教学・信息 课程教育研究 ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉ０ｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１５年７月 上旬刊 转动惯量的计算方法研究 姜丽颖 张国林 （沈阳城市建设学院基础部辽宁沈阳１１０１６７） 【摘要】刚体绕定轴转动的转动惯量相关结论已经很明确，但各类型转动一瞬量的具体计算方法在各类文献中很少提及 本文通过 对均质细棒、平面薄片、柱体、圆环、球壳等物体做定轴转动的转动惯量进行分析，利用微元法．得出各类转动惯量的计算表达式分别 为定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。由转动惯量这一物理意义，积分中的轮换对称性也成了显而易见的结果 【关键词】积分转动惯量微元法对称性 【课题项目］２０１４年度辽宁省普通高等教育本科教学改革研究项目，项目编号：ＵＰＲＰ２０１４０５８１。 【中图分类号】Ｇ６４ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５—３０８９（２０１５）０７—０１２４—０２ 解：质量元：ｄＩ１１＝ ｄｓ 积分是高等数学中的重要内容，它包括：定积分、二重积分、 三重积分、曲线积分、曲面积分等不同类型。虽然各类积分形式不 尽相同，但其定义均可概括为：分割、近似求和、取极限。在各类转 动惯量的计算中．其结果对应为各类积分。 一４叮ｒ Ｊ 』（ｘ２＋ｙ２）ｄｍ。“ （ｘ。＋ｙ ） ｍ ２。 （ｘ 十ｙ ） 、各类型转动惯量的计算 １ ｑ用定积分求转动惯量 ＾Ｚ一３ 求长度为１．质量为ｍ的均质细棒，绕过其中心且与其垂直 —一＝＝ ＝＝＝＝ ｄ盯 ⅢⅢ 的轴的转动惯量 主一 分析：由于细棒上，不同点到转动轴距离不等，即不均匀量 求和问题，考虑采用积分的方法．而变化的量为细棒上质量元到 转轴距离，是一元函数，所以采用定积分方法求解。 ＿４『０２ ｄ。 击妒 ‘手．Ｉ４＝』０２ ｓｉ 。 ＋ ： ｔ＝ ｒ ｒ质量元：ｄｍ＝｝ｄ墨Ｊ Ｊ ｄａｍ＝Ｊ｝ ｝ｄｘ＝ ‘ １‘ｘ３ｌ一３１ －，２ 三、积分轮换对称性的物理应用 一上 詈 １．二重积分的轮换对称性 ２．利用二重积分求转动惯量 Ｔｈ１．设函数ｆ（ｘ，ｙ）在区域Ｄ上连续，Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对 求半径为ｒ．质量为ｎｌ的薄圆盘绕直径的转动惯量 称性．则 分析：圆盘上质量元到转轴距离随质量元在圆盘上位置不同 而变化，是二元函数。利用微元法求转动惯量时利用二重积分。 Ｉ取，ｙ）ｄ叮＝』ｆ（ｙ，ｘ）ｄ盯＝｝』［ ，ｙ）＋ｆ（ｙ，Ｘ）］ｄ叮 解：质量元ｄｍ＝ ｄ仃，Ｊ：』ｄａｍ＝』 ・ ｌ＿ｄ仃＝ １＿ｆ Ｘ２ 物理意义：平面圆盘绕Ｘ轴的转动惯量与绕Ｙ轴的转动惯量 相等。即 ｄ盯＝ ・面ｒ ４』。 ｄ０』 ｃ。ｓ２Ｏｐｄｐ一４＂ＩＴｒ ｍ・ｆ ｏ ｃ０ｓ２０ｄ０ ３ｄｐ－孚 Ｊ＝ ｘＺ＆ｒ＝ 如 。 ２．三重积分的轮换对称性 ３－并０用三重积分求转动惯量 Ｔｈ２．设函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）在区域ｎ上连续，Ｑ关于ｘ，ｙ，ｚ具有轮换 求半径为ｒ，质量为ｍ的球体绕直径的转动惯量。 对称性．则 分析：球体上质量元到转轴距离随质量元在球体内位置不 同而变化，是三元函数，利用微元法求转动惯量时利用三重积分。 ４ ｆ（ｘ１ｙ＇ｚ）ｄＶ＝Ｊ ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝Ｊ ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝ １ ｊ 雅 砉 ［ｆ【Ｘ’ｙ，ｚ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）＋ｆ（ｚ，Ｘ，ｙ）］ｄＶ 物理意义：球心在坐标原点的球体绕ｘ轴，ｖ轴，Ｚ轴旋转的 转动惯量相等．即 Ｊ＝ …２ ２ Ｉｎ ｍ ｎ—＝一ＩＩＩ—＝一Ｉｌ■ Ｊ＝ｊ（ｙ％ｚ２）ｄＶ＝ｊ（ｚ２＋ ｄｖ＝ｊ（Ｘ２＋ｙ２）ｄＶ 案 ｓｉｎ￣ｄｐ＝ ｍ ３．ｓ． ｝ｒ５粤 ３．曲线积分的轮换对称性 Ｔｈ３．设函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面曲线Ｌ上连续，Ｌ关于ｘ，ｙ轮换对 ４ 用对弧长的曲线积分求转动惯量 称．则 求半径为ｒ，质量为ｎｌ的圆环绕直径的转动惯量。 分析：质量元均匀分布在曲线上．其到转轴的距离随位置不 （１）Ｊ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ Ｊ ｆ（ｙ，ｘ）ｄｓ＝ １ Ｊ Ｉｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｌｙ，Ｘ）］ｄｓ 同而变化，即曲线上连续变化量求和问题，应用对弧长的曲线积 物理意义：圆心在原点的圆环，绕ｘ轴，ｖ轴旋转的转动惯量 分。 相等．则 解：质量元：ｄｍ： ｄｓ Ｊｙ２ｄｓ＝Ｊ ｘ２ｄＳ Ｚ１Ｔｒ ４．曲面积分的轮换对称性 Ｊ ｌ ｘ￣ｆ． ． 。 。 嘉 孚 Ｔｈ４．设函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）在曲面∑上连续， 关于ｘ，ｙ，ｚ具有轮换 对称性．则 ５ 日用对面积的曲面积分求转动惯量 求半径为ｒ，质量为ｍ的薄球壳绕直径的转动惯量。 Ｉ∑ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝』∑ ｄＳ＝』∑ ａｓ＝｝』∑ ＋ 分析：质量元均匀分布在曲面上．其到转轴的距离随位置不同 ，ｚ，ｘ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｌｄＳ 而变化，即曲面上连续变化量求和问题，应用对面积的曲面积分。 物理意义：球心在原点的球壳绕ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴旋转的转动 惯量相等 即 ・１２ 课程教育研究 Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１５年７月 上旬刊 教学．信息 探讨“三本”《高等数学》课堂教学的有效性 孙铭娟邢巧芳张冬燕 （信息工程大学理学院河南郑州４５００００） 【摘要】２Ｏ世纪９Ｏ年代以来，随着高校的不断扩招，高职高专，以及学院的出现，使得越来越多的人们可以步入大学校门，接 受高等教育。因此．高等教育也就从之前的“精英化”逐步走向“大众化” 我国的本科教育也就出现了三个不同层次．那么如何让大学 基础学科的教育更接近“三本”学生的需求，不至于出现教学实施过程与学生的接受能力脱节．需要教师充分站到学生的角度重新组 织课堂教学。 【关键词】高等数学数学思想数学文化 【中图分类号】Ｇ６４ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２Ｏ９５—３０８９（２０１５）０７一Ｏ１２５一叭 识、心理数学文化。数学文化离不开数学史．但是不能仅限于数 学史 “三本”学生在高中阶段其实已经花费大量时间在数学 上，但是他们的数学成绩还是不理想。在他们的心日中，“数学 就像是一个跨不过去的坎”一样艰难．强烈的畏惧感可见一斑！ 《高等数学》是理、工科院校的一门重要基础课．课堂教学效 果的好坏直接影响了学生后继课程的学习以及学生分析问题、解 决问题能力的培养 对于目前“三本”９Ｏ后的大学生来说．如何让 他们更快更好的适应高等数学的课堂教学显得尤为重要．有关 《高等数学》课堂教学有效性所涉及的因素有很多，我仅就个人的 教学实践从以下几个方面做一个抛砖引玉的探析 优化教学内容。降低教学难度 一《高等数学》难学，学过的人都知道，但是不能说难学就不学了， 为了消除学生的这种心理．教师可以在开学第一节课上．不必 急于讲新课。也不必过分强调该课程的难度．可以先给学生讲 、众所周知．我国的高考制度将本科院校按照成绩高低分成 了三个批次录取．第三批录取的称为“三本”．但是本科生上课用 的教材并没有划分．“三本”学生上课用的教材和“一本”、“二本” 并没有实质的区别。《高等数学》的教学内容十分丰富。包含了一 元、多元函数的微积分学．向量代数与空间解析几何．无穷级数以 及微分方程。对于数学专业的学生来说，需要上两年四个学期 （３５０学时左右），而对于理、工科专业的学生来说已经从最初的 年半三个学期（２４０学时左右）减到现在一年两个学期（１６０学 时左右）．在如此短的时间内要学习这么多的内容。面面俱到肯定 不行的。如果按照“一、二本”的教学来对待“三本”学生．时间一 久，学生便会在课堂上形成“趴倒一片”的景象。这样以来．学生便 会对高数课堂失去兴趣、翘课便成为家常便饭 因此．教师可以对 教学内容进行适当的优化．让学生需要掌握的内容．需要理解的 内容重新整理．同时在课堂教学中应该将整体教学难度下降．让 更多的学生能够听懂高等数学课．而不是一味的显示该课程有多 么的高深莫测．让学生望而生畏！ 二、强调数学思想。弱化理论证明 数学思想是在数学活动中解决问题的基本观点和根本想 法。是对数学概念、命题、规律、方法和技巧的本质认识，是数学中 的智慧和灵魂。《高等数学》的主要内容是微积分．微积分中蕴涵 着许多重要的数学思想．比如极限思想就贯穿了微积分的始终． 连续、导数、定积分等概念都是在极限思想的基础上而形成的 数 学思想将前人在探索真理过程中所形成的精髓部分．而某些理论 证明过程对“三本”的学生讲来说就有点多余，比如《高等数学》中 的泰勒公式．泰勒公式的证明很烦琐．但其中蕴涵的局部逼近思 想对于解决近似计算问题起到了至关重要的作用 因此．教师需 要对教材应该做到深入分析．挖掘和提炼出其中蕴涵的在课堂教 学中完美的展现给学生．要让学生熟悉数学思想．将这些思想灵 活的运用到工作学习中．实现知识的迁移．从而提高学生的分析 一讲数学的发展史。微积分是如何创立的．历史上的“三次数学危 机”等等，让学生在一个轻松的氛围中认识数学，了解数学，进 而对数学产生想学的“欲望”。比如在介绍极限概念前．教师可 以给学生讲讲“芝诺悖论”和庄子的“一尺之棰．日取其半．万事 不竭”中所蕴涵的极限思想，再比如说在讲导数的概念时，教师 可以通过介绍导数是为了解决“切线”、“瞬时速度”以及“最大 最小值”等问题才产生的。因此，在课堂教学中，如果教师能够 尽可能多的将数学文化渗入教材、带到课堂、融入教学时，数学 就会显得更加平易近人．数学教学就会通过文化层面让学生进 步理解数学、喜欢数学、热爱数学。 四、精心设计问题。培养创新意识 一社会生产实践中．人们会不断的遇到问题，然后把问题归纳 总结用数学语言提出来．最后想办法把这些数学问题解决。最后 再用于指导社会实践。在解决某些实际问题的过程中．微积分也 就应孕而生．相应的．高数教学的最终目标实际上也就是要培养 学生能够主动发现问题。进而提出问题，最后解决问题的能力 这 种能力的培养实质上就是创新意识的培养。因此．课堂教学应从 问题开始。精心设计问题情境．让学生能够跟着问题加入课堂活 动。教学过程中。老师可以和学生一起去追寻数学家的脚步．还原 知识的来龙去脉．增强学生对知识形成过程的理解．通过对典型 问题的剖析讨论．激发学生的创新意识！ 五、结束语 总之，教师要深刻钻研高数教材．将适合于“三本”学生的教 学内容挖掘出来，将这些内容中的数学思想提炼出来．相关的数 学文化融入到课堂教学中．精心设计教案。在课堂教学中．老师要 多启发、多诱导，充分发挥学生的主体地位．注意激发学生的学习 兴趣，开拓学生的视野．锻炼学生的数学思维．只有这样．才能让 “三本”的高数课堂教学星光熠熠．达到预期的教学效果！ 参考文献： 『１１宋春合．三本高等数学教学内容和教学要求的探讨ｍ．考试 问题解决问题的能力！ 三、融入数学文化。激发学习兴趣 周刊，２０１０，４８． “数学是一种文化”的观点起于２Ｏ世纪６０年代．而这个观 『２］肖柏荣，潘娉姣．数学思想方法及其教学示例『Ｍ］．南京：江 点最早是美国学者怀尔德（Ｒ．Ｗｉｌｄｅｒ１８９６—１９８２）在他的数学著 苏教育出版社．２０００． 作《作为文化系统的数学》中提出来的 陕师大的黄秦安教授认 『３］孙方裕，谢兰平．关于数学文化融入文科高等数学教学的 为，数学文化是超越（扩大并包含）数学科学范围的数学观念、意 思考ｍ．大学数学，２０１３。２９． Ｊ Ｉ∑ ｄｓ＝』∑ ｚ （ｚ２＋ ｄｓ ∑『２１刘永莉，宋雪梅，张艳红．浅谈对称性在曲线积分计算中的 作用Ⅱ］．数学教学研究，２０１４，（１１）：１５—１６． 『３１李军英．第二类曲线曲面积分的对称性讨论用．数学理论与 应用，２００１，２１（４）：１７－１９． 四、结束语 『４］张翠华．对称性在曲线积分和曲面积分中的应用ｍ．高教研 各类积分的定义表达式形式不尽相同．通过以上内容得出结 究，２００４，（１）：２１－２２． 论，各类积分都是ｎ项和的极限。根据函数及积分区域的不同得 【５］李曼生，霍锦霞．利用变量轮换对称性计算积分ｍ．甘肃科 出各类积分的表达式。且通过转动惯量这一物理背景．各类积分 技，２００７，２３（１２）：１２７－１２８． 的轮换对称性也变得显而易见 作者简介： 参考文献： 姜丽颖（１９８２一），女，辽宁朝阳人，硕士。讲师，从事大学数学 …１赵强，韩春杰．刚体转动惯量的求解讨论盯１．物理通报， 的教学与研究工作。 ２０１４，（５）：３８－３９． ・１２５．
