数列知识点所有性质总结

一、等差数列

1.等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

* ana1(n1)ddna1d(nN) ， 首项:a1，公差:d，末项:an

推广： anam(nm)d． 从而d

3．等差中项

anam；

nmab或2Aab 2（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2

4．等差数列的前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2． ⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

2（4）数列an是等差数列SnAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质： （1）当公差d0时，

等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.

注：a1ana2an1a3an2，

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（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

*S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1

2S偶S奇nan1nannan1an

S奇nanan S偶nan1an1

2、当项数为奇数2n1时，则

S奇(n1)an+1S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1 SSaSnaSnn+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

*Anf(n)， Bnan(2n1)anA2n1f(2n1). bn(2n1)bnB2n1an0即当a10，d0， 由可得Sn达到最大值时的n值．

a0n1 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当a10，d0， 由an0可得Sn达到最小值时的n值．或求an中正负分界项

an10pq 2法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称

轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

二、等比数列

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1. 等比数列的定义：2. 通项公式：

anqq0n2,且nN*，q称为公比 an1ana1qn1a1nqABna1q0,AB0， 首项：a1；公比：q qana或qnmn amam2nmnm推广：anamq， 从而得q3. 等比中项

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

2（2）数列an是等比数列anan1an1

4. 等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q1时， Snna1

(2) 当q1时，Sna11qn1qa1anq

1qa1a1qnAABnA'BnA'（A,B,A',B'为常数） 1q1q5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或an1q(q为常数，an0){an}为等比数列 an2 （2） 等比中项：anan1an1（an1an10）{an}为等比数列

（3） 通项公式：anABnAB0{an}为等比数列

nn（4） 前n项和公式：SnAAB或SnA'BA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列 an17. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

n1（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；ana1q

如奇数个数成等差，可设为…，

aa2,,a,aq,aq…（公比为q，中间项用a表示）； 2qq8. 等比数列的性质 (1) 当q1时

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①等比数列通项公式ana1qn1a1nqABnAB0是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比q q②前n项和Sna11qn1qa1a1qna1a1qnAABnA'BnA'，系数和常数项是互为相反

1q1q1q数的类指数函数，底数为公比q

nm*(2) 对任何m,nN,在等比数列{an}中,有anamq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式

比等比数列的通项公式更具有一般性。

2*(3) 若m+n=s+t (m, n, s, tN),则anamasat.特别的,当n+m=2k时,得anamak

注：a1ana2an1a3an2

ak(4) 列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n} (k为非零常数) 均为等比数列.

bnan(5) 数列{an}为等比数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列 (6) 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列 (7) 若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

(8) 若{an}为等比数列,则数列a1a2an, an1an2a2n, a2n1a2n2a3n成等比数列 (9) ①当q1时， ②当0*{a10，则{an}为递增数列a10，则{an}为递减数列,

{a10，则{an}为递减数列a10，则{an}为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n (nN*)时,

S奇1,. S偶q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

三、等差数列与等比数列性质的比较

1、定义 等差数列性质 等比数列性质 an+1-an=d(n1)；an-an-1=d(n2) an+1a=q(n1),n=q(n2) anan-12、通项 公式 ana1(n1)d ana1qnmn1anam(nm)d(n,mN) aaq- 4 -

nm

3、前n项和 sn(a1an)n2n(n1)d2 q=1 , Sn=na1;a1(1-qn)a1-anq q1,Sn= =1-q1-qa+b； 2a、A、b成等比数列snna1a、A、b成等差数列A=Ab aAan是其前k项an-k与后k项an+k的等差中项，（不等价于A2=ab，只能）; 4、中项 即：an=an-k+an+k 2an是其前k项an-k与后k项an+k的 等比中项，即：an=an-kan+k 2若m+n=p+q,则5、下标和公式 aaaamnpq 若m+n=p+q,则aaaamnp2q特别地,若特别地,若m+n=2p,则aman2ap akan(k1) m+n=2p,则amanap akan(k1) 6、首尾项性质 等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：aaaa1n2n1aaaa1n2n1{amn}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列 {an}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列 a,a,anpa,a,amnp（两个等差数列的和仍是等差数列） 等差数列{列{（两个等比数列的积仍是等比数列） 等比数列{则数列{a},{bnnn}的公差分别为d,e,则数a},{bnnnn}的公比分别为p,q,abn}仍为等差数列，公差为de ab}仍为等比数列，公差为q2pq 取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为2d 7、结论 若am=n,an=m(mn),则amn0 取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为 无此性质； 无此性质； 无此性质； （mn) 若Sm=n,Sn=m(mn),则Smn若smsn(mn),则smm0 2ms,smsm,s3ms2m,成等差数列， 2s,sm2msm,s3ms2m,成等差数公差为md 当项数为偶数2n时，列，公比为qm ss偶奇nd 当项数为偶数2n时，s偶qs 奇当项数为奇数2n1时， - 5 -

ss奇偶aan s奇a1qs偶 n1当项数为奇数2n1时，s奇偶奇s偶a中 n n1①定义法：s2n1(2n1)a中 ，ss①定义法：anan1dn2 ②等差中项概念；2anan1an1n2 ③函数法：anpnq(p,q为常数)关于n的一次函数数列{an}是首项为p+q，公差为p0的等差数列； ④数列{an}的前n项和形如anq an1anan2an12(an0) ②等差中项概念；n③函数法：ancq(c，q均为不为0的8、等差(等比)数列的判断方法 nN)，常数，则数列an是等比数列． ④数列{an}的前n项和形如 Snan2bn SnAqnA(A，q均为不等于0的常则数列an是公比不为1的(a，b为常数)，那么数列{an}是等差数列， 数且q≠1)，等比数列． 9、共性 非零常数列既是等差数列又是等比数列 - 6 -