高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结

一、等差数列与等比数列 定义 通项公式 递推公式 中项 等差数列 an1-an=d 等比数列 an1=q(q0) anan=a1qn1(q0) an=an1q an=amqnm an=a1+（n-1）d an=an1+d, an=am+(n-m)d aankabA= 推广：A=nk（n,k 22N+ ;n>k>0） G2ab。推广：G=ankank（n,k N+ ;n>k>0）。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个 前n项和 性质 a1(1qn)Sn= 1qaanqSn=1 1q（1）若mnpq，则amanapaq； （1）若mnpq，则·anap·aq （2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数amSn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍列，n2为等比数列,公比为q 列，公差为nd； （3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则nSn=（a1+an） 2n(n1)Sn=na1+d 2amS2m1 bmT2m12（5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数） （6）d=aman(mn) mn(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 二、求数列通项公式的方法

1、通项公式法：等差数列、等比数列

an2、涉及前ｎ项和Sn求通项公式，利用an与Sn的基本关系式来求。即

s1a1(n1)snsn1(n2)例1、在数列｛an｝中，Sn表示其前ｎ项和，且Snn,求通项an.

2例2、在数列｛an｝中，Sn表示其前ｎ项和，且Sn23an,求通项an 3、已知递推公式，求通项公式。

（1）叠加法：递推关系式形如an1anfn型

例3、已知数列｛an｝中，a11，an1ann，求通项an 练习1、在数列｛an｝中，a13，an1an2，求通项an

nan1ann例4、在数列｛an｝中，a11，a an，求通项an n1n1n练习2、在数列｛an｝中，a13，an1an•2，求通项an fn型 （2）叠乘法：递推关系式形如 （3）构造等比数列：递推关系式形如an1AanB(A,B均为常数，A≠1,B≠0) 例5、已知数列｛an｝满足a14，an3an12，求通项an 练习3、已知数列｛an｝满足a13，an12an3，求通项an （4）倒数法

an1例6、在数列{an}中，已知a11, ,求数列的通项an

四、求数列的前n项和的方法

1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式：Sn2anan2n(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1n等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq

(q1)1q1q2、错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和. 222223n1[例2] 求和：Sn13x5x7x(2n1)x

a1ana2an1amanm1 3、倒序相加法：数列｛an｝的第m项与倒数第m项的和相等。即：

[例3] 求sin1sin2sin3sin88sin的值 [例4] 函数fx对任xR都有fxf1x f0f222221，求： 212n1fff1 nnn4、分组求和法：主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列 [例5] 求数列：11111,2,3,,nn,的前n项和 2482 [例6] 求和：a1a2a3an

23n5、裂项相消法：通项分解 （1）an1111111() （2）ann(n1)nn1n(nk)knnk111n1n （4）an(nkn)

n1nnknk212n，又bn，求数列{bn}的前n项的和. an•an1n1n1n1 （3）an[例7] 在数列{an}中，an[例8] 已知正项数列{an}满足a1且a21n1a2n1nN*

（Ⅰ）求数列{an}的前n项的和 （Ⅱ）令b1naa，求数列{bn}的前n项的和Tn

nn1五、在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题

：(1)当a时，满足am01>0,d<0的项数m使得sam取最大值.

m10 (2)当aam01<0,d>0时，满足的项数m使得sa0m取最小值。

m1