(本栏目内容，在学生用书中以形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 解析： 画图或在正方体模型中观察可得． 答案： B
2．在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上 解析： 由已知P∈EF，EF⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC， 同理可得，P∈平面ACD. 而平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC. 答案： B
3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析： 选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确； 选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；
选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误． 答案： B
4．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
解析： 如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝2. ∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝
2，且CM⊥BM，AM⊥BM， 2
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角． ∵AC＝1，MC＝AM＝∴∠CMA＝90°. 答案： C
5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．相交成60°
解析： 如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.
2
， 2
答案： D
6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
解析： 根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D. 答案： D
7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
解析： 由BD⊥AC，BD⊥AA1，知BD⊥平面ACC1A1. 又CE⊂平面ACC1A1， ∴BD⊥CE.故选B. 答案： B
8．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
2A. 3C.2 3
B.3 3
1D. 3
解析： 如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD. 因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD. 又CC1∩AC＝C， 所以BD⊥平面CC1O. 在平面CC1O内作CH⊥C1O， 垂足为H，则BD⊥CH.
又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1， 连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影， 所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角． 设AA1＝2AB＝2.
2
在Rt△COC1中，由等面积交换易求得CH＝. 3CH2
在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.
CD3答案： A
9．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为( )
A.
29 2
13B. 5D.
119 5
17C. 5
解析： 如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE. ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE， ∴BD⊥PE.
AB·AD12
∵AE＝＝，PA＝1，
BD5∴PE＝122131＋5＝5.
答案： B
10.如图，点P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且PO⊥平面ABC于点O，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
解析： 如图所示，连接OA，OC. 由于PA⊥PB，PA⊥PC， 所以PA⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，
所以BC⊥PA.又PO⊥平面ABC， BC⊂平面ABC， 所以BC⊥PO.
又PO∩PA＝P，所以BC⊥平面PAO，所以BC⊥AO. 同理可证AB⊥OC，所以O是△ABC的垂心． 答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直； ④若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．
上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
解析： ①即面面平行的判定定理；②即线面平行的判定定理；③由α内有一条直线垂直于l不能得到该直线垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正确；④不符合线面垂直的判定定理，因此不正确．
答案： ①②
12．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________．
解析： 如图所示，取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，DE. ∵AC＝2，其余各棱长都为1， ∴AD⊥CD，∴EF⊥CD.又BF⊥CD， ∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角． 123
∵EF＝，BE＝，BF＝，
222∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF是直角． EF3
∴cos∠BFE＝＝. BF3答案：
3 3
13．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析： 由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使得B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．
答案： B1D1⊥A1C1
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形； ③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．
解析： 如图，①取BD的中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE
＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD.故①正确．
②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝是直二面角A－BD－C的平面角，
∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE⊥平面BCD， 故∠ABE是AB与平面BCD所成的角， 而∠ABE＝45°，∴③不正确．
11④分别取BC，AC的中点M，N，连接ME，NE，MN，则MN∥AB，且MN＝AB＝a，
2211
ME∥CD，且EM＝CD＝a，
22
∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角． 在Rt△AEC中，AE＝CE＝11
∴NE＝AC＝a，
22∴△MEN是正三角形， ∴∠EMN＝60°，故④正确． 答案： ①②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
2
a，AC＝a， 2
2
a.由①知∠AEC＝90°2
求证：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA.
证明： (1)因为AS＝AB，AF⊥SB， 垂足为F，所以F是SB的中点． 又因为E是SA的中点， 所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC. 又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC. (2)因为平面SAB⊥平面SBC， 且交线为SB，
又AF⊂平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB， 所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
16．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积． 解析： (1) 证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.
(2) 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB. 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 所以CD⊥A1D，CD⊥DE. 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得
∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 又∵A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面ADC. 11
所以V三棱锥C－A1DE＝××6×3×2＝1.
32
17．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．
解析： 当点E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1.证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点， ∴EF∥AB1，
∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE⊂平面EFD， ∴DE∥平面AB1C1.
18．(本小题满分14分)如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角D－AP－C的正弦值．
解析： (1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形， AB＝20，
1
∴PD＝AB＝10，
2∴AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P， ∴AP⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC， ∴AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC. 又BC⊂平面ABC， ∴平面PAC⊥平面ABC. (2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角． 由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC， BC2
∴sin∠BPC＝＝.
PB5
