法错误的是( ) A．p：∀x∈R，x>0；¬p：∃x∈R，x≤0 B．p：∃x∈R，x2≤－1；¬p：∀x∈R，x2>－1
C．p：如果x<2，那么x<1；¬p：如果x<2，那么x≥1D.p：∀x∈R，使x2＋1≠0；¬p：∃x∈R，x2＋1＝0
[答案] C
[解析] 利用全称命题和存在性命题的否定形式进行判断，C中实际上是一个“对全称命题”的否定，应为“∃x∈R，当x<2时，使x≥1”．
二、填空题
4．如果命题“p且q”与“¬p”都是假命题，则命题q是________(真、假)命题． [答案] 假
2
2
2
2
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] “p且q”假，说明p、q至少有一为假；“¬p”假，说明p真，故知q为假． 5．(2009·山东日照3月考)设p： 4x＋3y－12>0，
3－x≥0，x＋3y≤12，
(x、y∈R)，q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若綈q是綈p的充分不必
要条件，则r的取值范围是________________．
12[答案] 0，
5
[解析] 由已知綈q⇒綈p，∴p⇒q， 由线性规划知，p表示如下阴影部分：
由p⇒q的几何意义，阴影在以原点为圆心，半径为r的圆外．∴r∈0，三、解答题
→→→
6．若M、A、B三点不共线，且存在实数λ1，λ2，使MC＝λ1MA＋λ2MB，求证：A、B、C三点共线的充要条件是λ1＋λ2＝1.
[解析] 必要性：
→→
若A、B、C三点共线，则存在实数λ，使得AC＝λAB. →→→→→→→→AC＝MC－MA＝λ1MA＋λ2MB－MA＝(λ1－1)MA＋λ2MB， →→→而AB＝MB－MA，
→→→→
∴(λ1－1)MA＋λ2MB＝λMB－λMA， 即
λ1－1＝λλ2＝－λ
12. 5
所以λ1＋λ2＝1.
充分性：
→→→→→→→→→
若λ1＋λ2＝1，则AC＝MC－MA＝λ1MA＋λ2MB－MA＝(λ1－1)MA＋λ2MB＝－λ2MA＋→→λ2MB＝λ2AB，
→→
∵AC与AB共线，即A、B、C三点共线，综上所述，结论成立．
