初中几何模型费马点最值模型

费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

BPAPCP=BP PQQEBE当B、P、Q、E四点共线时取得最小值

费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

典题探究 启迪思维 探究重点

例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC的值最小. 证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°,

∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A、G、P三点一线。 ∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G、P、D三点一线。

∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 ∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点

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1．如图，P是边长为1的等边ABC内的任意一点，求tPAPBPC的取值范围.

解：将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BP'C'， 易知BPP'为等边三角形.

从而PAPBPCPAPP'P'C'AC' （两点之间线段最短），从而t3.

过P作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N， 易知MNANAM.

因为在BMP和PNC中， PBMPBM①， PCPNNC②。

又APMANMAMN，所以PAAM③. ①+②+③可得

tAMBMMPNPNCABMNNC1ANNC2，

即t2.综上，tPAPBPC的取值范围为3t2.

例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长．

解 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，

可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE， ∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．

∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．

∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上． 设正方形的边长为a，那么 BO=CO=62a． a，GC=2a, GO=2262a． a+22∴ BG=BO+GO =

∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26．

∴

62a=26，解得a=2． a+22注 本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．

变式练习>>>

2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.

例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．

A1000mD600mA1P1

BHPCA【解答】6005003，线段A1E为最短．

变式练习>>>

DPBHEC3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，

由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N， ∵M在BC上，

∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值， 设D′M交AD于E，

∵△ADD′是等边三角形， ∴EM＝AB＝500，

∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣∴D′E＝

AD＝400

，

，

∴D′M＝400+500， ∴最少费用为10000×（400

+500）＝1000000（4+5）元；

）

∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣米处，最少费用为1000000（4

+5）元．

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1. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

FFAMDAGDAGDMMBECBECBEHC

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG， 易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值433．

2. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（ ）

A．+ B．+ C．4 D．3 【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF， 当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小． 理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形， ∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC， ∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，

作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形， 在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2， ∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1， ∴EC＝

＝

＝

＝

＝

＝+．

∴PA+PB+PC的最小值为

+．故选：B．

3．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为 4 ．

【解答】解：如图，连接MN，∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°． ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN． 即∠MBA＝∠NBE． 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）， ∴AM＝EN， ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°， ∵BC＝4，

∴BF＝2，EF＝2，在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2＝EC2， EC＝4． 故答案为：4