2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科

(新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷 一。选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1。设集合M={0,1，2｝，N=x|x23x2≤0，则MN=（ ） A。 ｛1}

B。 ｛2｝

C。 {0，1｝

D。 ｛1，2｝

2。设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxkz12i,则z1z2（ ) A。 — 5

B。 5

C。 — 4+ i

D。 - 4 - i

3。设向量a，b满足｜a+b|=10，｜a—b|=6，则ab = ( ) A。 1 B. 2 C. 3 D. 5

4.钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2 ，则AC=（ )

2A。 5 C。 2 D。 1 B。 5

5。某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ )

A。 0。8 B。 0。75 C。 0.6 D。 0。45

6。如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ）

A。 17 B。 5 C。 10 D。 1

279327

7.执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2,则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D。 7

8。设曲线y=ax-ln（x+1)在点(0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C。 2 D。 3

xy7≤09。设x,y满足约束条件x3y1≤0，则z2xy的最大值为

3xy5≥0( ）

A. 10 B。 8 C。 3 D. 2 10。设F为抛物线C：y23x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A。 33 B. 93 C。 63 D。 9

43284

11。直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

30 A。 1 B。 2 C。 D。 2

1052102212.设函数fx3sinx.若存在fx的极值点x0满足x02fx0m，则m的取m值范围是（ ）

A. ,66, B。 ,44, C。 ,22, D。

,14,

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。本试题由http：//gaokao。ccutu.com整理

二。填空题

13。xa的展开式中，x7的系数为15,则a=________。(用数字填写答案）

14.函数fxsinx22sincosx的最大值为_________。

15。已知偶函数fx在0,单调递减，f20。若fx10，则x的取值范围是__________。

16.设点M(x0,1），若在圆O：x2y21上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则x0的取值范围是________。

三。解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

10

17。（本小题满分12分）

已知数列an满足a1=1,an13an1。

(Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

2（Ⅱ）证明：11…+13。

a1a2an2

18。 (本小题满分12分）

如图,四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。 (Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE—C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积。

19。 （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯入y（单位:千元)的数据如下表:

年份 2007 年份代号t 1 人均纯收入2。9 y 2008 2 3。3 2009 3 3。6 2010 4 4。4 2011 5 4。8 2012 6 5。2 2013 7 5。9 收

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

bti1nityiy2titi1nˆ ˆybt，a

20. (本小题满分12分）

2y2x设F1,F2分别是椭圆C：221ab0的左,右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂ab直,直线MF1与C的另一个交点为N。

(Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b。

21. （本小题满分12分）

已知函数fx=exex2xzxxk (Ⅰ）讨论fx的单调性;

（Ⅱ)设gxf2x4bfx，当x0时，gx0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.414221.4143,估计ln2的近似值（精确到0。001）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22。（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E。证明： (Ⅰ)BE=EC;

（Ⅱ）ADDE=2PB2

23。 (本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，

2（Ⅰ）求C的参数方程；

(Ⅱ）设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.

24。 （本小题满分10）选修4—5：不等式选讲 设函数fx=x1xa(a0)

a(Ⅰ)证明：fx≥2;

(Ⅱ）若f35，求a的取值范围.

.zxxk 0,2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参

一、 选择题

（1）D （2）A （3）A (4)B （5)A (6）C (7)D （ 8）D （9）B （10）D （11）C (12）C

二、 填空题

（13）

1 (14)1 (15）（—1,3) （16）[-1,1] 2

三、解答题

(17）解：

113(am). 221313又a1,所以，｛am } 是首项为,公比为3的等比数列。

2222m3m113 am=,因此｛an}的通项公式为am=22212（2）由（1)知=m

am3111因为当n1时,3m123m1,所以，m 3123m1111113131m1=(1m) 于是，a1a2am332321113 所以，a1a2am2（1)由am13am1得am1

（18）解:

（1）连结BD交AC于点O，连结EO 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点 又E为的PD的中点，所以EOPB

EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC

（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直

如图，以A为坐标原点,AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标

3131,)，AE=（0, ,） 2222设B（m，0，0）(m＞0），则C（m， 3，0） 设n（x,y，z)为平面ACE的法向量，

mx3y0n1•AC0则｛ 即｛ 3 1n1•AE0yz0223可取n1=（，—1， 3) m又n1=（1，0，0）为平面DAE的法向量，

1由题设cos(n1,n2)=，即

2313=，解得m=

34m222系，则A—xyz,则D（0,3 ，0),则E（0，

因为E为PD的中点，所以三棱锥E—ACD的高为V=

311313= 322281，三棱锥E—ACD的体积为 2

19解：

（1） 由所得数据计算得

1t=(1+2+3+4+5+6+7）=4， 71y=(2。9+3.3+3。6+4.4+4。8+5。2+5。9)=4.3 7(ti17i171t)2=9+4+1+0+1+4+9=28 t)(y1y)

(t71=（-3) （—1。4）+(—2）(—1)+(—1)（-0。7）+00。1+10。5+20。9+31。6=14, b=

(ti11t)(y1y)(ti17=

1t)214=0。5 28a=y—bt=4。3—0。54=2。3

所求回归方程为y=0。5t+2。3

(Ⅱ）由（Ⅰ)知，b=0。5〉0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号t=9代入(1）中的回归方程，得

y=0。5×9+2。3=6。8

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元

（20)解: （Ⅰ）根据c=

以及题设知M（c，)，2=3ac

将=—代入2=3ac，解得=,=—2（舍去) 故C的离心率为

(Ⅱ）由题意，原点O的中点,故=4,即 ① 由=得=

的中点，M∥y轴,所以直线M与y轴的交点D是线段M的

设N(x,y）,由题意可知y<0，则代入方程C，得

+=1 ②

即

将①以及c=代入②得到+=1 解得a=7， a=7,

（21）解 （Ⅰ）+-2≥0，等号仅当x=0时成立,所以f（x)在（—∞，+∞）单调递增 (Ⅱ）g(x）=f(2x）—4bf（x）=—-4b（-）+（8b-4)x （x）=2[++］=2(+)（+)

（1） 当b2时，g’(x） 0,等号仅当x=0时成立，所以g（x）在(-,+)单调递增，

而g(0）=0，所以对任意x>0，g(x)〉0； （2） 当b>2时，若x满足，2〈 exex<2b—2即 0〈0,而 g(0)=0，因此当0〈Xln（b—1+b22b）时，g（x)〈0 综上,b的最大值为2

3（3） 由(2)知，g(ln2)=—22b+2(2b—1）ln2

28233当b=2时，g（ln2)=-42+6ln2>0,ln2>>0.6928

12232当b=+1时，ln（b—1+b22b)=ln2

43g(ln2）=—22+（32+2）ln2〈0

2182in2〈〈0.693

28

(22)解：

（1）连结AB,AC由题设知PA=PD，故PAD=PDA 因为PDA=DAC+DCA PAD=BAD+PAB DCA=PAB

所以DAC=BAD，从而。.。。。。。 因此=

（2）由切割线定理得PA2=PB＊PC 因为PA=PD=DC，所以DC=2PB，BD=PB 由相交弦定理得AD*DE=BD*DC

所以，AD*DE=2 PB2

（23）解:

（1)C的普通方程为 +=1(0

)

可得C的参数方程（t为参数，0

（Ⅱ）设D（1+cost，sint).由（Ⅰ)知C是以G（1,0）为圆心,1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。 tant=，t=π/3. 故D的直角坐标为（1+cosπ/3,sinπ/3），即（3/2, /2）。

（24）解：

(Ⅰ）由a〉0,有f（x）=|x+1/a｜+｜x—a|≥｜x+1/a—(x-a）｜=1/a+a≥2。 所以f（x）≥2。

(Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3—a|.

当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜当0〈a≤3 ）