弹塑性力学论文
学 生：
学 号：20112002039 指导教师：
专 业：采矿工程
重庆大学资源及环境科学学院
二O一一年一二月
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弹塑性力学论文
（，采矿工程）
一，引言
在弹性力学问题的处理时，对于圆形，楔形，扇形等问题，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本文运用了极坐标系统来求解的弹性力学平面圆孔问题。
弹塑性力学题目：
编号2011-07/10
在均匀平面单轴应力场（q＜0）无限体中，挖除圆柱形空洞后的应力和变形
说明：限弹性范围
要求：作为小论文，有引言，有分析、有建模叙述，有推演，有结果，有讨论，有结论，有参考文献。
二，分析
选取极坐标系处理弹性力学平面问题，必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 当弹性体体力为零，可以采用应力函数解法求解。
应力分量表达式
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满足平衡微分方程。
将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得：
即极坐标形式的双调和方程。
通过应力分量表达式求解应力后，然后通过物理方程
和几何方程
求解应变分量和位移分量。
三，建模
本题可以设定为带圆孔平板拉伸模型，设无限大平板在x方向受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。
根据上述设定模型，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，属于轴对称问题；另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此
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四，推演过程
1、对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为 。 由此产生的应力可用轴对称应力计算公式
计算。 则
这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁圆筒的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。
2、对于厚壁圆筒的外径作用随2变化的法向外力 cos2和切向外力sin2。
根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2的函数。由应力函数与应力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即
将上述应力函数表达式代入变形协调方程
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可得 f（）所要满足的方程
即
上述方程是欧拉(Euler)方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为
因此，将其代入公式 ，可得应力函数为
因此，应力分量为
应力分量表达式中的待定常数A，B，C，D可用边界条件确定，本问题的面力边界条件为
将应力分量代入上述边界条件，则
联立求解上述方程，并且注意到对于本问题，a/b≈0, 可得
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将计算所得到系数代入应力分量公式
则
将随 变化的法向力 cos2和切向力 sin2的计算所得结果与沿外圆周作用的不变的正应力 结果相叠加，则
然后通过物理方程
可计算得应变分量。 代入几何方程
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可求得位移分量。
五，结果
根据前面计算的应力分量
应变分量
位移关系式
六，讨论
如果相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应力状态相同。对于孔口应力，即=a 时，有
最大环向应力发生在小圆孔的边界上的=/2 和=3/2 处，其值为max = 3q
由前面结果可知由于板无限大而孔很小，所以圆孔的孔口将有应力集中现象。把最大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。即
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K 为应力集中因子。对于本文的平板受均匀拉伸问题，K=3。
七，结论
圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。
孔口的应力集中，孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。根据圣维南原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。
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参考文献：
[1]吴家龙.弹性力学.高等教育出版社,2001. [2]李遇春.弹性力学.中国建筑工业出版社,2009.
[3]徐芝纶. 弹性力学简明教程.人民教育出版社.1980.
[4]王仲仁. 弹性与塑性力学基础.哈尔滨工业大学出版社,2004. [5]徐秉业. 弹性力学习题及解答.清华大学出版社,2007.
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