江西省南昌市南昌三中2021届高二期末考试文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．命题“x(0,1),x2x0”的否定是（ ）

2A．x0(0,1),x0x00 2C．x0(0,1),x0x00

2B．x0(0,1),x0x00 2D．x0(0,1),x0x00

2．已知集合A1,2,3，B{x|A．0,1,2

B．1,2

2x0}，则AB( ) xC．2,3

D．0,2,3

3．设UR，A{x|2x1}，B{x|log2x0}，则BA．{x|x0}

B．

UA( )

D．{x|0x1}

|1 xxC．{x|0x1}

24．已知全集UR，集合Axx4，B{x|x30}，则UAB等于x1( )

A．{x|2x1} C．{x|2x2}

B．{x|3x2} D．{x|3x2}

5．已知p，q是简单命题，那么“𝑝∧𝑞是真命题”是“￢𝑝是真命题”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（ ） A．＞

1a1bB．

11＞ abaC．

ab1313

D．a2＞b2

7．若ab1，0c1，则（ ） A．acbc

B．abcbac

logaclogbc C．alogbcblogac D．

ex8．函数f(x)＝的图象大致为（ ）

xA． B．

C． D．

9．已知两个正数a，b满足3a2b1，则A．23

B．24

32的最小值是( ) abC．25

D．26

xy2010．y满足不等式组2xy30，已知实数x，若zx2y的最大值为3，则a的

0ya值为（ ） A．1

2B．

3 2C．2 D．

7 311．设p：fxxmx在0,内单调递增，q：mA．充分必要条件 C．充分不必要条件

1，则p是q的( ) 2B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3212．已知函数f(x)x2ax3bxc的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，

则2a-b的取值范围是（ ） A．(3,1) 2B．(,)

3322C．(,)

1322D．(1,)

32

二、填空题

13．命题：“xR，x22xm0”的否定是______．

14．已知A{x|x2x0}，B{x|21xa0}，若AB，则实数a的取值范围是______ ．

x1，x0，115．设函数f(x)x则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是

22，x0，____________.

a44b4116．若a,bR，ab0，则的最小值为___________.

ab

三、解答题

17．已知命题p：函数y(1a)x是增函数，q：关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，若pq为假，pq为真，求a的取值范围．

18．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）

（1）应收集多少位女生样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：

.估计该校学生每周平均体育

运动时间超过4个小时的概率.

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：

n(adbc)2K

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879

19．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（2）若PA∥平面BDE，求三棱锥E-BCD的体积．

x2y220．已知椭圆C：221(ab0)，其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：

abxmy30与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e3； 2(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若椭圆存在点M，使得2OMOA3OB，求直线l的方程．

21．已知函数fxx23lnx1 x(Ⅰ)求函数fx的单调区间：

21,eII求fx在区间上的值域；

1xt222．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐

3y1t2标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2sin．

1判断直线l与圆C的交点个数；

2若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．

23．

设函数fx2x1x2． （1）解不等式fx0；

（2）若x0R，使得fx02m4m，求实数m的取值范围．

2

参

1．B 【分析】

根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断. 【详解】

“全称命题”的否定一定是“特称命题”，

2命题“x(0,1),x2x0”的否定是x0(0,1),x0x00，

故选：B. 【点睛】

本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题. 2．B 【分析】

首先求得集合B，然后进行交集运算即可. 【详解】

因为A{1,2，3}，B{x|2x0}{x|0x2}， x所以AB1,2．

本题选择B选项. 【点睛】

本题主要考查结合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．C 【分析】

分别化简集合A，B，然后根据交集和补集的定答即可． 【详解】

因为UR，A{x|21}{x|x0}，

xB{x|log2x0}{x|0x1}，

}． 所以CUA{x|x0}，BCUA{x|0x1本题选择C选项. 【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．A 【解析】 【分析】

首先求出集合A和集合B，再进行补集和交集的运算即可求解此题． 【详解】

因A{x|x2或x2},B{x|3x1}，

故CUA{x|2x2}，

}， 所以CUAB{x|2x1本题选择A选项. 【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，结合的交并补运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．D

【解析】试题分析：若𝑝∧𝑞是真命题，则𝑝为真命题，且𝑞为真，而¬𝑝为假命题，所以“𝑝∧𝑞是真命题”是¬𝑝为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D． 考点：1．充要条件；2．含有逻辑联结词的命题的真假性． 6．B 【分析】 根据y11的单调性，可知A成立，B不成立；根据yx3和yxx2的单调性，可知D成

立. 【详解】

y111在,0上单调递减 ，A成立 xab又0aba 1311，B不成立 aba11yx在,0上单调递增 a3b3，C成立

yx2在,0上单调递减 a2b2，D成立

故选B 【点睛】

本题考查利用函数单调性比较大小的问题，关键是能够建立起合适的函数模型，根据自变量的大小关系，结合单调性得到结果. 7．C 【详解】

试题分析：用特殊值法，令a3，b2，c选项B错误， log3因为

11111得2选项A错误，322232，2，23211log2，选项D错误， 22ablgaalgbbalogbcblogaclgc()lgc(),ab11bbabaalgblgalgblgalgaalgbb0lgblga【考点】

指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 8．B 【分析】

首先由函数的定义域可排除A，再根据函数值在x>0，x<0上的正负以及单调性可确定选项.

0c1lgc0alogbcblogac选项C正确，故选C．

【详解】

ex函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，可排除A；

xxexex当x>0时，函数f′(x)＝，可得函数的极值点为：x＝1，当x∈(0，1)时，函数是减2x函数，x>1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B、D满足题意．

ex当x<0时，函数f(x)＝<0，选项D不正确，选项B正确．

x故选：B 【点睛】

本题考查由函数解析式确定函数的图像，定义域，值域，对称性，单调性是常用的判断方法，本题属于中档题. 9．C 【分析】

3232326a6b3a2b13，根据题意，分析可得，对其变形可得ababaabb由基本不等式分析可得答案． 【详解】

根据题意，正数a，b满足3a2b1， 则

326a6b326a6b3a2b13132?25， ababaabb1时等号成立. 5当且仅当ab即

32

的最小值是25． ab

本题选择C选项. 【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 10．A

【解析】

画出可行域如下图所示，由图可知目标函数经过点A时，取得最大值，联立{yx2ya解得

Aa2,a，代入目标函数得a22a3,a1.

11．C 【解析】 【分析】

首先由命题p确定m的取值范围，然后确定命题p和命题q的关系即可. 【详解】

p：fxxmx在0,内单调递增，

2m0，解得m0． 21， 2又q：m则p是q的充分不必要条件． 本题选择C选项. 【点睛】

本题考查了二次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．B 【分析】

求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围． 【详解】

由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b， f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内， 由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，

f'0＜0即f'1＞0，令z＝2a﹣b， f'1＞03b＜0∴转化为在约束条件为34a3b＞0时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不

34a3b＞0包括边界），

目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（取得最小值333，0）处取得最大值，在（，0）处4243， 233，）． 22因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（故选B．

【点睛】

本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算

能力，属于中档题． 13．xR,x22xm0. 【解析】 【分析】

根据全称命题的否定是特称命题，可得结果． 【详解】

全称命题的否定为特称命题，

22由题意可知，命题“xR,x2xm0“的否定是：xR,x2xm0．

故答案为xR,x2xm0．

2【点睛】

对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 14．,2. 【解析】 【分析】

由题意，要由包含关系求出参数的范围，先得化简两个集合，再比较两个集合得出参数的取值范围． 【详解】

由题意，A{x|xx0}{x|0x1}，

2B{x|21xa0}{x|x1log2a}，

又AB，所以1log2a0，解得a2， 故实数a的取值范围是,2．

故答案为,2． 【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，由集合之间的关系求参数的取值范围，对数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．(,) 【解析】

141111时，2x2x21恒成立，即x；当0x时，22211112xx11 恒成立，即0x；当x0时，x1x11x，

224211即x0.综上，x的取值范围是(,).

44由题意得： 当x【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.

16．4 【解析】

a44b414a2b21114ab24ab4 ，（前一个等号成立条件是

ababababa22b2，后一个等号成立的条件是ab1，两个等号可以同时取得，则当且仅2当a2222时取等号）. ,b24【考点】均值不等式

22利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）a,bR,ab2ab ，【名师点睛】

当且仅当ab时取等号；（2）a,bR ，ab2ab ，当且仅当ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.

17．0a2或a2. 【解析】 【分析】

求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】

若y(1a)是增函数，则1a1，即a0， 若不等式x22ax40对一切xR恒成立， 则判别式4a2160，即a24，得2a2， 若pq为假，pq为真， 则p，q为一真一假， 若p真q假，则xa0a2或a2，即a2，

a0若p假q真，则，即0a2，

2a2综上0a2或a2 【点睛】

本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．

18．（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 【解析】

试题分析：（1）由分层抽样性质，得到300450090；（2）由频率分布直方图得

15000120.10.0250.75；（3）利用2×2列联表求K2.

试题解析： （1）由300450090，所以应收集90位女生的样本数据．

15000（2）由频率发布直方图得120.10.0250.75，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.

（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别列联表

每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计

结合列联表可算得K2男生 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300 300456030165752252109024.7623.841

有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”

点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

19．(1)证明见解析.(2) . 【分析】

（1）要证平面BDE平面PAC，可证BD平面PAC，PA平面ABC，运用面面垂直的判定定理可得平面PAC平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BDAC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；

（2）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值． 【详解】

(1)证明：由已知得PA平面ABC，PA平面PAC，∴平面PAC平面ABC，平面

13PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，∴BD平面PAC，BD平

面BDE，∴平面BDE平面PAC. (2) PA//平面BDE，又平面PAC平面BDEDE，PA平面PAC，∴PA//DE，

D是AC中点，∴E为PC的中点，∴DE1，∴SBDE111SABC221，222111VEBCD1DE11.

333x220．(Ⅰ)y21.(Ⅱ)x2y30．

4【分析】

(Ⅰ)过F1直线l ：xmy30，以及离心率结合a、b、c关系，求解即可得到椭圆方

程;

(Ⅱ)设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx3,y3，联立直线l：xmy30与椭圆

x2C:y21的方程组，利用韦达定理以及题设条件，即可求出m的值，得到直线l的方

4程． 【详解】

(Ⅰ)过F1直线l ：xmy30， 令y0，解得x3，

c3， ec3， a2a2，

b2a2c2431，

2x椭圆C的方程为y21； 4(Ⅱ)设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx3,y3，

由2OMOA3OB，

得：x31x13x2，y31y13y2,

2222代入椭圆方程可得：

11313(x1x2)2(y1y2)210， 422221133122x12y12x2y2x1x24y1y21， 44448x1x24y1y20，

xmy30， 联立方程22x4y40消x可得m24y223my10，

y1y2123m，， yy1222m4m4x1x24y1y2my13my234y1y2, m24y1y23my1y230，

即m22，

解得m2，

所求直线l 的方程：x2y30．

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21．(Ⅰ)fx在0,1和2,上单调递增，在1,2上单调递减．(Ⅱ)

2223ln2,e5. 2e【解析】 【分析】

23x23x2x1x2，I函数fx的定义域是0,，fx12xxx2x2可得当x变化时，fx，fx的变化情况，进而得到函数fx的单调区间；

II由I可知在区间1,e2内，当x2时，fx取得极小值，可得

2f2f1fe2，求出fx在区间1,e上的值域．

【详解】

I函数fx的定义域是0,，

23x23x2x1x2， fx1222xxxx当x变化时，fx，fx的变化情况如下：

所以fx在0,1和2,上单调递增，在1,2上单调递减．

II由I可知在区间1,e2内，当x2时，fx取得极小值，

22由f10，f223ln2，fee25， 2e得f2f1fe，

22223ln2,e1,e所以fx在区间上的值域为25． e2【点睛】

本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的值域等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.

22?2 22．1?【分析】

（1）先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，由于圆心0,1在直线l上， 所以直线l与圆C的交点个数为2．（2）直接求圆的半径和直径得解. 【详解】

1xt2（t为参数）． 1∵直线l的参数方程为y13t2∴消去参数t得直线l的普通方程为3xy10，

2∵圆C的极坐标方程为2sin，即2sin，

22222∴由xy，siny，得圆C的直角坐标方程为xy2y0．

∵圆心0,1在直线l上， ∴直线l与圆C的交点个数为2．

2由1知圆心0,1在直线l上，

∴AB为圆C的直径，

∵圆C的直角坐标方程为xy2y0． ∴圆C的半径r【点睛】

(1)本题主要考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式

22141，∴圆C的直径为2，∴AB2． 2|AB|2r2d2求解.但是本题由于圆心在直线上，所以弦长就是直径.

23．（1）x|x或x3；（2）【分析】

1315m． 22(1)把fx用分段函数来表示，令fx0，求得x的值，可得不等式fx0的解集

;

1(2)由(1)可得fx的最小值为f，再根据

2【详解】

1f4m2m2，求得m的范围． 2(1)函数fx2x1x2

x3,x213x1,2x，

21x3,x2令fx0，求得x，或x3，

故不等式fx0的解集为{x|x，或x3}；

1313(2)若存在x0R，使得fx02m24m，即fx04m2m2有解，

由(1)可得fx的最小值为f15131， 222故54m2m2， 215m． 22解得【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．