维普资讯 http://www.cqvip.com ２ＯＯ６年第２期 中学数学教学 ２１ 判别式法研究值域问题的再认识 河北省沧州市第一中学数学组温和群王绍峰（邮编：０６１０００） 在确定函数值域的问题中，对于形如Ｙ： ａ，ｒ ￣＋ ｂ ｘ＋ｃ．的值应舍去 （ｎ、 不全为零）的函数，我们可以考虑将 例３ 求函数 一丢 的值域． 其转化为关于 的方程Ｆ（ｘ， ）一Ｏ（将Ｙ视为系数）， 通过对方程的实根的讨论而求得原来函数的值域．由 于在此过程中往往需要条件“△≥０”，因此通常我们称 之为“判别式法”．然而在运用此法过程中，当所给函数 解析式的形式结构具有不同的特征时，可以再深入考 察解题的策略与方法． 例题ｌ 求函数 一 的值域． 分析 函数的定义域为Ｒ，故原式可变形为 （ —１） ＋（ ＋１） ＋ —ｌ—Ｏ ① 将其看作关于９２＂的方程： 若 —ｌ—Ｏ，即 一１时，得Ｌｒ一０∈Ｒ，则 ：１适 合题意； 若 —ｌｇ：Ｏ，即ｙ￣ｌ时，则应有方程①中△≥Ｏ，即 （ ＋１）。－－４（ｙ－－１） ≥ｏ．解得÷≤ ≤３且 ≠ｌ； 综上。所求函数的值域为［｛，３］． 例题２ 求函数 一蠢 的值域． 分析 函数的定义域为Ｒ，故原式可变形为 （２ 一１） 。＋（１—２ ） ＋３ —ｌ＝Ｏ（ 将其看作关于 的方程： 若２ｙ－－ｌ一０，即 一÷时，代入②式得÷一０，矛 盾！则 ≠÷； 若２ｙ－－１≠ｏ，即 ≠÷时，则应有方程②中△≥ｏ， ￣ｊｌ（１—２ ） 一４（２ｙ一１）（３ｙ一１）≥ｏ，解得茜≤ ＜专； 综上・所求函数的值域为［ ， １）． 从以上分析中可以得出：当函数的定义域为Ｒ（即 分母出 ＋ｅｘ＋ｆ恒不为零）时，其值域即为使关于 的方程Ｆ（ｘ， ）＝０恒有解的条件中系数Ｙ的取值范 围．此时，对二次项的系数是否为零的讨论是必要的｝ 当二次项系数为零时，若方程Ｆ（ｘ， ）一０有解，则相 应ｙ的值应保留；若方程Ｆ（ｘ， ）一０无解，则相应Ｙ 分析函数的定义域为｛ ∈ＲＩ ≠２且 ≠÷｝， 原式可变形为 （３ １） ’ ＋（３－－７ ） ＋２ ＋２一Ｏ ③ 将其看作关于 的方程： 若３ｙ－－ｌ＝０，即 一寺时，代入③式得 一一４∈ ｛ ≠２且ｘ￣－３｝，则 一｛适合题意； 若３ｙ－－１≠ｏ，Ｉｌｐ ≠寺时。则应有方程③中△≥ｏ。 即２５ｙ。一５８ ＋１７＞／ｏ，解得 ≤垫 ≈ｏ３４或 ≥垫 ≈１．．９８； 综上，所求函数的值域为： ｛ Ｉ ≤ 或 ≥ ｝． 然而如果到此为止的话。我们是否已经彻底解决 了呢，还是并没有结束？提出这样一个问题的原因在 于：函数的定义域不为Ｒ，当 ≠÷时，方程③不是在 Ｒ上恒有解．因此利用△≥０解得Ｙ的取值范围后，是 否有必要验证ｘ＝２或 一÷的情况？ 为此，我们先来进行验证： 当 一２时，代入③式，得出Ｏ一一４，矛盾！当 一 ｛时，代入③式，得出等一０，也矛盾！验证的结果是： 方程③根本不会存在ｘ＝２和 一÷两个根． 难道这是巧合吗？实质上这是具有一般性的结 论．究其原因：将函数 一 变形为 （３ 一１）（ 一２）ｙ＝ｘ ３ｊ・２ ④ 若ｘ＝２或 一÷为方程④的根，则等号右边 －３ｘ－－２也应可因式分解且含（ｘ－－２）或（ｘ－－寺）， （下转第２４页） 维普资讯 http://www.cqvip.com ２４ 找不到关于ｙ＝２的对称点， 所以是的取值范围是（一ｏ。， ２）Ｕ（一 Ｕ（０， ）Ｕ（２。＋㈣． 中学数学教学 ２００６年第２期 把Ｐ（ｘ Ｙｏ）代人ｚ：ｙ＝ｋ．ｒ＋１得Ｙｎ一是西 ＋１， 。０） 解得 ｋ， 一 ， 直线ｌ与双曲线的右支交于不同的两点，故中点 Ｐ（ｍ ， ）在双曲线右支含焦点的内部区域， 所以２（ ） 一（ ） ＞１， 例７（２００４年湖北第２０题）直线ｌ：．ｙ一是 ＋１ 与双曲线２ 一ｊ，２一ｌ的右支交于不同的两点Ａ、Ｂ． （１）求实数ｋ的取值范围；（２）略． 解（１）设Ａ（∞，ＹＩ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），ＡＢ的中点为尸 解得一２＜ｋ＜－－，／２￣２＜ｋ＜２． 由题意，￡： 一是 ＋１过定点（０，１），当ｋ＜Ｏ时。￡ （劬，Ｙｎ），依题意，有 与双曲线的右支相交， Ｉ２ 一ｊ二 １，；； 所以是ｉｆ－（一２，～√２）． ２）（ ｌ＋ｘ２）一（ｙｌ＋ｙ２） ・（Ｙｌ一 ）一０， （收稿日期２００５—１２—０８） 整理得： Ｉ三 一２・ 盟 一２． 一是 Ｉ十 ２ Ｙｏ （上接第２１页） 这显然是不可能的！否则函数解析式中的分子、分母 若３ｙ－－２≠０，即．ｙ≠寺时，则应有方程⑤中△≥０。 就有公因式，解析式便可以约分化简成．ｙ ａ．ｒ＋ｑ－ ｂ即（３—７．ｙ） 一４（３．ｙ～２）（２ ＋２）≥０，整理得（ —１） ≥ ＃ｈ ￣． 一，０，则 ≠寺即可； 式了． 从以上分析中又可以得出：当函数的定义域不为 综上，所求函数的值域为｛Ｙ１．ｙ∈Ｒ且．ｙ≠寺｝． Ｒ（即分母出。＋ ＋．，。一０的根为 ｚ）时。如果分式 解法一、解法二出现了不同的结果。那一个是正确 蓑 十一 ＃不可约分，那么解法同例题１、２；而不必考 察自变量 取 ｔ、 ｚ时的情况，原因在于方程Ｆ（ｘ，．ｙ） 的呢？结论是：解法二中有错误！将．ｙ一量 ＝０根本不会存在３７・、 ｚ两根！ 化为（３ ・一１）（ －一２） 一（２ｘ＋１）（ 一２） ⑥ 相对于函数的定义域而言，已经扩大了 的取值 ￣Ｊｔ ４ 求函数．ｙ一塞 的值域． 范围．对于方程⑥，若其有两个等根 ．、 ｚ，由△一０得 解法一因为．ｙ＝塞 一 —ｌ，此时 ．一 一２ ｛．ｒ∈Ｒ ≠２且ｘ￣－＿＝｝｝。故Ｙ ！ 二 ！ ＝！± ２ —ｌ应舍去．从而也能得出正确的结果． （ｘ－－２）（３ｘ－－１）’ 从以上分析中又可以得出：当函数的定义域不为 由于 ≠２，所以．ｙ≠１；由于 ≠专，所以．ｙ≠专， Ｒ（即分母出 ＋ ＋，一Ｏ的根为 ．、 ）时，如果分式 ａｘ ￣＋ ｂ ｘ＋ｃ可以约分（即分子、分母有公因式），那么 故所求函数的值域为｛．ｙ∈Ｒ１．ｙ≠１且．ｙ≠寺｝． 解法一、解法二均可，但显然解法一既简洁明了，又保 解法二 函数的定义域为｛．ＴＸ∈Ｒｌ ≠２且 ≠ 证了转化的等价性． ÷｝，原式可变形为 从以上所举几例的分析及所得结论中，我们可以 （３ｙ－－２）ｘ ＋（３－－７ｙ）ｘ＋２ｙ＋２＝０ ⑤ 体会到运用所谓“判别式法”求解函数值域的过程必须 满足转化的“等价性”，应当根据不同的解析式的形式 将其看作关于 的方程： 采用恰当且有效的方法进行解答研究． 若３ｙ－－２＝０，即．ｙ一寺时，代人⑤式得 ｘ＝２ ｛ ｆ ≠２且 ≠｛｝，则．ｙ＝ 不合题意，舍去； （收稿日期 ２００５一ｌ２—０８）
