裂项相消法求和-学案

目标：

1 理解裂项相消法思想。

2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。 高考分析：

数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项分组法、裂项相消法、错位相加法、而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。 一、复习巩固

1 公式求和法 适用于求______________的和。 2 分组求和法 适用于求______________的和。 3 错位相减法 适用于求______________的和。

二、自学讨论

学习以下例题，完成填空。（限时8分钟） 思考与讨论：

什么数列可用裂项相消法求和？ 裂项： 如何裂项？你有好的方法吗？

111如何相消？你能发现其中的规律吗？ 1你能证明吗？ ○n(n1)nn1利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？ 例一：已知an1,求Sn

n(n1)2猜想：○

1=_____________________

nn2解：an111

n(n1)nn1 验证：

11___________________ nn21____________________

n(n2)Sna1a2a3an1an

 结论：

11111 122334(n1)nn(n1)3一般地； ○

1=________________

nnk1112231n 1 n1n1nSn

n1

(1)()()(11341111)() n1nnn1相消：怎么消？

哪些项是不能消去的？

1

课堂演板：（1）已知an

11，求Sn （2）已知an,求Sn

(2n1)2n1n(n2)例2已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列{an}的

前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。

'（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn1m，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有nN都成anan120立的最小正整数m； （2013年湖北省数学高考理科试题）

三、当堂练习（限时10分钟） 1、已知an1,Sn________

(2n1)(2n1)2、

111________

2n12n335573、1111_________（只需把消完后的项列出，无需化简） 354657n(n2)

四、课堂小结

反思归纳（能力提升）：

若an是等差数列，则an1and，所以

11________

anan1an(and)进而，Sn111________

a1a2a2a3an1an2

裂项相消法求和：

对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。 裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项——相消——求和。

六、课后作业（背面）

1

1 数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( )

n＋n＋1

A．11 B．99 C．120 D．121

11212312341

2．已知数列{an}＝{，＋，＋＋，＋＋＋，…}，那么数列{bn}＝{}前n项

2334445555anan＋1

的和为( )

111

A．4(1－) B．4(－) 2n＋1n＋1

111

C．1－ D.－ 2n＋1n＋1

3．在数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋2(n∈N*)，则a10等于( )

A．34 B．36 C．38 D．40

111

4.等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.

S1S2Sn

5．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

111

(2)求和：＋＋…＋. S1S2Sn

3

6设正数数列的前n项和Sn满足Sn ○1求数列an的通项公式； ○2设bn

1an12。 41，记数列bn的前n项和Tn。

anan17 在等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，公比为q，且b2S212,qS2 b21求数列anbn的通项公式； ○2设cn○

1，求数列cn的前n项和Tn。 Sn 4