常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理

我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：

一、三数为连续整数的勾股数

（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.

分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…

三、前两数为连续整数的勾股数

你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x，x＋１，2x22x1）（x为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），y=2x22x1则

x2x1y2（＊）

2整理，得2x22x1＝y2，化为2x122y21，即

2x12y2x12y＝－１，

又1212＝－１，∴12故取2x12y＝1解之，得x＝

， 12＝－１（ｎＮ）

2，2x12y＝12，

2n12n12n12n11〔1242n1＋122n1－２〕，y＝

2〔1242n1－

122n1〕，

14故前两数为连续整数的勾股数组是（〔12〔122n1＋122n1－２〕，

142n1＋122n1－２〕＋１，

2〔1242n1－122n1〕）．

四、后两数为连续奇数的勾股数

如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).

五、其它的勾股数组公式：

1.a=2m,b=m2－1,c=m2+1（m大于1的整数）.2.a=（m2－n2）,b=mn,c=（m2+n2）（其中m>n且是互质的奇数）.

3.a=2m,b=m2－n2,c=m2+n2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.

下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：

121234 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12

16 20；

12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30

34；16 63 65

17144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20

99 101；21 28 35

21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 2 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145

25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 3 365；28 45 53；28 96 100

28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130

32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125

35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 1；36 323 325；37 684 685；38 360 362

39 52 65；39 80 ；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40

96 104；40 198 202

40 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924

925；44 117 125；44 240 244

44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528

530；48 55 73；48 80

48 90 102；48 140 148；48 1 195；48 286 290；48 575 577；49

168 175；50 120 130；50 624 626

51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675

677；54 72 90；54 240 246

54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56

192 200；56 390 394；56 783 785

57 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156

60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 9 901；62

960 962；63 84 105；63 216 225

63 280 287；63 660 663； 120 136； 252 260； 510 514；65

72 97；65 156 169；65 420 425

66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69

92 115；69 260 269；69 792 795

70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72

210 222；72 320 328；72 429 435

72 6 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75

936 939；76 357 365；76 720 724

77 2 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80

84 116；80 150 170；80 192 208

80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84

112 140；84 135 159；84 187 205

84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84

132 157；85 204 221；85 720 725

87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88

480 488；88 966 970；90 120 150

90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91

525 533；93 124 155；93 476 485

95 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96

180 204；96 247 265；96 280 296

96 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99

168 195；99 440 451；99 540 549

100 105 145；100240260；100 495 505；100621629. 以下是大于100的勾股数： 第223组： 102 136 170 第224组： 102 280 298 第225组： 102 8 870 第226组： 104 153 185 第227组： 104 195 221 第228组： 104 330 346 第229组： 104 672 680 第230组： 105 140 175 第231组： 105 208 233 第232组： 105 252 273

880 884234 250588 595128 160132 165；85；88；92；96；99第233组： 第234组： 第235组： 第236组： 第237组： 第238组： 第239组： 第240组： 第241组： 第242组： 第243组： 第244组： 第245组： 第246组： 第247组： 第248组： 第249组： 第250组： 第251组： 第252组： 第253组： 第254组： 105 360 375 105 608 617 105 784 791 108 144 180 108 231 255 108 315 333 108 480 492 108 725 733 108 969 975 110 2 286 110 600 610 111 148 185 111 680 6 112 180 212 112 210 238 112 384 400 112 441 455 112 780 788 114 152 190 114 352 370 115 252 277 115 276 299

第255组： 第256组： 第257组： 第258组： 第259组： 第260组： 第261组： 第262组： 第263组： 第2组： 第265组： 第266组： 第267组： 第268组： 第269组： 第270组： 第271组： 第272组： 第273组： 第274组： 第275组： 第276组： 116 837 845 117 156 195 117 240 267 117 520 533 117 756 765 119 120 169 119 408 425 120 126 174 120 160 200 120 182 218 120 209 241 120 225 255 120 288 312 120 350 370 120 391 409 120 442 458 120 594 606 120 715 725 120 6 904 121 660 671 123 1 205 123 836 845

第277组： 第278组： 第279组： 第280组： 第281组： 第282组： 第283组： 第284组： 第285组： 第286组： 第287组： 第288组： 第2组： 第290组： 第291组： 第292组： 第293组： 第294组： 第295组： 第296组： 第297组： 第298组： 124 957 965 125 300 325 126 168 210 126 432 450 126 560 574 128 240 272 128 504 520 129 172 215 129 920 929 130 144 194 130 312 338 130 840 850 132 176 220 132 224 260 132 351 375 132 385 407 132 475 493 132 720 732 133 156 205 133 456 475 135 180 225 135 324 351

第299组： 第300组： 第301组： 第302组： 第303组： 第304组： 第305组： 第306组： 第307组： 第308组： 第309组： 第310组： 第311组： 第312组： 第313组： 第314组： 第315组： 第316组： 第317组： 第318组： 第319组： 第320组： 135 352 377 135 600 615 136 255 2 136 273 305 136 570 586 138 184 230 138 520 538 140 147 203 140 171 221 140 225 265 140 336 3 140 480 500 140 693 707 140 975 985 141 188 235 143 780 793 143 924 935 144 165 219 144 192 240 144 270 306 144 308 340 144 420 444

第321组： 第322组： 第323组： 第324组： 第325组： 第326组： 第327组： 第328组： 第329组： 第330组： 第331组： 第332组： 第333组： 第334组： 第335组： 第336组： 第337组： 第338组： 第339组： 第340组： 第341组： 第342组： 144 567 585 144 0 656 144 858 870 145 348 377 145 408 433 147 196 245 147 504 525 150 200 250 150 360 390 150 616 634 152 285 323 152 345 377 152 714 730 153 204 255 153 420 447 153 680 697 154 528 550 154 840 854 155 372 403 155 468 493 156 208 260 156 320 356

第343组： 第344组： 第345组： 第346组： 第347组： 第348组： 第349组： 第350组： 第351组： 第352组： 第353组： 第354组： 第355组： 第356组： 第357组： 第358组： 第359组： 第360组： 第361组： 第362组： 第363组： 第3组： 156 455 481 156 495 519 156 667 685 159 212 265 160 168 232 160 231 281 160 300 340 160 384 416 160 630 650 160 792 808 161 240 2 161 552 575 162 216 270 162 720 738 165 220 275 165 280 325 165 396 429 165 532 557 165 900 915 168 224 280 168 270 318 168 315 357

第365组： 第366组： 第367组： 第368组： 第369组： 第370组： 第371组： 第372组： 第373组： 第374组： 第375组： 第376组： 第377组： 第378组： 第379组： 第380组： 第381组： 第382组： 第383组： 第384组： 第385组： 第386组： 168 374 410 168 425 457 168 490 518 168 576 600 168 775 793 168 874 0 170 2 314 170 408 442 171 228 285 171 528 555 171 760 779 174 232 290 174 832 850 175 288 337 175 420 455 175 600 625 176 210 274 176 330 374 176 468 500 176 693 715 176 960 976 177 236 295

第387组： 第388组： 第3组： 第390组： 第391组： 第392组： 第393组： 第394组： 第395组： 第396组： 第397组： 第398组： 第399组： 第400组： 第401组： 第402组： 第403组： 第404组： 第405组： 第406组： 第407组： 第408组： 180 1 261 180 240 300 180 273 327 180 299 349 180 385 425 180 432 468 180 525 555 180 663 687 180 800 820 180 1 909 182 624 650 183 244 305 184 345 391 184 513 545 185 444 481 185 672 697 186 248 310 186 952 970 1 252 315 1 340 3 1 8 675 1 840 861

第409组： 第410组： 第411组： 第412组： 第413组： 第414组： 第415组： 第416组： 第417组： 第418组： 第419组： 第420组： 第421组： 第422组： 第423组： 第424组： 第425组： 第426组： 第427组： 第428组： 第429组： 第430组： 190 336 386 190 456 494 192 220 292 192 256 320 192 360 408 192 494 530 192 560 592 192 756 780 195 216 291 195 260 325 195 400 445 195 468 507 195 748 773 196 315 371 196 672 700 198 2 330 198 336 390 198 880 902 200 210 290 200 375 425 200 480 520 200 609 1

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