弹性力学论文

摘要：本次推倒运用了欧拉公式，保角变换公式等重要公式，最后孔边应力得大小， 关键词：弹性力学 孔边应力 薄板问题 中心单位圆 一、 前言

二、 弹性力学题目计算过程

题目：具有正方形孔口的薄板在与x轴成a角的方向受有均匀拉力q，孔口不受面力，求孔边应力。

解答过程：为了把z平面上的带正方形孔口的无限域变换成q平面上的中心单位圆，可采

111111用变换式zw()R(37)

656176其中R为实数，反应正方形的大小

因为孔口不受面力 故fxfyFxFy0 而

B112 41B'iC'12e2i

2又1q 20

1qq B'iC'e2i 42q所以B'iC'=e2i

2所以B又

11w()R361w()R361w'()R221w'()R2222

w()w'()613

6(241)w()1133 '4w()66(2)f0ifxifydsFxiFy2ln1w()(FxiFy)' 8w()2Bw()(B'iC')w()

代入上述等式于f0中得：f0qR113qR12ie 32626f01w()0'()1dd （1） 对公式：0()2iw'()2i右边积分为：

f01d 2i1qR311qR112i12ieded 32i262i266qR32ie= 26因为0()k1kk12233

0'()1对于左边

22332

1w()0'()d '2iw()12id22331366(241)12 1623

qR32ie所以代入（1）中得0()

632612qR32ie即123 63262312

将两边得同幂次项得系数对比，得

1116qR2ie 2

20

3qR 12450 可求得

1qRcos2isin2

373520

3qR 12450

所以0()112233

3qR33qRcos2isin2

7512fd1w()0'()1'd0由公式：0() （2） 2iw()2i同理：

fd10 2iqR1qR132id2(63)2(6)e 12iqR32i(e)

26

1w()0'()d 而

2iw'()12i11333312dqRcos2isin2 66(24)754

133313323qR1qRcos2isin2 446(2)75466(2)3331326cos2isin2qR2i375 e代入（2）中得：0()41221(FxiFy)lnBw()0() 83 ()(FxiFy)ln(B'iC')w()0()

8由公式得：()所以：()11133qR33qRqRcos2isin2 4675121331cos2isin23 qR524473331326cos2isin2qR2i113qR2i375 e()e4226123331326cos2isin2e2i75 qR412(2)2'()'()公式：() ()'

w'()w()

33112qRcos2isin225487所以 () 12R(2)233q8cos2isin224257 844

333233342i167cos2i5sin2(2)27cos2i5sin24e13qR242(2)212 ()21R(2)2333313q223612cos2isin242cos2isin285577  6(24)3qe2i 4

24Re()公式：

2iw()'()w'()()2w'()22

在孔边0 

3324q8cos2isin2257 4Re4843324cos2isin28275 4qRe844

因为eicosisin

33cos2isin28(cos2isin2)cos4isin4275 所以4qRe84cos4i4sin4333332cos2cos2sin2sin2(cos42)8cos2sin2sin2cos2sin43cos24157557 q2016cos4

当0时，即拉力q平行于x轴

9624cos2(cos42)sin4sin23cos24157所以q7 2016cos496331531当时，有最大正应力：maxq7q

2201621963315177当0,时，有最小正应力： minqq

201621当2时，即拉力q平行于y轴

9624cos2(cos42)sin4sin23cos24157 q72016cos4963315317当0,时，有最大正应力：maxqq

20162196331517当时，有最小正应力：minq7q

2201621

三、 结论

参考文献 1. 吴家龙，《弹性力学》〔M〕. 2001年版，高等教育出版社

2. 徐芝伦,《弹性力学》〔M〕上册，1982,高等教育出版社

3. 张如三主编，《弹性力学》〔M〕，1992年，宇航出版社

4. 杨丽红 何蕴增，《含矩形孔无限域应力集中的系列分析》（N），2005年07期，《应用科技》

5. 萨文著. 《孔附近的应力集中》（M），1985年，科学出版社