应用技术 ●Ｉ 分数阶傅立叶变换的线性调频信号降噪 贾俊（湖南大学赵艳 ４１００８２湖南长城信息金融设备有限责任公司４１０１００） ［摘 要］本文在分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换原理的基础上，提出了一种基于分数阶傅里叶变换的线性调频（ＬＦＭ）信号的滤波方法，利用该变换等同于对信号在时 频平面进行旋转，将混迭有噪声的信号以特定的旋转角作分数阶傅里叶变换，使得信号与噪声在变换域中的交迭达到最小：然后通过窄带通滤波器对ＬＦＭ信号进 行抽取，再经过分数阶傅里叶反变换，恢复出原信号。 ［关键词］分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换ＬＦＭ信号 中图分类号：ＴＮ７６１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—９１４Ｘ（２０１０）０９—０２６３—０２ １引言 从时频分析的观点来看，经典的滤波方法大都只限于在频域或时域的加窗 或遮隔运算，但由于ＬＦＭ信号是宽带信号，与噪声之间存在有较强的时频耦合， 这使得经典的滤波方法难以实现有效的信噪分离。随着时频分析的方法及应 用的研究不断的深入，针对这类问题，出现了一类基于时频平面旋转的ＬＦＭ信 号的滤波方法，其核心思想是将混有噪声的ＬＦＭ信号在时频平面上旋转特定的 角度，使得信号在新的时频平面上退化为单频正弦信号：在此基础上，通过简单 的一维遮隔（加窗）处理或信号子空间的分解，将信号与噪声分离：然后，通过对 时频平面的反向旋转，恢复出不含噪声的信号。 近年来，一种新的时频分析工具一一分数阶傅里叶变换 。作为一种广 义的傅立叶分析方法，ＦＲＦＴ可以解释为信号在时频平面内坐标轴绕原点逆时 针旋转任意角度后构成的分数阶傅立叶域上的表示。因此 本文提出了一种 基于ＦＲＦＴ的线性调频信号降噪方法，此方法可以实现对线性调频降噪滤波。 ２分数阶博立叶变换 分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦＲＦＴ），也称为角度傅立叶变换（ＡＦＴ）或者旋转傅 立叶变换（ＲＦＴ）。分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的基本定义 为 ／ （ｆ１）＝ｆ ＫＰ（“，ｆ）／ （ｔ）ｄｔ （１） ＩＡ ｅｘｐ［ｊｚ（． ｃｏｔ 一２ｔｉｔＣＳＣ醴＋ｆ。ｃｏｔ ）】 ≠ 苴审 ，’ ．，，＝｛Ｉ ・ “一ｆ）， ＝２ｎｘ Ｉ，ｆ＋ｆ＿）．ａ＝（２ｎ±１） 为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的核函数：Ｐ为ＦＲＦＴ的阶，可以为任意实数。ＦＲＦＴ的 详细性质，请参考文献［３］。 当分数阶ｐ＝ｌ时，有 ￣／２，Ａ １，由式（１）得： （ｆｆ）：ｌ ８。 ～ｆ（，）ｄｔ （２） ３ ｔ－ｖ￣！ｌ号在分数阶傅立叶域的滤波原理 根据分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的逆变换公式 ，）＝Ｉ （ｕ）Ｋ （ｒ ） 可 知，信号 ∞的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换 （“）可看作 （ 在以逆变换核Ｋ （“）为 基的函数空间上的展开，而该核是 域上的一组正交的ｃｈｉｒｐ基。因此一个 ｃｈｉｒｐ信号在适当的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域中将表现为一个冲击函数，即分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的某个阶次的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域对给定的ｃｈｉｒｐ信号具有很好的 能量聚集特性。这种聚集特性就是分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对ｃｈｉｒｐ信号降噪滤 波的理论基础。 ＦＲＦＴ的时频平面的解释以及与Ｗｉｇｎｅｒ—ＶｉＵｅ分布的关系ｌ ４ｌ，决定了其 非常适合用于处理ＬＦＭ信号的滤波问题。通过对分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换核的分 析发现，它实质上是一组调频率随着分数阶变换角度呈余切变化的ＬＦＭ信号。 通过改变旋转角度便可以得到不同调频率的基。当旋转角度为９Ｏ。时，ＦＲＦＴ 就成为传统的ＦＴ，分解基也由ｃｈｉｒｐ信号变成了正交完备的三角函数关系。 如同单频正弦信号经过ＦＴ必然会在某个基上成为冲激函数，一旦需要滤波的 ＬＦＭ信号与某组基的调频率吻合，那么该信号也就必然在该组基中的某个基上 形成一个冲激函数，而在别的基上则为零。这点说明了ＬＦＭ信号在ＦＲＦＴ域上 具有很好的时频聚焦性。另一方面，ＬＦＭ信号的Ｗｉｇｎｅｒ分布在时频平面上的 投影是与时间轴有某个夹角的一条线段，由于信号Ｗｉｇｎｅｒ分布具有旋转不变 性，可以将其任意旋转角度而与这条线段正交（认为是对其做旋转角度为９０。 的ＦＲＦＴ），那么该信号在ＦＲＦＴ域上的投影聚焦于一点上。相比较而言，其他信 号的Ｗｉｇｎｅｒ分布不会如此规则的分布。因此可以通过对该聚焦点的分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ域滤波便能有效地将ＬＦＭ信号与其他信号分离。 ４ ＬＦＭ信号在分数阶博立叶域的滤波模型及仿真实验 对于ＬＦＭ信号，则要求其调频率参数是已知的。设被观测信号为一混有 加性白噪声的ＬＦＭ信号，表示为 Ｘ（ｔ）＝ （ｔ）＋ｗ（ｆ） （３） 其中， （ｆ）是一个能量有限的ＬＦＭ信号： （，）＝ａ（ｔ）ｅｘｐ（ｊ２矾ｆ＋．，习 ｒ：）（４） （ 是其包络函数，，脚是线性调频率，ｆｏ是起始频率， （ｆ）为加性白噪声。 滤波算法的步骤可表示为 （１）对ｃｈｉｒｐ信号进行Ｐ阶的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ ２ａｒｃ ｃｏｔ（一 ）、 石 （２）根据分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ和Ｗｉｇｎｅｒ分布的关系，算出“ 的值：Ｕ０－ｆ（、ＣＯＳ （ａｒｃｔａｎ ）ｊ： （３）在分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域，以 ．．中心，选择适当的带通滤波器，对尖峰做隔 处理： （４）对滤波后的信号进行一ｐ阶的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，反变换回时间域。 根据上述滤波算法的步骤，可以得到对ｃｈｉｒｐ信号滤波的系统模型框图， 如图１所示。 ： 匝 图１对ｃｈｉｒｐ信号分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域滤波的系统框图 为验证上述滤波原理的有效性，下面给出在该原理下的仿真实验。假定 一个ｃｈｉｒｐ信号的参数为：初始频率 ， ＯＨｚ，调频率 ５Ｈｚ／ｓ，采样频率 ２００Ｈｚ，观测时间２ｓ。干扰噪声ｎ为加性高斯白噪声，信噪比为４ｄＢ。叠加 噪声的信号波形如图２（ａ）所示。对观测信号进行Ｐ＝ 墨 二！ 【二 阶的分 数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，如图２（ｂ）所示。选择适当的带通滤波器，对尖峰做隔处 理，对滤波后的 叠加嗓芦后的观删信号 采样点 （ａ） 观测信号ｐ阶Ｆ Ｔ仿真 科技博览Ｉ ２６３ 应用技术 Ｉ■ Ｃｈｉｎａ ＳＣｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｒｅｖｉ ｅｗ 数字摄影测量软件ＶｉｒｔｕｏＺｏ在实际工作中的应用 徐小芹 （湖北省第二测绘院湖北武汉４３００７１） ［摘 要］由于现代航天技术和屯子计算机技术的飞速发展，数字摄影测量的自动化、数字化、智能化等强大功能为我们摄影测量工作带来了深远的意 义，本文则简要介绍数字摄影测量的基本概念，数字摄影测量软件ＶｉｒｔｕｏＺｏ的特点、目前主要的应用范围、ＶｉｒｔｕｏＺｏ的工作流程、以及ＶｉｒｔｕｏＺｏ在实际工 作中的主要应用。 ［关键词］航天技术电子计算机数字摄影测量ＶｉｒｔｕｏＺｏ 中图分类号：Ｕ６６２．９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—９１４Ｘ（２０１０）０９～０２６４—０２ １引言 方面，在陆地车载中机载、星载系统中是利用ＧＰＳ定位技术和ＣＣＤ摄像技术 信息时代的到来，随着电子测绘仪器和计算机技术及其应用的发展以及数 可实时地直接为ＧＩＳ获取所需要的数据和信息，对军用和民用都有很大的意义 字图像处理、模式识别、人工智能、专家系统以及计算机视觉等学科的不 为了工作的方便，相应的软件也相继诞生，本论文就是重点介绍全数字摄 断发展，突破了传统的测绘技术和方法，数字摄影测量应运而生。数字摄影测 影测量软件ＶｉｒｔｕｏＺｏ（适普软件有限公司出品）在实际工作中的应用。本论 量系统就是利用数字影像或数字化影像完成摄影测量作业，以计算机视觉代替 文将结合实例具体介绍ＶｉｒｔｕｏＺｏ的特点、目前主要的应用范围、工作原理 人眼的立体观测，因而它所使用的仪器最终将只是通用计算机及其相应外部设 及方法 了解他的的广泛应用、强大功能，让我们的工作更科学、更方便、 备，特别是当代，工作站的发展为数字摄影测量的发展提供了广阔的前景，数字 更快捷。这样生产出来的数字产品直观、真实、可视性强、应用灵活，便 摄影测量生产出各种数字化新产品和目视化新产品：数字化产品包括数字地 于专业、非专业人员的使用，数据的数字化更是方便了与其他４Ｄ产品叠加分 图、数字高程模型、数字正射影像、测量数据库、地理信息系统和土地 析与决策，也方便了用户的科学管理，产品在功能上完全满足了测区规划、设 信息系统等：目视化新产品包括地形图、专题图、剖面图、透视图、正射 计、建设的需要。 影像图、电子地图、动画地图。其产品是数字形式，突破了传统产品的模 ２ ＶｉｒｔｕｏＺｏ系统简介 拟输出，由于它的到来，更是推动信息时代的数字理念。 ２．１ Ｖｉ ｒｔｕｏＺｏ的主要特点 数字摄影测量之所以受得人们的广泛关注重视，是因为它的功能优越于解 全数字摄影测量系统ＶｉｒｔｕｏＺｏ具有以下特点： 析测图仪，更远远超过模拟测图仪。模拟时代的摄影测量作业大部分依敕于 Ａ．全软件化设计——ＶｉｒｔｕｏＺｏ是一个全软件化设计、功能齐全和高度 各种的摄影测量仪器，如坐标量测仪、立体测图仪、纠正仪、正射影像仪 智能化的全数字摄影测量系统。 等。解析测图仪进了一步，在一台解析测图仪上便可完成多种不同的类型的 Ｂ．高度自动化——影像的内定向、相对定向、影像匹配、建立ＤＥＭ、 任务，而数字摄影测量又进了一步，集多种功能于一体，且应用范围也将大大扩 由ＤＥＭ提取等高线和制作正射影像等操作，基本上不需要人工干预，可以批处 展。 理地自动进行。 数字摄影测量工作站除了能胜任解析测图仪可完成的一切任务外，还具有 Ｃ．高效率——相对定向只需卜２分钟，匹配同名点的速度达到每秒５００点 许多新的功能。如影像位移的去除、任意方式的纠正、反差的扩展、多 以上。 幅影像的比较分析、图像识别、影像数字相关以及数据库的管理等，通过显 Ｄ．灵活性——系统提供了“自动化”和“交互处理”两种作业方式。 示器还可观察数字图像以及框标控制点、连接点、ＤＥｉ以及其它所需要特 用户可以根据具体情况灵活选择。 征：在空中三角测量中通过加附加参数，由自检校确定的系统误差的改正数可 Ｅ．通用性——系统不仅能基于航空影像生产从ｌ：５００００到ｉ：５００各种比 直接赋给图像，从而最终改善结果的精度：可对图像自动进行所需要的特征提 例尺的４Ｄ产品（ＤＥＭ、ＤＯＭ、ＤＬＧ、ＤＲＧ），还能处理近景影像、中等分辨率 取，并在此基础上进行双像、多像异带几何约束的匹配以及顾及邻元条件的 的卫星影像（如：ＳＰＯＴ、ＴＭ等卫星影像）、ＩＫＯＮＯＳ卫星影像、ＱｕｉｅｋＢｉｒｄ卫 多块匹配，进而生成数字正射影像、数字高程模型，或直接为机器人视觉系统 星影像和可量测数码相机影像。 服务等等，而且惟有数字摄影测量其有实时数据获取和处理能力，正是这种能 Ｆ．采集三维基础地理信息的理想平台——基于ＭｉｃｒｏＳｔａｔｉｏｎ软件开 力将使它进入崭新的应用领域。数字摄影测量的发展就导致了实时摄影测量 发的数字测图接口模块ｖｌｉｎｋ，实现了ＶｉｒｔｕｏＺｏ和ＭｉｃｒｏＳｔａｔｉｏｎ之间的 的问世，实时摄影测量用于医学诊断、工业过程的自动控制和机器人的视觉 实时数据通讯。它在ＭｉｃｒｏＳｔａｔｉｏｎ基本功能的基础上针对测图生产的实际 观测信号滤波变换后波形 重要特性，对ＬＦＭ信号起到很好的滤波降噪作用。分数阶域的滤波为传统的 时域、频域滤波提供了新的思路。 参考文献 ［１］陶然，齐林，王越．分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的原理与应用．北京：清华 大学出版社，２００４． ［２］ＮＡＭＩＡＳ Ｖ．Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｔｉｃａ— ｔｉｏｎ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］．Ｉｎｓｔ Ｍａｔｈ Ｉｔｓ，１９８０，２５：２４１—２６５． ［３］Ｌｕｆｓ Ｂ．Ａｌｍｅｉｄａ．Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｏｎａｌ ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ ｔｉｍｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｐｒｅｓｅ ｎｔａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓ— ｉｎｇ，１９９４，４２（ｉｉ）：３０８４—３０９１． ［４］赵兴浩，邓兵，陶然．分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化． 北京理工大学学报．２００５，４，２５（４）：３６０—３６４． ［５］王宏禹．信号处理相关理论综合与统一法．北京：国防工业出版社， ２００５． 采样点 （Ｃ） 图２（ａ）叠加噪声的信号波形（ｂ）信号Ｐ阶ＦＲＦＴ（Ｃ）变换后的波形 信号进行一ｐ阶的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，反变换回时间域。变换后的波形 如图２（Ｃ）所示。从图中可以看出，本文所提出的方法能够取得较好的噪声抑 制效果。 结语 ＦＲＦＴ是一种新的时频分析工具，在信号处理领域，尤其是在非平稳信号的 处理中越来越受到重视。利用ＦＲＦＴ等同于对信号在时频平面进行旋转这一 ２６４ ｌ科技博览
