初中数学北京版八年级上册第十一章11.7二次根式的加
减法练习题
一、选择题
1. 下列二次根式中，能与√2合并的是( )
A. √23
B. √48 C. √20 D. √18
2. 下列运算正确的是( )
A. √(−2)2=−2
B. (2√3)2=6 C. √2+√3=√5 D. √2×√3=√6
3. 下列二次根式能与√3合并的是( )
A. √6
B. √8 C. √10 D. √12
4. 最简二次根式√3𝑚−1与√8的最简二次根式可以合并，则m的值是 【 】
A. 3 B. 1 C. −1 D. 4
25. 下列二次根式的运算： ①√2×√3=2√3; ②√18−√8=√2; ③√5=
2√5; ④√(−2)25
=−2;其中运算正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 下列二次根式化简后，与√2的被开方数相同的是( )
A. √12 B. √32 C. √23
D. √18
7. 若√3的整数部分为x，小数部分为y，则√3𝑥−𝑦的值是( )
A. 3√3−3 B. √3
C. 1 D. 3
8. 对于√2的理解错误的是( )
A. 是最简二次根式 C. √2<2
B. 是无理数 D. 能与√12进行合并
9. 已知最简二次根式√5𝑥−4与√4𝑥−2是同类二次根式，则x的值为( )
A. −2 B. 2 C. −3 D. 3
10. 已知最简二次根式√5𝑥−4与√4𝑥−2是同类二次根式，则x的值为( )
A. −2 B. 2 C. −3 D. 3
11. 如果√𝑎+1与√12的和等于3√3，那么a的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 下列各组的两个根式，是同类二次根式的是( )．
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A. √𝑥𝑦和√2𝑥𝑦
C. √20和−√15二、填空题
11
B. √8𝑎𝑏3和2√𝑎𝑏 D. √𝑎和√𝑎𝑏 13. √27与最简二次根式√𝑚−1是同类二次根式，则𝑚=______．
14. 若最简根式√𝑎+3与√11−3𝑎是可以合并的二次根式，则a的值是______． 15. 当𝑎=______时，最简二次根式√𝑎2−3与√1−3𝑎是同类二次根式． 16. 若𝑥=√2+1，𝑦=√2−1，则𝑥2𝑦+𝑥𝑦2=______． 三、解答题 17. 计算：
(1)2√2−3√2+6√2 (2)5√3+3√5−2√3 (3)√75+7√12 3
(4)√6−√
2
18. (1)计算：−4+3−√16；
(2)化简；𝑥2−𝑥+𝑥，并从0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
19. 已知𝑥=2(√7+√5)，𝑦=2(√7−√5)，求下列各式的值．
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1
1
𝑥+1
1
(1)𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2； (2)+． 𝑦𝑥
𝑥
𝑦
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原式=√，不符合题意；
36B、原式=4√3，不符合题意； C、原式=2√5，不符合题意； D、原式=3√2，符合题意． 故选：D．
各式化简得到结果，利用同类二次根式定义判断即可．
此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A：√(−2)2=2，故本选项错误； B：(2√3)2=12，故本选项错误；
C：√2与√3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确． 故选：D．
根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力的考查，本题较为简单．
3.【答案】D
【解析】解：√3的被开方数是3，
A、√6的被开方数是6，与√3的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意．
B、√8=2√2，它的被开方数是2，与√3的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意．
C、√10的被开方数是10，与√3的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意．，
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D、√12=2√3，的被开方数是3，与√3的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意． 故选：D．
化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定答．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4.【答案】B
【解析】 【分析】
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用最简二次根式定义求出m的值即可． 【解答】
解：∵√8=2√2， 由题意得：3𝑚−1=2， 解得：𝑚=1， 故选B．
5.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查了二次根式的乘除，二次根式的加减、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键．由二次根式的性质与化简，即可得出结论．
【解答】
解：①√2×√3=√6，故①错误，
②√18−√8=3√2−2√2=√2，故②正确， ③2√=52√5，故③正确， 5
④√(−2)2=2≠−2，故④错误； 故选B．
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6.【答案】D
【解析】 【分析】
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．解题的关键是根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【解答】
A、√12=2√3，与√2的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误； B、√3=√6，与√2的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；
2
2
C、√2=√6，与√2的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；
3
3
D、√18=3√2，与√2的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确． 故选：D．
7.【答案】C
【解析】 【分析】
此题主要考查了无理数，得出x，y的值是解题关键．
因为√3的整数部分为1，小数部分为√3−1，所以𝑥=1，𝑦=√3−1，代入计算即可． 【解答】
解：∵√3的整数部分为1，小数部分为√3−1， ∴𝑥=1，𝑦=√3−1，
∴√3𝑥−𝑦=√3−(√3−1)=1． 故选C．
8.【答案】D
【解析】解：√12=2√3，而2√3与√2不是同类二次根式，故不能合并， 故选：D．
根据实数的分类，最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求出答案． 本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．
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9.【答案】B
【解析】解：∵最简二次根式√5𝑥−4与√4𝑥−2是同类二次根式， ∴5𝑥−4=4𝑥−2， 解得𝑥=2． 故选：B．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程求解即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
10.【答案】B
【解析】 【分析】
此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程求解即可． 【解答】
解：∵最简二次根式√5𝑥−4与√4𝑥−2是同类二次根式， ∴5𝑥−4=4𝑥−2， 解得𝑥=2． 故选B．
11.【答案】C
【解析】 【分析】
此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】
解：∵√𝑎+1与√12=2√3的和等于3√3， ∴√𝑎+1=3√3−2√3=√3， 故𝑎+1=3， 则𝑎=2．
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故选C．
12.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键.先将各个二次根式化简，再分析即可得解． 【解答】
解：A．√𝑥𝑦=√，√2𝑥𝑦=𝑥𝑦
1
𝑥𝑦1
√2𝑥𝑦2𝑥𝑦
，不是同类二次根式；
B.√8𝑎𝑏3=2𝑏√2𝑎𝑏，和2√𝑎𝑏不是同类二次根式； C.√20=2√5，−√1=−√5，是同类二次根式；
5
5
D.√𝑎和√𝑎𝑏不是同类二次根式． 故选C．
13.【答案】4
【解析】解：√27=3√3，
∵√27与最简二次根式√𝑚−1是同类二次根式， ∴𝑚−1=3， 解得𝑚=4． 故答案为：4．
把√27化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意得𝑎+3=11−3𝑎， 解得𝑎=2． 故答案为2．
利用题意可判断√𝑎+3与√11−3𝑎为同类二次根式，则𝑎+3=11−3𝑎，然后解关于a的方程即可．
本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的
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被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
15.【答案】−4
【解析】 【分析】
此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，再由被开方数为非负数可得出a的值． 【解答】
解：∵最简二次根式√𝑎2−3与√1−3𝑎是同类二次根式， ∴𝑎2−3=1−3𝑎， 解得：𝑎=−4或1．
又∵𝑎2−3≥0，1−3𝑎≥0， 𝑎=1不成立，应舍去， 故a的值为−4． 故答案为−4．
16.【答案】2√2
【解析】解：∵𝑥=√2+1，𝑦=√2−1， ∴𝑥𝑦=(√2+1)(√2−1)=2−1=1， 𝑥+𝑦=(√2+1)+(√2−1)=2√2， ∴𝑥2𝑦+𝑥𝑦2=𝑥𝑦(𝑥+𝑦)=1×2√2=2√2．
先求出xy，𝑥+𝑦，再将𝑥2𝑦+𝑥𝑦2变形为𝑥𝑦(𝑥+𝑦).然后代入计算即可．
本题考查了代数式求值以及因式分解的运用，难度适中．能够根据字母的取值将所求式子进行因式分解是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2√2−3√2+6√2=5√2；
(2)5√3+3√5−2√3=3√3+3√5；
(3)√75+7√12 =5√3+14√3
=19√3；
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3√6(4)√6−√=√6− 22=
√6． 2
【解析】(1)(2)直接合并同类二次根式得出答案；
(3)(4)直接化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案． 此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】解：(1)−4+3−√16
=−4+3−4
=−5；
𝑥+11
+ 𝑥2−𝑥𝑥𝑥+11=+ 𝑥(𝑥−1)𝑥(2)==
=
2
𝑥+1+𝑥−1
𝑥(𝑥−1)2𝑥
𝑥(𝑥−1)𝑥−1
，
∵𝑥=0，1时，原分式无意义， ∴𝑥=2，
当𝑥=2时，原式=2−1=2．
2
【解析】(1)先化简，然后计算即可解答本题；
(2)根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19.【答案】解：(1)∵𝑥=2(√7+√5)，𝑦=2(√7−√5)，
∴𝑥+𝑦=√7，𝑥𝑦=2．
∴𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2=(𝑥+𝑦)2−3𝑥𝑦=7−2=
3
112
1
11
．
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(2)+=
𝑦
𝑥
𝑥𝑦
(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦
𝑥𝑦
=
7−1
12
=12．
【解析】本题考查了代数式的求值，二次根式的运算，配方法的应用，属于中档题． (1)将𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2变形为(𝑥+𝑦)2−3𝑥𝑦，再代入x，y的值计算即可； (2)将𝑦+𝑥变形为𝑥
𝑦
(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦
𝑥𝑦
，再代入x，y的值计算即可．
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