第五节 驻波

驻波(standing wave)：波形不传播，媒质质元的一种集体振动形态。 一、驻波的形成

驻波是由两列 频率相同、振动方向相同、且振幅相等，但传播方向相反的行波叠加而成的。 t = 0  2 1 t = T/8 o x o x t = T/4 o x t = 3T/8 o x t = T/2 o x

图中红线即驻波的波形曲线。可见，驻波波形原地起伏变化。 驻波的形成

即驻波波形不传播

这是“驻”字的第一层含义。 二、驻波表达式 两列行波的表达式 正向

y1Acos2π(tx1)

1

反向

y2Acos2π(tx2) 适当选择坐标原点和时间零点，使 1、2均等于零，则表达式变为 两行波叠加

得驻波表达式：

三、驻波的特点

1 频率特点：由图及式知，各质元以同一频率作简谐振动。 2 振幅特点：

(1)各点的振幅|2Acos kx|和位置x有关，振幅在空间按余弦规律分布。

(2)波节：有些点始终静止，这些点称作波节(node)。波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。 由cos 2π/x＝0得波节位置，

x2k1xy1Acos2π(t)xy2Acos2π(t)yy1y2xxAcos2π(t)Acos2π(t)2Acos2πxcos2πt2im0k0,1,Am两相邻波节间的距离为  /2。

(3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹(antinode)。

波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。 由|cos kx|＝1得波腹位置，

xk22Ak0,1,Amax两相邻波腹间的距离亦为  /2。 3 相位特点

驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长/2)，同一分段中的各质元振动相位相同；相邻分段中的质元振动相位相反。 驻波相位不传播

2

这是“驻”字的第二层含义。 例： x   为波节

4A22oA

44x4cos2πxx0y2Acos2πxcos2πtx34cos2π0y2Acos2π2Acos2πxxcos2πtcos（2πt）结论

相邻波节间的各点同相 ,波节两边的各点振动反相 4 能量特点

驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间 的/4的范围内，在此范围内有能量的反复 流动，但能量不能越过波腹和波节传播。 即：驻波没有单向的能量传输。 驻波不传播能量

这是“驻”字的第三层含义。 四、弦的振动

能量流动 驻波能量只能在相邻波腹波节间反复流动

波腹

··/4 波节

由于弦的两端是固定的，所以只要形成驻波，两端必是波节。

1 弦的固有频率

在弦上可以形成驻波的振动称为弦的固有振动，它们的频率称为弦的固有频率。

3

lnn2u2ln1,2,nn(1)基频：当n =1时，频率最低，这一频率称为基频，其对应的波称为基波。

(2)谐频：当n = 2，3，…时，频率均为基频的整数倍，称为谐频，它们对应的波称为谐波

l332l

1

2

l332

两端固定的弦(有界弦)上的驻波

简正模式：两端固定的弦(如琴弦)在被激励后，其上存在一些特定的振动模称作简正模式(normal mode)。简正模式弦上只存在一些特定的振动频率，1(基频) 、

2(二次谐频)、3(三次谐频)、

两端固定的弦上的简正模式(前三个)

L n = 1

1 =  (基频)

2L

n = 2 2 = 21 (二次谐频) 3 = 31 (三次谐频)

n = 3

凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波，如振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各种正在发声的乐器等。

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