习题解答7-8

（2）设t0时，系统的初始状态为x0，由微分方程可得

dxdt

x(x1)(x1)两端积分后可得

22tx0e x222t1x0x0e2相轨迹如图7-22所示。当初始条件x01时，1x00，并且随着t的增大，显然上式分子的衰减速率大于分母的衰减速率，使得x(t)递减，并收敛至平衡原点xe0；而

2x01当x01时，1x0，若tln2，且随着t增大，显然上式分母的衰减速率大于

2x012202x01222t分子的衰减速率，因此x(t)递增；尤其当tln2时，上式分母1x0x0e0，

2x01x(t)为无穷大，系统发散不稳定。

x不稳定区域101x稳定不稳定区域区域

图7-22 系统相轨迹

7-2 解：（1）由于

xdx2x0 xdx2x0dxx)x2x，因此 ，可得奇点为（0，0）因此令。又由于f(x,xxdxx0 1

fxx00x1，

fxx00x0

x0 x可知特征根为s1,2j，故奇点（0，0）为中心点。

1x1，因此系统方程 （2）由于x2x12x1x10 x同理可得

22x2x20 x令

2xx0dx。根据系统的特征方程，可得相应的特征根为鞍，得奇点为（0，0）

dxx0点，s12.414，s20.414。

xx另由于dxx，令dx，得等倾线方程为 2xdxdxxxkx 2其中k为等倾线的斜率。由于相轨迹的渐近线是特殊的等倾线，满足k，则由上式不难得到k112.414，k220.414。相轨迹在这两条特殊的等倾线附近将沿着渐近线收敛或发散。

x0，则sinx0，可知系统的奇点为 x（3）令xe0，，2,，

当xe2k，k0，1，2,时，令x2kx0，原方程变为

0sin(2kx0)sinx0 xx在奇点x00（即xe2k）处的线性化方程为

0x0 x根据特征方程可得系统的特征根为s1,2j，奇点为中心点。

当xe(2k1)，k0，1，2,时，令x(2k1)x0，原方程变为

0sin(2k1)x0sinx0 xx在奇点x00（即xe(2k1)）处的线性化方程为

2

0x0 x根据特征方程可得系统的特征根为s1,21，奇点为鞍点。

dx，得等倾线方程为 令dx1sinx x7-3 解：（1）非线性系统的微分方程可改写为

1P(x1,x2)，x2Q(x1,x2) x其中P，Q表示非线性函数。令

dx2P(x1,x2)0 dx1Q(x1,x2)0联立可得系统的奇点为(0,0)。

奇点处一阶偏导数及增量线性化方程为

aP(x1,x2)P(x1,x2)9 ， b4

x1x2(0,0)(0,0)Q(x1,x2)Q(x1,x2)4，d9

x1x2(0,0)(0,0)c则

1ax1bx29x14x2x

2cx1dx24x19x2x根据特征方程可得系统的特征根为

s1,2ad(ad)24(adbc)9j4

2可知此时由于系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，因此奇点(0,0)为不稳定焦点。

（2）极限环讨论

令x1rcos，x2rsin，并代入原方程后可得

rcos(r21)(r29)rsin(r24)cosr(sin)r

rsin(r21)(r29)rcos(r24)sinr(cos)r经整理可知以极坐标变量r和所描述的运动方程为

3

(r21)(r29)r

2r4222因此可知，当x1x21和x12x29时，即r1和r3时，相轨迹为封闭圆。当

0，此时相轨迹向封闭单位圆发散逼近。当1r3时，r0，此时的0r1时，r0，此时的相轨迹发散至无穷远处。可相轨迹向封闭单位圆收敛逼近。而当r3时，r知系统的封闭单位圆即为该非线性系统的稳定极限环。 7-5 解：（1）图7-28的左图经过如下结构图简化

G1(s)1G1(s)NG(s)H1(s)N

图7-29 系统结构图简化

得线性部分的传递函数

G(s)H1(s)G1(s)

1G1(s)（2）图7-28右图经过如下结构图简化

NG1(s)NG(s)1H1(s)

图7-30 系统结构图简化

得线性部分的传递函数

G(s)G1(s)1H1(s)

7-9 解：G(j)曲线逆时针补画半径为的14圆。

（1）P0时，由奈氏判据可知ZP2N，其中N为包围负倒描述函数1N(X)的个数：当0X0a，bX0c时，由奈氏判据可知初始振幅位于不稳定区域，因此X的值不断增大。同理可知，当aX0b，cX0时，初始振幅位于稳定区域，X的值会不断减小。

（2）P2时，由奈氏判据可知ZP2N，当aX0b，cX0时，由奈氏判据可知初始振幅位于不稳定区域，因此X的值不断增大。同时可知，当0X0a，

bX0c时，初始振幅位于稳定区域，X的值不断减小。

4

7-11 解：根据串联合并关系，描述函数：

4MhN(X)1，Xh

XX令xh/X，则：

2N(X)N(x)4Mx1x2,x1 h令

dN(x)h2=0，解得x。由极值条件知，当X2h时，负倒描述函数曲线dxX21h。大致曲线如图7-40所示。 N（X）2MjN(X)0有一个极大值，为1N（X）G(j)

图7-40 稳定性分析

（j）在同一平面内绘制G曲线，其穿越负实轴的频率为

x112 TT0512KTT50.5512

T1T2153G（j）与负实轴的交点为：G（j）=（j）N（x）=-1，可以求出 根据GN（x）=-3h20M。

13

G（jx）5即 x1x求解可得：

2 5

1222h，h xx1X2X12。

根据周期运动稳定性判定办法可知，X1对应不稳定的运动，X2对应于稳定的周期运动，因此，当扰动使得XX1时，存在自激震荡c(t)X2sin2t。

7-12 解：由图7-41可得

0M,cc c0M,ccM可以得到 0。求解c开关线为cc02McA1,cc= c2McA,cc02)平面上开口向右、向左顶点在c轴上的两条抛物线。位置与初始这两个方程分别对应(c,c条件或另一个区域的想轨迹与开关线的交点有关。开关线是过坐标原点的直线，斜率与值有关。

轴，相轨迹由两个抛物线封闭组成，对应的运动是周期运1）当0时，开关线为c动，如图7-42所示。

j0图7-42 系统相轨迹

2）当0时，开关线向右倾斜，位于Ⅰ，Ⅲ象限，相轨迹仍由抛物线组成，但每次

均增加，对应的运动为震荡发散，如图7-43所示。 转换时，c，c 6

j0图7-43 系统相轨迹

当0时，开关线向左倾斜，位于Ⅱ，Ⅳ象限，相轨迹还是由抛物线组成，但每次转换时，

均减小，对应的运动是震荡收敛，相轨迹如图7-44所示。 c，cj0

图7-44 系统相轨迹

u，其中u为非线性环节的输出 7-15 解：由系统结构图可知ce1,u2e,e1,c1,2c,cc1,e1e1 e1c1c1 c1c，ec，综合各式并整理可得 在比较点处ec，e在Ⅰ区（c1），奇点为(0,0)，其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点(0,0)为中心点。在Ⅱ区（c1），奇点为(1,0)，其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点(1,0)为中心点。在Ⅲ区（c1），奇点为(1,0)，其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点(1,0)为中心点。下面利用积分法来求解系统相轨迹。

在Ⅰ区（c1）

2c0， cdc2cdc c

7

22c2c2(0)2c2(0)4，为一椭圆。 积分可得c在Ⅱ区（c1）

c10， cdc(1c)dc c2(c1)2c2(0)c(0)16，为一中心在(1,0)的圆。 积分可得c2在Ⅲ区（c1）

c10， cdc(1c)dc c2(c1)2c2(0)c(0)16，为一中心在(1,0)的圆。 积分可得c2c相轨迹和输出曲线分别如图7-50和图7-51所示。该非线性系统的c由图7-50可知，

相轨迹从Ⅰ区的A点(0,2)处出发，在B点(1,2)切换至Ⅱ区，运动到D点(0,61)又切换至Ⅰ区，运动到F点(1,2)处后再次进入Ⅱ区，然后运动到H点(1,2)处后最终又切换回Ⅰ区，并回到A点，形成一个循环。由图7-51可见系统的输出是一个周期运动。

图7-50 系统相轨迹 图7-51 系统输出曲线

8-1 解：（1）etteat

该函数采样后所得的脉冲序列为

enTnTeanT,n0,1,2,

代入z变换的定义式可得

Eze0eTz1e2Tz2enTzn0TeaTz12Te2aTz2nTenaTznTeaTz12e2aTz2nenaTzn两边同时乘以eaT

z1，得

8

eaTz1EzTe2aTz22e3aTz3nean1Tzn1

aT1两式相减，若ez1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得

1eaTzz1EzTeaTz1e2aTz2eanTznT1 aTzeTzeaT最后该z变换的闭合形式为

Ez（2）etcost

对etcost取拉普拉斯变换，得

zeaT2

Es展开为部分分式，即

s 22s111 Es2sjsj可以得到

1zzEz2zejTzejT化简后得

jTjTzee1 2jTjT2z1zeeEz（3）EszzcosT 2z2zcosT1s3

s1s2Es21 s1s2解：将上式展开为部分分式，得

查表可得

z2eT2e2Tz2zzEz2 T2TT2T3Tzezezeeze1eTs（4）Es2

ss11eTs1eTs1解：Es2 ss1sss1

9

对上式两边进行z变换可得

1z1111 Ez(1z1)Z2Z2zsss1s(s1)查表可得

z1TzzzEz2Tzz1zez1Tz11z1zeTT1eTz1eTTeT

z1zeT8-2 解：（1）Ez10z

z1z2由于

Ez101010 zz1z2z2z1所以

Ez查表可得

10z10z z1z2zn1z，Z11Z2n z1z2所以可得Ez的z反变换为

enT102n1

（2）Ez由于

zz1z22

Ez1111 22zz1z2z1z1z2所以

Ez查表可得

zz12zz z1z210

ztnT1zn1zn Zn,Z1,Z22z1z2z1TT1所以Ez的z反变换为

enTn1n2n2nn1

（3）Ez2zz21z212

由长除法可得Ez2z16z310z514z7 所以其反变换为

et2tT6t3T10t5T14t7T18t9T

（4）EzzezeaTbT2z

解法1：由反演积分法，得

znenTResaTbTzezei1zzkznznaTbTzeze aTbTaTbTvezezezeaTbTzezeeanTebnTaTeebTebTeaTeanTebnTaTeebT解法2：

由于

Ez1aTbTzzeze所以

11ebTeaTebTeaT zeaTzebTEz查表可得

11zzebTeaTebTeaT zeaTzebT 11

1zbTaTeat1eeZbTaTaTzeee

1zbTaTebt1eeZbTbTaTzeee最后可得z反变换为

ebnTeanTebnTeanTenTbTbT

eeaTebTeaTeeaT8-3 解: (1)

X(z)Z[x(k)]kzkk0kx(k)zk

0z12z2kzkz.2z1(2)

x(k)x(k1)k(k)(k1)1(k1)0, 1, 1, ...Z[x(k)x(k1)](1z1)X(z)按z变换定义有



Z[x(k)x(k1)][x(k)x(k1)]zkk0zkz1zkz1k1k0z1z1z1

将上述结果代入Z[x(k)x(k1)](1z)X(z)中可得

1X(z)z

(z1)2可见，(1)的推导正确，(2)的推导第一步就错了，导致最后结果错误。 8-4 解: (1) 首先求出Fz的z反变换

12

z30.2z2Fzz0.6z0.3z1BCAzz0.6z0.3z1 0.330.04760.71zz0.6z0.3z10.33z0.0476z0.71zz0.6z0.3z1由此可得

fk0.330.61k0.04760.31k0.711k (k=0,1,2,…)

(2) 在计算序列的稳态值之前，应该先判断z1Fz的稳定性。通过查看z1Fz的极点z0.6，0.3，可见z1Fz是稳定的。由终值定理可得

kkflimz1Fzz1z30.2z2lim(z1) z1z0.6z0.3z10.718-5 解: (1)单位阶跃信号的z变换为 Rz因此

z， z1C(z)5z0.6z 2zz0.41z1z反变换为

Cz5z19.5z219.5zAB19.5z2zzzz0.41z1z0.50.4jz0.50.4jz1

j2.594j2.59411.426ez11.426ez19.5zz-0.ej0.675z-0.ej0.675z1kck11.426ej2.5940.ej0.6751k  11.426ej2.5940.ej0.6751k 19.51kkk11.4260.ej2.594j0.675kej2.594j0.675k1k 19.51k

22.850.kcosk0.6752.594k1 19.…5) 1(k ) (k=0,1,2,

(2) 由（1）可知ck的稳态值为19.5。可以通过终值定理来检验这一结果的正确性，稳态增益为

13

lim8-6 解： 同时对方程两边进行z变换得

Cz19.5

z1RzzYz0.5YzXz

当输入信号为单位阶跃序列时

Xz因此

z z1Yzzz1z0.51]z1z0.5

z[z所得结果为

21213z13z0.522kyk1k0.51k. (k=0,1,2,…)

338-7 解：第一种情况，令T1，

CzZ[G1sG2s]G1zG2z RzG1sG2s1ss2s0.5s1.522443s3s23s0.53s1.5

Z[G1sG2s]2z2z4z4z3z13ze2T3ze0.5T3ze1.5T2z1122 3z1z0.135z0.606z0.2230.198z30.305z20.027z43z5.2z33.633z20.796z0.055第二种情况

14

G1sG2s10.432z,G1zss2z1z0.1351,G2z0.383z

z0.606z0.223s0.5s1.50.165z2G1zG2zz1z0.135z0.606z0.223

8-8解: (1 )Z变换为

Yz1.3z1Yz0.4z2Yz2Uz Yz22z2 212Uz11.3z0.4zz1.3z0.4(2) 系统极点为

z1,2z1,21, 系统是稳定的。

11.31.3240.40.5,0.8

2(3) 当输入为单位阶跃信号时，U(z)z，将其代入传递函数得 z12z2z2Yz2

z1.3z0.4z112.3z11.7z20.4z3由长除法得到系统的单位阶跃响应为

y(t)24.6(tT)7.180(t2T)9.494(t3T)11.470(t4T)

利用终值定理得到阶跃响应的稳态值为

ylimz1Yzlimz1220

z1z21.3z0.48-9 解:

(1) 特征方程为

z20.5z0.30

特征方程的根为

z1.20.25j0.4873

方程的根在单位圆以内，系统是稳定的。 (2) 特征方程为

z21.6z10

15

特征方程的根为

z1.20.8j0.6

可以看出z11 在单位圆之上，系统不稳定。 (3) 特征方程为

z20.8z0.40

特征方程的根为

z11.1483，z20.3483

可以看出z11 在单位圆之外，故系统不稳定。 8-10 解:对方程两边同时进行z变换得,

C(z)3z1C(z)2z2C(z)R(z) 1C(z)R(z)13z12z2R(z)不是单位阶跃输入，因此要通过r(k)来计算。

对r(k)进行z变换可得

R(z)r(k)zkk011z10z20z3 1z1因此C(z)为

1z12z3z. C(z)11(1z)(12z)z1z2通过反变换可得

c(k)-21(k)32k1(k) (k=0,1,2,…)

8-11 解：只考虑参考输入r(t)2t时，开环传递函数为

2(1es)，其z变换为 G(s)s(s1) 16

2221G(z)(1z1)Z(1z)Zss1s(s1) z12z2z1.2zz1ze1z0.368其闭环系统的脉冲传递函数为

(z)当rt2t时，查表可得R(z)CrzGz1.2 Rz1Gzz0.62zz12，所以

1.22z2.528z2 Crzz0.6(z1)211.104z10.792z20.6z3只考虑干扰输入n(t)时，由信号传递关系可得

Cn(s)2P(s)s1

1es*P(s)N(s)Cn(s)s则

22(1es)*Cn(s)N(s)Cn(s)

s1s(s1)采样后得

s22(1es)*22(1e)**Cn(s)N(s)Cn(s)s(s1)s(s1)Cn(s)

s1s(s1)****2G1*(s)2(1es)从而得到 C(s)，其中G1(s)，G2(s)。转化为z变换*s(s1)s(s1)1G2(s)*n为

G1(z)1.2z1 Cn(z)121G2(z)10.104z0.6z系统总响应为

1.2z11.133z21.2z31.133z4C(z)Cr(z)Cn(z) 1234511.208z1.573z1.967z0.616z0.803z由长除法可得

Cz1.2z12.659z23.9374z35.320z46.609z57.982z6

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所以系统的输出脉冲序列为

ct1.2tT2.659t2T3.9374t3T

8-12 解：

GsGz1zZs1Gs33425ss2s+15s+1s2s+15s+13z2z5zz1z0.61z0.820.10z0.12Gzz0.61z0.82闭环特征方程为

1DzGz0z0.61z0.8240.10z0.120z21.03z0.980z0.51j0.84z0.5120.8420.981所以系统是稳定的。 8-13 解(1)

zz11ZG1,ZG22Tsz1s2ze

CzG1G2z2z222T2Rz1G1G2z1zez2z1e2Tze2T

(2) R(z)1，T0.1

z20.5zz0.45470.2274zCz2222z1.8187z0.8187z0.9093z0.4093z0.9093z0.4093

kkckZ1[Cz]0.50.01cos0.7809k0.50470.01sin0.7809k8-14 解 在使系统稳定的K值范围内，rt2t作用时的系统稳态误差可以用静态误差系数法计算。

当rt2t单独作用时，系统开环脉冲传递函数为

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Kz1eTK （系统型别v1） GzZTss1z1ze静态速度误差系数

Kvlimz1Gzlimz1z1Kz1eTzeTKessr2T2T KvK当nt1t单独作用时，用一般方法计算稳态误差。

EnzCzGzEnzGnzNz

z1 GnzZTs1zeEnz将NzGnzNz

1Gzz带入得 z1z2Enz TTz1zeKz1e所以essnlimz1Enz0

z1系统总稳态误差为

essessressn2T K系统稳态误差除了与输入信号和系统结构参数之外，还与采样周期T有关，减小T有利于减小稳态误差。

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