高三数学(文科)主干知识五解析几何

高三数学（文科）主干知识五：解析几何

考试要求

（1）直线与方程

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． （2）圆与方程

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． （３）圆锥曲线与方程

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、准线、离心率）．理解直线与圆锥曲线的位置关系．

复习关注

关注解题方向的选择及计算方法的合理性（如“设而不求”、“整体代换”等），同时适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般的思想，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等

强化训练

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题意要求的．

x2y21的焦距为（ ） 1． 双曲线

102A．32

B．42

C．33

D．43 2．已知点A（3,2），B（-2,7），若直线y=ax-3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4:1，

则a的值为（ ）

A．3 B．-3 C．9 D．-9

223．由直线yx1上的点向圆(x3)(y2)1 引切线，则切线长的最小值为（ ）

A．17 B．32 C．19 D．25 4．双曲线x－y=4的两条渐近线和直线x=2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为（ ）

2

2

xy0A．xy0

x2xy0xy0B．xy0 C．xy0

x2x2

2xy0D．xy0

x225．若直线l:axby10 (a0,b0)始终平分圆M：xy8x2y10的周长，则

14

的最小值为（ ） ab

A．8 B．12 C．16 D．20

2

6．直线经过点A（2，1），B（1，m）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是（ ）

A．[0,) C．[0,

B．[0,D．[](,)

424]

,)(,) 4227．已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，垂足为P(1,p)，则mnp的值是（ ）

A．24

B．20 C．0 D．－4

8．圆心在抛物线x22yx0上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是( )

10 4122C．xyx2y0

4A．xyx2y22B．x2y22xy10 D．xyx2y2210 4x2y29．以椭圆221(ab0)的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1ab的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )

6324A． B． C． D． 32392

10．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b，

2

4b]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（ ）

A．[53,] 32B．[32,] 32

C．[52,] 32D．[33,] 32x2y21，过右焦点F 做不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平11．已知椭圆95分线交x轴于N，则NF：AB（ ）

1121

A． B． C． D． 2334

12．椭足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆

x2y21，点A、B的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：

169是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ） A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

2213．直线yx1上的点到圆xy4x2y40上的点的最近距离是 ．

x2y2PFPF2114．已知P是椭圆，则1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若1|PF1||PF2|2259△F1PF2的面积为 ． 15．已知抛物线y12x，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A,B两个点, 则坐标原点4O与A，B两点构成的三角形的面积为 ．

x2y216．椭圆=1的右焦点为F，过左焦点且垂直于x轴的直线为l1，动直线l2垂直于直线l132于点P，线段PF的垂直平分线交l2于点M，点M的轨迹为曲线C，则曲线C方程为______________ __．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（满分12分）

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290 相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线axy50(a0)与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(2, 4)，

若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

18．（满分12分）

2

已知以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，

t其中O为原点．

（Ⅰ）求证：△OAB的面积为定值；

(Ⅱ）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OMON，求圆C的方程． 19．（满分12分）

已知点P(2,0)及圆C：xy6x4y40．

（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程； （Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当MN4时，

22

求以MN为直径的圆的方程；

（Ⅲ）设直线axy10与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0) 的

直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

20．（满分12分）

已知直线l过椭圆E:x22y22的右焦点F，且与E相交于P,Q两点． （Ⅰ）设OR(OPOQ)（O为原点），求点R的轨迹方程；

y P o Q F x 1211（Ⅱ）若直线l的倾斜角为60°，求的值 |PF||QF|

y221．（满分12分）已知曲线C:x21．

m1(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，点P分EF所成的比为。问：点P3的轨迹可能是圆吗？请说明理由； (Ⅱ)如果直线l的斜率为

2，且过点M(0,2)，直线l交曲线C于A，B两点，又

又MAMB22．（满分14分）

3，求曲线C的方程． 5x2y2已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外

ab的动点，满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

PTTF20,|TF2|0．

c （Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|ax；

a （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b？

若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．

2主干知识五：解析几何参

一、选择题：

1．Ｄ 2．Ｄ 3． Ａ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ａ 11．Ｂ 12．Ｃ 二、填空题：

13．221 14．33 15．2 16．y＝4x

2

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）设圆心为M(m, 0)（mZ）．

由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以 即4m2925． 因为m为整数，故m1．

4m295， 5故所求圆的方程为(x1)2y225． „„„„„„„„„„„„„4分 （Ⅱ）把直线axy50即yax5．代入圆的方程，消去y整理，得

(a21)x22(5a1)x10．

由于直线axy50交圆于A,B两点， 故4(5a1)24(a21)0．

2即12a5a0，由于a0，解得a5． 12所以实数a的取值范围是(5, )． 121， a（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由于a0，则直线l的斜率为1l的方程为y(x2)4， 即xay24a0．

a由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1, 0)必在l上． 所以1024a0，解得a由于

3． 435(, )， 4123故存在实数a，使得过点P(2, 4)的直线l垂直平分弦AB．

4

18．解：（1）圆C过原点O，OCt2224． t222 设圆C的方程是 (xt)(y)t 令x0，得y10,y2 SOAB2t4 2t4；令y0，得x10,x22t t114OAOB|||2t|4，即：OAB的面积为定值． 22t （2）OMON,CMCN,OC垂直平分线段MN． kMN2,koc11，直线OC的方程是yx 22

21t，解得：t2或t2 t2 当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC5， 此时C到直线y2x4的距离d95

5，

圆C与直线y2x4相交于两点．

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当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC5， 此时C到直线y2x4的距离d955

圆C与直线y2x4不相交，

t2不符合题意舍去． 圆C的方程为(x2)2(y1)25．

19．解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0k(x2)．

又圆C的圆心为(3,2)，半径r3，

由 3k22kk2131， 解得k．

43(x2)， 即 3x4y60． 4当l的斜率不存在时，l的方程为x2，经验证x2也满足条件．

所以直线方程为y（Ⅱ）由于CP5，而弦心距d 所以dCP5．

所以P为MN的中点．

故以MN为直径的圆Q的方程为(x2)2y24． （Ⅲ）把直线axy10即yax1．代入圆C的方程，

消去y，整理得(a1)x6(a1)x90． 由于直线axy10交圆C于A,B两点，

故36(a1)36(a1)0，即2a0，解得a0． 则实数a的取值范围是(,0)．设符合条件的实数a存在， 由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, 2)必在l2上．

2222r2(MN2)25，

所以l2的斜率kPC2，而kABa11，所以a．

2kPC由于

1(, 0)， 2故不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB．． 20．解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)

x1x2x112 OR(OPOQ)(x,y)[(x1,y1)(x2,y2)]22yy1y22x222y21，易得右焦点F(1,0) 由x2y22当直线lx轴时，直线l的方程是：x1，根据对称性可知R(1,0) 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为yk(x1) 22222y P o Q F x 4k2代入E有(2k1)x4kx2k208k80; x1x22 2k1x1x22k22于是R(x,y): x; yk(x1) 22k1消去参数k得x22y2x0而R(1,0)也适上式，故R的轨迹方程是x22y2x0 (2)设椭圆另一个焦点为F'，

在PF'F中PFF'1200,|F'F|2,设|PF|m，则|PF'|22m

2由余弦定理得(22m)222m222mcos1200m

221同理，在QF'F，设|QF|n，则|QF'|22m 也由余弦定理得(22n)222n222ncos600n于是

2

221111122122122 ． |PF||QF|mn2221．解：（1）设E(x0,y0),P(x,y),则F(x0,0)

11点P分EF所成的比为，EPPF。

33x0x1(xx0,yy0)(x0x,y)．2

3yy03y024y22代入x01中,得x21为P点的轨迹方程．

m9m4当m时,轨迹是圆.

9（2）由题设知直线l的方程为y2x2,

，

设A(x1,y1),B(x2,y2)

y2x2联立方程组y2,消去y得:(m2)x242x4m0．

x21m方程组有两解， m20且0．

m2或m0且m2。

又MAMB3, M、A、B三点共线， 5由向量知识得|MA||MB|MAMB或|MA||MB|MAMB．

而MAMBx1x2(y12)(y22)x1x22x12x23x1x2． x1x211(或）． 554m又x1x2，

m211y22y22解得m3或m, 曲线C的方程为x1或x21．

231122．解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得

b222222|F1P|(xc)y(xc)b2xa(ac2x). a又由xa,知acxca0， ac所以|F1P|ax.．

a （Ⅱ） 当|PT|0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上．

当|PT|0且|TF2|0时，由|PT||TF2|0，得PTTF2． 又|PQ||PF2|，所以T为线段F2Q的中点．

1在△QF1F2中，|OT||FQ|a，所以有x2y2a2. 12综上所述，点T的轨迹C的方程是x2y2a2.

22x0y0a2,2（Ⅲ） C上存在点M（x0,y0）使S=b的充要条件是122c|y0|b.2③④

2b2b. 所以，当a时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|a，由④得|y0|cc2当ab时，不存在满足条件的点M．

c

2当ab时，MF1(cx0,y0),MF2(cx0,y0)，

c22由MF1MF2x0c2y0a2c2b2，

MF1MF2|MF1||MF2|cosF1MF2，

1S|MF1||MF2|sinF1MF2b2，得tanF1MF22．

2