奈奎斯特定理和⾹农定理
要搞清楚这两个定理，我们要先弄懂⼀些术语定义：波特率（baud rate）、⽐特率（bit rate）、带宽（bandwidth）、容量（capacity）、信噪⽐、电平等。
波特率
波特率（也称信息传送速率、码元速率、符号速率、或传码率），其定义为每秒钟传送码元的数⽬，码元速率的单位为“波特”，常⽤符号“Baud”表⽰，简写为“B”。
⼀个数字脉冲就是⼀个码元，我们⽤码元速率表⽰单位时间内信号波形的变换次数，即单位时间内通过信道传输的码元个数。若信号码元宽度为T秒，则码元速率B为：
⽐特率
⽐特率也称数据传输速率，它的定义是单位时间内可以传输的⽐特数，单位为bps。⽐特率的计算公式为：
怎么理解⽐特率和波特率之间的关系呢？
我们可以假设⼀个信号只有两个电平状态，那么这个时候可以把低电平理解为“0”，⾼电平理解为“1”，这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0，1个数了，
即⽐特率 = 波特率。但是有些信号可能不⽌两个电平，⽐如⼀个四电平的信号状态，那么每个电平就可以被理解成“00”，“01”，“10”，“11”，这样每次电平
变化就能传输两位的数据了，即⽐特率 = 2 × 波特率。
带宽和容量
我们再来看看带宽和容量的概念。⼀般信道都有⼀个最⾼的信号频率（注意不是波特率哦，频率是指每秒钟的周期数，⽽每个周期都会有⼏次电平变化。。
恩，看到区别了吧）和最低的信号频率，只有在这两个频率之间的信号才能通过这个信道，这两个频率的差值就叫做这个信道的带宽，单位是Hz。
信道的容量⼜是怎么回事呢？
我们知道数据在信道中传输会有他们的速度——⽐特率，这⾥⾯最⾼的⽐特率就叫做这个信道的容量，单位是bps。就好象每条公路都有他们的最⾼限速，
那么所有在⾥⾯开的车都不会超过这个速度（这⾥我们假设违章的都被叔叔抓⾛了）。
⼝语中也会把信道容量叫做“带宽”的，⽐如“带宽10M的⽹络”，“⽹络带宽是10M”等等。所以这两个概念也很容易混淆：我们平常所说的“带宽”不是带宽，
⽽是信道容量，这⼀点⼼⾥要清楚（虽然⼝头上是改不掉了。。） 信噪⽐
如果我们在⼈声嘈杂的集市上向远处的⼀个⼈喊话，我们必定会提⾼⾃⼰的声⾳的⾳量。我们所喊的话叫做信号，周围环境的声⾳是噪声。我们的声⾳越
⼤（信号的功率越⼤），周围环境越安静则噪声越⼩（噪声的功率越⼩），对⽅就听得越清楚。这说明信号和噪声的功率⽐越⼤，越有利于信号的接收。
信号和噪声的功率⽐就叫做信噪⽐，⽤S/N表⽰，单位没有量纲。由于信噪⽐有时数值很⼤，在⼀个通信线路的各个环节⾥⾯还要⽤它进⾏计算，所以经常
对它取常⽤对数，再乘以10。所得的结果也叫做信噪⽐，不过这时的单位为分贝（db）。
电平
系统中某点的电平，是指该点的功率P（或电压U）对某⼀基准功率P0（或基准电压U0）的分贝⽐。也就是说，“电平”就是指电路中两点或⼏点在相同阻抗下电
量的相对⽐值。这⾥的电量⾃然指“电功率”、“电压”、“电流”并将倍数化为对数，⽤“分贝”表⽰，记作“dB”。简单地说，电平就是两个电压或功率的⽐值的对数形
式，例如：两个功率P1和P2的数量⽐为10000倍，那么它们⽤对数表⽰的“分贝⽐”为：
10lg（P1/P2）=10lg10000=40 （dB）
因为功率P和电压U之间有如下的关系：P=U2/Z。所以功率P1/P2的分贝⽐，可按下式变换成电压U1/U2的分贝⽐：10lg（P1/P2）=10lg（U12/Z1）/（U22/Z2）=10lg（U12 Z2/U22Z1）=10lg（U12 /U22）=10lg（U1/U2）2=20lg（U1/U2）即：10lg（P/P0）=20lg（U/U0）
所以，⽤功率⽐表⽰时，前⾯乘的系数是10；⽤电压⽐表⽰时，前⾯乘的系数是20。当基准单位P0为1w时，对应的电平为10lg（P/Iw），单位记为“分贝⽡dBw”；
当基准单位P0为1mw时，对应的电平为10lg（P/Imw），单位记为“分贝毫⽡dBmw”；通常将“分贝毫⽡”简写为“dBm”；当基准单位U0为1mv时，对应的电平为20lg（U/Imv），单位记为“分贝毫伏dBmv”；
当基准单位U0为1µv时，对应的电平为20lg（U/Iv），单位记为“分贝微伏dBµv”，通常将“分贝微伏”简写为“dB”。介绍完了各个术语定义，再来看看这两个定理说什么。
奈奎斯特定理
1924年，奈奎斯特（Nyquist）就推导出在理想低通信道下的最⾼码元传输速率的公式：
其中W是理想低通信道的带宽，单位为赫兹；K是多相调制的相数。奈⽒准则的另⼀种表达⽅法是：每赫兹带宽的理想低通信道的最⾼码元传输速率是每秒2个码元。若码元的传输速率超过了奈⽒准则所给出的数值，则将出现码元之间的互相⼲扰，以致在接收端就⽆法正确判定码元是1还是0。对于具有理想带通矩形特性的信道（带宽为W），奈⽒准则就变为：理想带通信道的最⾼码元传输速率＝1WBaud，即每赫宽带的带通信道的最⾼码元传输速率为每秒1个码元。奈⽒准则是在理想条件下推导出的。在实际条件下，最⾼码元传输速率要⽐理想条件下得出的数值还要⼩些。电信技术⼈员的任务就是要在实际条件下，寻找出较好的传输码元波形，将⽐特转换为较为合适的传输信号。
需要注意的是，奈⽒准则并没有对信息传输速率（b/s）给出。要提⾼信息传输速率就必须使每⼀个传输的码元能够代表许多个⽐特的信息。这就需要有很好的编码技术。
根据奈奎斯特准则我们可以推断出：
（1）给定了信道的带宽，则该信道的极限波特率就确定了，不可能超过这个极限波特率传输码元，除⾮改善该信道的带宽；（2）要想增加信道的⽐特传送率有两条途径，⼀⽅⾯可以增加该信道的带宽，另⼀⽅⾯可以选择更⾼的编码⽅式。例1：假设⼀个传四进制数据信号的⽆噪声数字信道，带宽为3000Hz，求其信道容量。
奈奎斯特定理适⽤的情况是⽆噪声信道，⽤来计算理论值。⼀根针掉在地上还有声⾳呢，没有噪声的信道在现实中是不存在的。那么有噪声的信道该如何计算呢？这下轮到⾹农定理出马了！
⾹农定理
1948年，在《通信的数学原理》（Mathematical Theory of Communication）⼀⽂中，⾹农博⼠（Claude Elwood Shannon）提出了著名的⾹农定理，为⼈们今天通信的发展垫定了坚实的理论基础。
⾹农定理指出，在噪声与信号独⽴的⾼斯⽩噪信道中，假设信号的功率为S，噪声功率为N，信道通频带宽为W(Hz)，则该信道的信道容量C有：
这就是⾹农信道容量公式。从公式中我们可以看出，对于⼀定的信噪⽐和⼀定的传输带宽，它的传输速率的上限就确定了，这个极限是不能够突破的。
由⾹农信道容量公式可得出以下结论：
（1）提⾼信道的信噪⽐或增加信道的带宽都可以增加信道容量。
（2）当信道中噪声功率N⽆穷趋于0时，信道容量C⽆穷趋于⽆限⼤，这就是说⽆⼲扰信道的信道容量可以为⽆穷⼤。（3）信道容量C⼀定时，带宽W与信噪⽐S/N之间可以互换，即减⼩带宽，同时提⾼信噪⽐，可以维持原来信道容量。
（4）信噪⽐⼀定时，增加带宽W可以增⼤信道容量。但噪声为⾼斯⽩噪声时（实际的通信系统背景噪声⼤多为⾼斯⽩噪），增加带宽同时会造成信
噪⽐下降，因此⽆限增⼤带宽也只能对应有限信道容量。
例1：有⼀个经调制解调器传输数据信号的电话⽹信道，该信道带宽为3000Hz，信道噪声为加性⾼斯⽩噪声，其信噪⽐为20db，求该信道的信道容量。
例2：已知仅存在加性⾼斯⽩噪声的信道容量为33.6Kbit/s，其信号噪声功率⽐为30db，求此模拟信道的带宽为多少？
例3：考虑⼀个极端的噪声信道，其中信噪⽐近似于零。换⾔之，噪声很强使得信号很微弱。对于该信道，计算它的信道容量如下：也就是说，该信道上噪声完全淹没了有效信号，在终端⽆法识别还原，因此该信道不适合传输数据，数据传输能⼒为0。
⾹农定理的伟⼤之处在于它的理论指导意义。⾹农公式给出频带利⽤的理论极限值，即在有限带宽、有噪声的信道中存在极限传输速率，⽆论采⽤何种编码都⽆法突破这个极限。另外⾹农定律还告诉我们，在信带容量⼀定的情况下，信噪⽐和带宽可以互换。
⽐如航天技术中的宇际通信，由航天器发回的信号往往掩埋在⽐它⾼⼏⼗分贝的宇宙噪声之中，虽然信号⾮常微弱，但⾹农公式指出信噪⽐和带宽可以互换，只要信噪⽐在理论计算的范围内，我们总可以找到⼀种⽅法将有⽤信号恢复出来。另外，如移动通信中的多址接⼊技术（FDMA、TDMA、CDMA、SDMA以及OFDM），还有各种信源编码、信道传输编码、纠错编码技术等等，都得益于⾹农定理。在xDSL传送系统中，⼈们正是选择了合理的信道编码技术（DMT和CAP编码调制⽅式），可以保证信息在有限的通频带宽内可靠的传递，从⽽实现数据的⾼速传输，满⾜了⼈们宽带上⽹的需求。
