(完整版)材料力学考研综合精彩试题

综合题

1 图示结构均用Q235钢制成，材料的弹性模量E200 GPa，在梁端截面B处有一重量为P的物体自B正上方高度h处自由下落，已知：P10 kN，

梁的横截面惯性矩IAl2/3，杆BC的横截面积为A， l1000 mm，h1 mm，

杆BC为大柔度杆，其直径d30 mm，试求点B的铅垂位移。

解：变形协调

P (PFN)l3/(3EI)FNl/(EA)

hFNP/2

ABlΔstFNl/(EA)0.0354 mm

PdP[1(12h/Δst)1/2]85.8 kN

l2FNdPd/242.9 kNFcrπEI/l78.48 kN

2wdBFNdl/(EA)0.303 mm

C

2 图a所示杆AC与弹簧相连，受到重量为P的重物自高h处自由下落的冲击。杆AC长为l，横截面面积为A，材料弹性模量为E，弹簧刚度为k N/mm，在未受冲击时弹簧不受力。试导出C处的最大动位移dmax的计算公式。

APhCklFAP FB (a) (b) 解：图b,平衡 FAFBP FAl/(EA)FB/kBFAP/[1kl/(EA)]stFAl/(EA)P/(EA/lk)dst[1(12h/st)1/2]

3图示截面为bh7525 mm2的矩形铝合金简支梁，跨中点C增加1弹簧刚度为k18 kN/m的弹簧。重量P250 N的重物自C正上方高h50 mm处自由落下，如图a所示。若铝合金梁的弹性模量E70 GPa。试求：

（1）冲击时，梁内的最大正应力。

（2）若弹簧如图b所示放置，梁内最大正应力又为多大？

文案大全

实用标准文档

P50A1.5mB1.5mhbA1.5m(b)P50C1.5mBC(a)

解：st,aPl/(48EI)P/k0.0345 m

3st,aPl/(4W)24 MPa

Kda112hst,a2.97

da2.972471.4 MPa 弹簧受压力Fk（静荷时）

(PFk)l3/(48EI)Fk/k,Fk149 N,PFk101 N

st,b(PFk)l/(4W)9.70 MPa

st,bFk/k8.28 mm,Kd,b4.616

dbKdst44.8 MPa

4 图a所示重量为P2 kN的重物，自高度h10 mm处自由下落冲击直径为d的圆横截面杆组成的水平框架上的点C处。已知弯曲刚度EI133.6 kNm2，

。试求截面C的最大铅垂位a1 m，切变模量G0.4E（E为材料的弹性模量）

移。

yABaCPhaDOzxEaBaAP/2aCMC

(a) (b) P2aMCa2Paa(MC)0 解：CEI2EI2GIp MCΔst,C7Pa1Pa (Ip2I)， TBAMCPa(顺) 1829P3P3aa2MCaTa22BAa3EI2EI3EIGIpPa37Pa3Pa3Pa36EI36EI6EI7.2EI5Pa34.158 mm18EI文案大全

实用标准文档

Kd1(12h/Δst,C)1/23.41Δd,C4.1583.4114.2 mm

5图a所示两端固定的超静定梁横截面为矩形，高为h，宽为b，材料的弹性模量为E，重量为P的重物自梁中点C处正上方高h0处自由落下。试求冲击时的最大动应力dmax。

Ph0Al/2Cl/2BAl/2P/2CMC

(a) (b)

解：忽略轴力影响，有静定基如图b,用迭加法

Pl2l()MC20C222EIEI 11MCPl，MAPl

88Pl3l()MC()2Pl3222 ΔC3EI2EI192EI12h013Kd1(1)21[1384EIh0/(Pl)]2

ΔCMC384EIh013PldKd[1(1)2] 23W4bhPl

6 图a所示梁AB用梁CD加强，E、D间通过一刚体接触,两梁的弯曲刚度均为EI。重为P的重物自B处正上方高h处以初速度v0下落，冲击梁AB。P、v0、

l为已知，试求：

(1) 若已知重物自由下落时的动荷因数Kd1(12h/Δst)1/2，用此式如何导

出有初速度v0时的Kd； (2) 求梁AB的最大动弯矩。

PAClEDlv0BhPAEBFED

CD (a) (b)

2/(2g)]/B}1/2 解：Kd1(12h1/B)1/21{12[hv0FEFD

'wE(P)wE(FED)wD(FED)

5Pl3/(6EI)FEDl3/(3EI)FEDl3/(3EI) FED5P/4

文案大全

实用标准文档

FEDl3FEDl2P(2l)313Pl3B(l)

3EI3EI2EI8EI2Kd1[18EI(2ghv0)/(13Pl3g)]1/2

MEPlKd,MA3PlKd/4,MEMmax

MmaxPl{1[18EI(2ghv0)/(13Plg)]}

7 图a所示半径为R，弯曲刚度为EI的等截面薄圆环在直径AB两端作用一对突加载荷F，试求AB间相对动位移。

FARDCAR2312CXBFF/2

(a) (b)

解：由结构、载荷对称性，C、D横截面剪力为零，静定基如图b：

FMM()XR(1cos)，1

2Xπ1 2M11CM()Rd0XFR()

EI 0X2π，

1 2Mπ28FR3ΔCyMRd  0FEI8πEI()22(π8)FR33ΔABst2ΔCyFR0.149

4πEIEI突加载荷 Kd2

FR3ΔAB,dKdΔAB,st0.298

EI8图a所示梁AB和杆CD均由Q235钢制成，材料的弹性模量E200 GPa，l1000 mm，h40 mm，b20 mm，d30 mm，重物重P2 kN，自高度h0π处自由落下，试求：

（1） 使杆CD中轴力达临界力时的高度h0；

（2） 杆CD中轴力达临界力时梁内的最大动应力(d)max。

文案大全

实用标准文档

PAl/2lCh0Bl/2bhPACFBdD

(a) (b)

解：杆CD 133P

Fcrπ2EI/l278.5 kN

(PFN)l3FNlwClCD，

48EIEAFNAl2P/(48IAl2)1.9856 kN

若KdFNFcr，则 KdFcr/FN39.5

Kd1(12h0/Δst)1/2，h0Δst[(Kd1)21]/2

FNl1.405102 mm，h010.4 mm EAPFNld,maxKd()/WKd(PFN)l/(bh2/6)26.7 MPa

229图示结构中，C，D处均为球铰。刚架ABC的横截面惯性矩Iz7114.14 cm4，弯曲截面系数W508 cm3，圆截面杆CD直径d40 mm，二者材料相同，弹性模量E200 GPa，许用应力[]160 MPa，若l1 m，稳定安全因数nst3，

Δst杆CD可视为大柔度杆。试确定许用载荷[M]值。

MeBCBFMeFCl

lAlDAEIEAD F (a) (b)

解：B,Ml(wC,FB,Fl)lCD

MlFl3FllFl l(l)EIz3EIzEIzEA3MAlF0.719M/l

4Al23Iz文案大全

实用标准文档

maxMB/WFl/W0.719M/W160106 [M]113 kNm(按强度)

[Fcr]Fcr/nst2EI/(nstl2)82.7kN0.719M/l [M]115 kNm（按稳定） 许可载荷

[M]113 kNm

11 图示平面结构，刚性横梁AB与圆横截面直径相同的杆1和2均由Q235钢制成，弹性模量E200 GPa，直径均为d26 mm，杆长l1300 mm。试求此结构的临界载荷Fcr。

Faaa解：杆1

1173，cr'π2E/12 ABFcr'A1cr'46.6 kN

l12杆2

2140，cr''π2E/22 Fcr''A2cr'53.5 kN

MA0，Fcr'aFcr''2aFcr3a Fcr(Fcr'2Fcr'')/351 kN

12图示刚性横梁AD，a1.2 m，杆1，2均由Q235钢制成，屈服极限s235 MPa，弹性模量E200 GPa，横截面均为圆形，直径d130 mm，d236 mm。试求结构的极限载荷Fu。

1ABaaEaC2FDaGaAFAyBF1CF2FD

(a) (b)

解：结构的极限状态，杆1屈服，杆2失稳 杆1：FBsA1166.1 kN 杆2：4a/d2133.3 crπ2E/2111 MPa FcrcrA2113 kN Fsa2FcraFu3a

Fu(Fs2Fcr)/3131 kN

13对于均质梁、不同材料组合梁、材料拉压弹性模量不等梁、平面曲梁，在纯弯曲时横截面上中性轴的位置均由静力学关系式确定。试画出下列各情况下中性轴（水平方向）的位置，图中C为形心。图a为均质直梁弹性弯曲；图b为

文案大全

实用标准文档

均质直梁全塑性弯曲；图c为异料组合梁弹性弯曲；图d为EE时的弹性弯曲；图e为曲梁的弹性弯曲。

E1CCCE2E1(a)(b)(c)ACEE且M0(d)C初始曲率中心在下方(e)

解：中性轴位置均由静力学关系式FNdA0 来确定，下图中nn表示中性轴。

E1nC(a)nnC(b)nnnE2E1(c)CnC(d)nnC(e)n

14 图示结构为弹性模量E，许用应力[]，高h、宽b的矩形横截面外伸梁，受均布载荷（载荷集度q未知）作用。试求当梁上最大正应力等于[]时，梁AB段中点D的挠度值。

qAa22DaBaCbh

解：max(qa/2)/(bh/6)[]

q(2/a2)(bh2/6)[]bh2[]/(3a2)

wD5q(2a)4/(384EI)(qa2/2)(2a)2/(16EI)qa4/(12EI)bh2a2[]/(36EI) ()

15 图示两根完全相同的悬臂梁，弯曲刚度为EI，在自由端两者有一间隙Δ，今有一重量为P的重物从高度h处落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹形范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。

解：当梁受到最大冲击力Fd作用时，上梁的最大

Ph挠度为Δd，下梁的最大挠度为ΔdΔ，根据能量守恒原理，有

1213EI kΔdk(ΔdΔ)2P(hΔd)，其中k3

22lkΔ22Ph即 kΔd(kΔP)Δd20

所以

Δl21PPP2ΔdΔΔ2Δ2h （1）

2kkR文案大全

实用标准文档

设两梁中间的相互作用力为F，则

FdFkΔd,Fk(ΔdΔ) 消去F得最大冲击力

3EI Fdk(2ΔdΔ)3(2ΔdΔ) （2）

l

16 图示截面尺寸和材料均相同的悬臂梁AB和CD长为l，弯曲刚度为E1I1，强度足够，垂直间距为l/2。若在两梁的自由端装配细长杆BD，其拉压刚度为E2A2，弯曲刚度为E2I2，试求加工杆BD时的最大许可过盈量。

ABl/2ClD

解：设杆BD受压力为FN，加工过盈量为Δ。变形协调条件为

2FNl3FNl Δ

3E1I12E2A24π2E2I2压杆失稳条件 FN 2l2E2I2lI2解出 Δmax4π23EI 2Al11217 图示边长a = 10 mm的正方形截面钢杆两端被固定，在中段三分之一长

度上，四周侧面作用均布压力p = 100 MPa。设泊松比= 0.3，试求杆两端的约束反力。

al/3l/3l/3papppp

解：设杆两端的约束反力为FR。变形协调条件为3段总伸长量为零： l1l2l30 物理条件：上段和下段的压缩量相等

l1l3FRl 3EAl中段伸长量 l2

31F R(pp)

EA2pA2 kN 解出 FR3文案大全

实用标准文档

Fl3(PF)l3Fa 3E1I3E1IE2A式中l = 2 m，a = 0.5 m，解得 F0.482P

Fl3Fl25Fl3ΔEl6.69103m6.69mm

3E1I2E1I6E1I(PF)l30.51850103233ΔD2.8810m 63E1I32410Kd112hΔD3.82

故E处动挠度

ΔdKdΔE3.826.6925.6mm()

18 图a所示圆形等截面折杆ABC，直径为d，A端固定，材料的弹性模量为E，切变模量G=0.4E，C端用弹簧刚度为k的水平弹簧沿垂直于ABC平面方向支承，折杆各段长度相等，即lABlBCl，未受冲击前，弹簧为原长。今有重量为P的物体以水平速度v沿垂直于ABC平面方向冲击点B处，试求弹簧所受的动拉力。

kClvPABlFCPB

(a) (b)

解：由图b，静力P作用时

33FPl3FlFlFllΔCl

k3EI3EI3EIGIpFPl323Fl34kl3P ，F k3EI12EI12EI23kl3(PF)l312EI19kl3Pl3ΔB

3EI12EI23kl33EIKdv2(12EI23kl3)3EIv2 gBg(12EI19kl3)Pl3A

FdKdF4klv3EIPl 33g(12EI19kl)(12EI23kl)式中Iπd4

文案大全

实用标准文档

19 图a所示半径为R的圆环，以等角速度绕在圆环平面内的直径轴Oy旋转，圆环的材料密度为，横截面积为A，试求圆环截面A和B的弯矩值。

yAROBOARqd()ARdqd()XOX

(a) (b) (c)

解：圆环旋转时，惯性力集度轴对称。取静基图b qd()AR2cos

Rd微段惯性力在角截面引起的弯矩（图c）

dMq()A2R3cos(sinsin)d

1π Mq()dMq()A2R3sin2 (0)

22角截面弯矩

1MM()XMq()XA2R3sin2,12X π12MBMRd0 0EIX1 MBXAR32 （外侧受拉）

41π MAMAR32（内侧受拉）

42

20 图示等圆截面钢制水平放置直角折杆，其A处为自由端，C处为固定端，该杆直径为d，弹性模量为E，切变模量为G。试求当重为P的钢球突然滚到点A上时，截面A下沉位移ΔA?（只列出文字结果即可） 钢球CAB解：用逐段刚化法迭加得

d333PlPlPllPl21l Δstl 43EI3EIGIpπd3E2GCB突加载荷，动荷因数Kd = 2，故

Pl341Δd2Δst lπd43EG俯视图

A

文案大全

实用标准文档

21 图a所示两端均为固定铰支座的半圆弧杆，位于铅垂平面内，杆的弯曲刚度为EI，重量为P的重物自C正上方高h处自由下落于杆C处，忽略轴力和剪力的影响。试求B处水平动约束力。

hCRPCRAOBOP/2X

(a) (b)

解：图b

PMM()XRsinR(1cos)，Rsin

2Xπ12MPΔBHMRd0， X 0EIXππ12MPR3 ΔBVMRd0.014 0EIEIP2ΔCst

PR32hEI0.014,Kd11EI0.014PR32hEIPFBx,dKdX1130.01PRπ

22图a所示等截面小曲率杆位于铅垂面内，在线弹性范围工作，横截面的弯曲刚度为EI，轴线曲率半径为R。重量为P的重物自C正上方高h处自由下落于C处。试求C处铅垂动位移。

P/2PCRAOBhCXRA

(a) (b)

解：图b

PMM()RsinXR(1cos)， R(1cos)

2X文案大全

实用标准文档

12MPΔCHMRd0,X() 0EIX3π8 M

RsinP2π12M3π2-8π-4PR3PR3 ΔstMRd0.0418PEI 08(3π-8)EIEI2动荷因数

2h Kd11

πΔstΔC dPR3KdΔst0.0418EI2hEI110.0418PR3 

23图a所示平面等截面杆系的节点A作用有力F，各杆截面尺寸、形状、材料相同，且服从非线性弹性规律B，B为常数。试求各杆内力。

FB4545AlDClFBAFFBAFDCFCDFD

(a) (b) (c)

解：设AD杆内力为多余约束力，则取图b静定基，由平衡（图c），得 FB = F - FD ， FC2(FFD)

各杆的余能（设各杆横截面积为A）

3Fili2 VcivciAlidAli2dAli 22B3BA系统余能

1l333333VcVci(FlF2lFl)(FF)4(FF)FBCDDDD

3B2A23B2A2Vc0得 由ΔDFD 4FD10FFD5F20,FD0.691F 各杆内力

FABF0.691F0.309F（拉） FAC2(F0.691F)0.437F（压）

文案大全

2实用标准文档

FAD0.691F（压）

文案大全