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2016-2017年高二下期中考理科数学试题及答案

来源：华佗小知识



普宁二中2016--2017学年度第二学期期中考

高二级理科数学试卷

命题人：陈木茂 审题人：舒有汉

祝考试顺利！

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合

A

{ | x x x

2)

0

},

B

{

x

Z

|

x

2



0

}

，则

A

I

B

=（ ）.

A.

[0, ]

D.

B.

( , )

C.

{ , }

{ 1,0}

2.已知a，b是实数，则“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的（ ）.

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件


C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3. 曲线

f x

e

x

在

x

0

处的切线斜率为（

）.

A．1

B.

2

C．2

D．

1

4. 已知函数

f x



1

x

x

2

,

则函数

f x

的零点所在区间为（ ）.

4




）.

A.



1 0, 2



B.



1 ,1 2



C．



3 1, 2



D．



3 ,2 2



5. 已知等差数列

{ a n

}

的前n 项和为

S

n

，且

2

S

3

3 S

2

15

,则数列

{ a n

}

的公差为（

A.3

B.4

C.5

D.6

6. 已知向量

a

1,2cos

x

,

b

2sin ,1 ,

若

a


/ / ,

则

sin 2x

( ).

A．

1

B．

1

C．

1

D．

1

开始

2

2


s=0,n=1

7. 阅读右边程序框图，则输出结果s的值为（ ）.


n≤

2 0 1 7 ?

否


3

1


=

是

ns sin
3


A．2

B． 2

C. 0 D.3

s

输出s

n

=

n

+1

结束

数学试题第1页共4页



8. 已知变量

x，y

满足约束条件

xy2

 y7

x≥，

≤，

y

的取值范围是（


）

≤，则

x



.

A.

[3 6]

B.





9，

5



U

6，

C.



，

6，

D.

9 6 5，

9．函数

f x

3

x

1 cos 1

x

的图象大致是（ ）.


3

x



10.等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N 分别是AB，BC 中点，点P 是△ABC（含

边界）内任意一点，则

u u u r u u u r

AN MP

的取值范围是（ ）.

A．

[

3 3
, ]

4 4

B．

[

1 3
, ]

4 4

C．

[

3 1
, ]

4 4

D．

1 3
[ , ]

4 4

11.已知函数

y

f x x

R

)

的图像过点

(1,0)

，

f

'( )

为函数

f x ( )

的导函数，

e

为自然对数的底数，若

x

0

，

xf

'( ) x

1

下恒成立，则不等式

f x ( )

ln

x

的解集为

（ ）.

A．

1
(0, ]

e

B．

(0,1]

C．

(0, ]

D．

(1, ]

12．如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何

体的三视图,则该几何体的体积为（ ）.

A.

2


4


3

B.

3


8

D. 4

C.

3

二.填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.）



13.观察下列各式：

5 3

=125，

5

4

=625，

5 5

=3125，…，则

5

2017

的末三位数字为 ．

．

14.已知复数

z

满足

z

(1

2 )

4

3 i

，则

z

数学试题第2 页共4 页





15.已知数列



的前

n

项和

Sn

2

n

1

，

n

3
02

x

1

dx

，则

log

2

an

．

16.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径

（d）的立方成正比”，此即

V

kd

3

（

k

）与此类似，我们可以得到：









6

.

(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，

即

V

ma

3

；

V

a

3

；

(2)正方体（正六面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即

(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，

即

V

na

3

，那么

m n

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17．（本小题满分12 分）

设函数

f

(

x

)

2

cos

2

x

2

3

sin

x

cos

x

.

（1）求函数

f x ( )

的单调递减区间；(6 分)

（2）在△

ABC

中，

a b c

分别为内角

A B C

的对边,

f

A



3


a

6

,

b


c

8

,求△

ABC

的面积.(6 分)

2

,

18.（本小题满分12分）

2017年元旦假期期间，调查公司在高速公路某服务区从七座以下小型汽车中按进服务

区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某

段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65),[65,70), [70,75), [75,80), [80,85),[85,90)

后得到如图的频率分布直方图．

求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.(6分)

（1）该调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？(2分)

（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；(4分)

（3）若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，

数学试题第3页共4页



19.（本题满分12分）
已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为1正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(5分)
(2)当SA的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？(7分)

20.（本小题满分12分）

设抛物线

C

:

y

2

2

px

(

p

0 )

过点

M

(2

2

)

.

，

l

2

，

（1）求抛物线

C

的方程；(3 分)

（2）过点

F

( 1 , 0 )

作相互垂直的两条直线

l 1

曲线

C

与

l 1

交于点

P 1

,

P 2

,与

l

2

交于点

Q 1

,

Q

2

.证明：

1

1

1

；(6 分)

PP 1 2


4








Q Q 1 2


1

的

（3）在（2）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论.请你写出关于椭圆

:

x

2

y

2


4


3


一个相类似的结论（不需证明）. (3分)

21.（本小题满分12分）

已知函数

f x ( )

a

x

x

2

x

ln ( a a

0,

a

1).

(1)求函数

f x ( )

在点

(0,

f

(0))

处的切线方程；(3 分) (2)求函数

f x ( )

单调增区间；(3 分)

(3)若存在

x x 1 2 [ 1,1]

，使得

f x 1

)

f x 2

)

e

1(

e是自然对数的底数

,

求实数

a

的取值范围.(6 分)

22.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设函数

f x ( ) |

x

1|

|

x

2 |

.

m

2

7

m

，求实数

m

的取值范围.(5 分)

（1）解不等式

f

(

x

)

0

；(5 分)

（2）若

0 x

R

，使得

f x 0

)

2

数学试题第4页共4页



2016-2017年高二下学期期中考理科数学参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

A

D

B

C

C

B

D

C

A

B

B

二、填空题

13、125 14、

5

15、5

16.

1: 4或

1






4

三、解答题

17.解：（1）∵

f

(

x

)

1

cos

2

x

3

sin

2

x

1


2

1

cos

2

x

3

sin

2

x



2

2

…3分

2

sin(

2

x


)

6

1

……………4 分

由

2

k

2

x

2

k

3

，

k

Z 知

k

x

k

2

，

k

Z ……5 分

2

6

2

6


3

所以

f x ( )

的单调递减区间为



k


,

6

k

2

3 

（

k

Z）

……………6 分

（2）

f

A



2sin(

A


) 1

6

3

即

sin(

A


)

6

1


2

又

A

(0, )

，所以

A


6


( ,

6

7

)

6

，故

A

，从而

A

……8 分

6

2

3

由余弦定理

a

2

b

2

c

2

2 bc

cos

A

，得

b

2

c

2

bc

36

，

…………9 分

又

b

c

8

，所以

bc

28

…………10 分

3

由△

ABC

的面积公式

S

1

bc

sin

A

1

28

3

7 3

.

…12 分

2

2

3

2

3

18.解：（1）系统抽样 ……………………2分

（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…4 分

设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：

0.0150.0250.0450.06( x75)0.5，

解得x77.5即中位数的估计值为77.5…………………6 分

(3)从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：m1 0.015 402（辆）………7分

车速在[65,70)的车辆数为：m2 0.025 404（辆）…………………8分

设“车速在[65,70)的车辆至少有一辆”为事件A,这是一个古典概型，记车速在[60,65)

的车 辆设为

1,2

，车速在[65,70) 的车辆为

a

,

b ,

c

,

d

，则所有基本事件有：

数学试题第5页共4页



1,2 , 1,

a

, 1,

b

, 1,

c

, 1,

d

, 2,

a

, 2,

b

, 2,

c

, 2,

d

,

a b



a c



a d



b c



b d



c d

共15 种 …………………10 分

其中两辆车的车速均不在[65,70) 的事件仅有

1,2

一种，即车速在[65,70) 的车辆至少有一

辆的共14 种，所以车速在的[65,70) 车辆至少有一辆的概率为

p

(

A )

14






15

.

故从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，

车速在[65,70) 的车辆至少有一辆的概率为

14

.……12 分


15


19.证明：(1)∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴SA⊥BD， …1分

∵四边形ABCD是正方形，…2分

∴AC⊥BD，SAI ACA, …3分

∴BD⊥平面SAC， …4分

∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC.…5分

解：(2)设SA＝a，

以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，……6分

∵AB＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，

uu u u u u uu u

∴SC＝(1,1，－a)，SB＝(1,0，－a)，SD＝(0,1，－a)，…………7分

设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，

则





u u u

n SC 1

u u u

n SB 1

x 1

y 1

az 1

0

x 1

az 1

0

∴y1＝0，从而可取x1＝a，则z1＝1，∴n1＝(a,0,1)，……8分





u u u

n SC 2

u u u

n SB 2

x

2

y

2

az

2

0

x

2

az

2

0

∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)，…………9分

∴cos〈n1，n2〉＝

，要使二面角B－SC－D 为120°，则

＝，即a＝1. …11 分

即当SA＝1时，二面角B－SC－D的大小为120°.…………12 分

20.解：（1）把点

M

(2

2

)

代入抛物线方程得

p

2

……………3 分

所以曲线

C

的方程为

y

2

4

x

.

（2）显然直线

l 1

，

l

2

的斜率存在且不等于

0

，

数学试题第6页共4页



⑶因为存在

x x 1 2 [ 1,1]

，使得

f x 1

而当

x[ 1,1]

时，

f x 1

)

f x 2

)

≤




)

f x 2

)

≥

e 1

成立，

f x ( )

max

f x ( )

min

，





所以只要

f x ( )

max

f x ( )

min

≥

e 1

即可． …………7 分

又因为，

f

( )

，

f x ( )

的变化情况如下表所示：


x


(



,0)


0


(0,

+

)


f( )

0

+

f x ( )

减函数

极小值

增函数


所以

f x ( )

在

[ 1,0]

上是减函数，在

[0,1]

上是增函数，

所以当

x[ 1,1]

时，

f x

的最小值

f



min

f



1

， …………8 分

f x

的最大值

f

max

为

f

(1)

f

(0)

≥

e 1

f 1

和

f



中的最大值．……9 分

因为

x

f

(1)

f

( 1)

(

a

+

1 ln )

(

1

+ +

ln )

a

1

2ln

a

，

a

a

令

g a ( )

a

1

2ln

a

，因为

g a( )

1

+

1

2

(1

1

)

2

0

，

a

a

2

a

a


所以

g a ( )

a

1

2ln

a

在

a

0,



上是增函数． …………10 分

a

而

g

(1)

0

，故当

a

1

时，

g a

0

，即

f

(1)

f

( 1)

；

当

0

a

1

时，

g a

0

，即

f

(1)

f

( 1)

． …………11 分

所以，当

a

1

时，，即

a

ln

a

≥

e

1

，函数

y

a

ln

a

在

a

(1,



)

上是增函数，解得

a≥

e

；

当

0

a

1

时，

f

( 1)

f

(0)

≥

e

1

，即

1
a

ln

a

≥

e

1

，函数

y

1

ln

a

在

a

(0,1)

上是减

a


函数，解得

0

a

≤

1

．

e

综上可知，所求

a

的取值范围为

a

1
(0, ]

e

U

[e,

+

)

． …………12 分

22.解：（1）当

x

2

时，

f x ( ) |

| x

1|

|

x

2 | 1

x

x

2

3

，

f

(

x

)

0

，即

3

0

，∴

x

2

；

当



x

1

时，

f x ( ) |

x

1|

|

x

2 | 1

x

x

2

2

x

1

，

数学试题第8 页共4 页





f

(

x

)

0

，即

2

x



0

，解得

x 

1

，又



x

1

，∴

2







x



1

；

2





当

x

1

时，

f x ( ) |

x

1|

|

x

2 |

x



x

2

3

，

f

(

x

)

0

，即



0

，不成立，∴

x

.

综上，不等式

f

(

x

)

0

的解集为





1



. --------5 分

2

3

.



（2）

f x ( ) |

x

1|

|

x


2 | 2

x

3,

x

2

x

1

，∴

f x ( )

max

f

2

1,



3,

x

1

∵

0 x

R

，使得

f x 0

)

2

m

2

7

m

，∴

7

m

2

m

2

f x ( )

max

3

，

整理得：

2

m

2

7

m

3

0

，解得：

m

3或m

1

，

2





因此

m

的取值范围是



,

1



U

3,



.--------10 分

2





数学试题第9页共4页

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