复变函数论作业及答案

第一章 复数及复变函数

1.z1313i求|z|，Argz 22222311 解：z223Argz=arctan2+2k=2k, k0,1,2,

1322．z11i21i2,z23i,试用指数形式表示z1z2及i4z1 z2解：z1z2e i63i2e

4i所以z1z22e4i6e2e12i

5z1e1(46)i112iee iz2222e6i3． 解二项方程z4a40 (a0) 解 由z4a40得z4a4 那么二次方程的根为

wk41a 〔k=0,1,2,3〕 =ei2k4a 〔k=0,1,2,3〕

w0ei4aa(1+i)

2ae3i4w1ei24aa(1i)

2w2e5i4aa(1i)

2aa(1i)

2w3e7i44 .设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2),

证明：z1z2z1z2z1z2

2z1z2z1z2z2z1 z1z2z1z2z1z2

222222z1z22Rez1z25． 设z1,z2,z3三点适合条件：

z1z2z30及z1z2z31

试证明z1,z2,z3是一个内接于单位圆周z1的正三角形的顶点。 证明：设z1x1iy1，z2x2iy2，z3x3iy3

因为z1z2z30

x1x2x30，y1y2y30 x1x2x3，y1y2y3

又因为z1z2z31

三点z1,z2,z3在单位圆周上，且有x12y12x22y22x32y32

而x12y12x2x3y2y3

22x2x3y2y31

222x2x3y2y31

同理2(x1x2y1y2)2x1x3y1y32x2x3y2y31

可知x1x2y1y2x2x3y2y3x1x3y1y3

222222即z1z2z2z3z1z3

z1,z2,z3是一个内接于单位圆周z1的正三角形的顶点得证。

6．以下关系表示的点z的轨迹是什么图形？他是不是区域？ 〔1〕

z11 z12令zxiy,由z1z1得z12z12即x1虚轴为左界的右半平面;是区域 〔2〕0arg(z1)解:由0arg(z1)得:0arctanx1,所以x0,故以

24且2Rez3 且2Rez3

y 4y且2x3 x14 即为如图阴影所示〔不包括上下边界〕;不是区域。

0 1 2 3 X 7.证明：z平面上的直线方程可以写成azazc(a是非零复常数，c是实常数)

证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 (a,b,c均是实常数，a,b不全为零)

因为：x =

zzzz, y = 代入简化得： 22 令

11abizabizc0 221abi0得zzc 2反之〔逆推可得〕设有方程zzc〔复数0，c是常数〕 用zxiy代入上式，且令8.试证：复平面上三点a+bi,0,

1abi化简即得。 21共直线。

abi1(abi)1abi证明： 因为=2〔实数〕 20(abi)ab所以三点共直线。

9．求下面方程给出的曲线

z=acostisint

解:令z= xiy=acostisint得 x=acost,y=bsint

x2y2 那么有221,故曲线为一椭圆.

ab10．函数w=

1将z平面上曲线变成w平面上的什么曲线zxiy,wuiv z〔1〕x2+y2 =4

解:由于x2+y2=z2= 4 ,又由于 w=

xiy111==2=xiy 2zxiyxy4xy,v 44121那么u2v2xy2

1所以u这表示在w平面上以原点为圆心,〔2〕x1

解:将x1代入变换uiv=

1yv,, 221y1y21为半径的一个圆周. 2111iy,得uiv==

1iy1y2xiy于是u=

1y21u.且uv222(1y)1y2

11故u2uv20 解得(u)2v2

2411这表示w平面上的一个以(,0)为圆心,为半径的圆周.

22〔3〕(x1)2y21

解：因为 (x1)y1 即 x2x将 z11 及 z代入得： ww222y20 即z.zzz0

1ww1111.0 即

wwwww.ww.w 因此 ww1

1(v可任意取值) 2表示w平面上平行于虚轴的直线。 u11. 求证：f(z)argz(z0)在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.

证 设z0,使角形区域argz0argz0及负实轴不相交,从图上立即可以看出,以z0为中心,z0到射线argz0的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取0z0sin.那么当zz0时就有

argzargz0.因此argz在z0z0的任意性,知f(z)argz在所述区域内为连续.

设x1是负实轴上任意一点,那么

limargz 及 limargz

zx1Imz0zx1Imz0故argz在负实轴上为不连续. 〔如以下图〕

xyz02212.命函数fzxy

0z0 试证：fz 在原点不连续。

xyz022证明：fzxy

0z0当点zxyi沿ykx趋于z0时，fz当k取不同值时，fz趋于不同的数

fz在原点处不连续。

k 1k13. 流体在某点M的速度v=-1-i，求其大小和方向。 解 大小：|v|=11=2； 方向：arg v=arctan

13。 14i14. 1i2cosisin2e4；

44ii1cossine2；

2211cos0isin0e； 22cosisin2e；

i3i3cossin3e2；

220ii还有ei2i,e2ki1,e1〔k为整数〕

i15.将复数 1-cos +isin  化为指数形式。 解 原式=2sin 22 +2isin2 cos2 =2sin

2sinicos 22 =2sin

2i22cos22isin22=2sin2e



16.对于复数.，假设=0，那么.至少有一为零.试证之。 证 假设=0，那么必 ||=0，因而 ||||=0.

由实数域中的对应结果知||.|.至少有一为零. 17.计算38. 解 因-8=-8(cosisin),故

2k2k (38)k=38(cos+isin).

33 (k=0,1,2) 当k=0时, (38)0=38(cosisin) 3313)1i3; =2(i22当k=1时, (38)12(cosisin)2; 当k=2时, (38)22(cos，

18.设z1及z2是两个复数，试证z1z2明三角不等式(1.2)。

证：

z1z2255isin)2(cosisin)1i3. 33332z1z22Rez1z2并应用此等式证

22

z1z2z1z2z1z2z1z22222z1z1z2z2z1z2z1z2 z1z2z1z2z1z2z1z22Rez1z2其次，由所证等式以及2Rez1z2z1z2z1z2就可导出三角不等式(1.2)。 19. 连接z1及z2两点的线段的参数方程为

zz1tz2z10t1

过 z1及z2两点的直线的参数方程为

zz1tz2z1t

由此可知,三点z1 z2 z3共线的充要条件为

z3z1t (t为一非零实数) z2z1z3z1 Im0z2z120．求证：三个复数z1，z2，z3成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式

22z3z2z3z3z1z1z2。 z12z2 证 ：z1z2z3是等边三角形的充要条件为：向量z1z2绕z1旋转量z1z3，也就是

z3z1z2z1e即

即

两端平方化简，即得

22z3z2z3z3z1z1z2。 z12z2或即得向33i3，

z3z113i， z2z122z3z113i， z2z12221.试证：点集E的边界E是闭集。即证

 EE。

证：设z为的聚点。取z的任意邻域Nz，那么存在z0z使得z0Nz且

z0E。在Nz内能画出以z0为心，充分小半径的圆。这时由z0E可见，

在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在。于是，在Nz内属于E的点和不属于E的点都存在，故zE。因此E是闭集。

22.设有函数=z,试问它把z平面上的以下曲线分别变成平面上的何种曲

2线？

〔1〕以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧； 〔2〕倾角3的直线〔可以看成两条射线argz3及argz3〕；

〔3〕双曲线x2-y2=4.

解 设z=xiyr(cosisin), uivR(cosisin), 那么 Rr，2，

2时，对应的的模为4，辐角由0变2至 .故在平面上的对应图形为：以原点为心，4为半径，在u轴上方的半圆周.

2〔2〕倾角的直线在平面上对应的图形为射线.

33由此，〔1〕当z的模为2，辐角由0变至

〔3〕因z2x2y22xyi，故ux2y2，所以z平面上的双曲线x2y24在平面上的像为直线u4.