函数应用题典型题目

一、基础训练

1．某电脑单价为a元，现八折优惠，则购电脑x（xN）台所需款项y元与x的函数关系式是 ．

2．某人去银行存款a万元，每期利率为p，并按复利计算，则存款n（xN）期后本利和为 万元． 3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x与y之间的函数关系是 ．

4．根据市场调查，某商品在最近10天内的价格f(t)与时间t满足关系式f(t)10****1t2（1t10，tN），销量g(t)与时间t满足关系式g(t)24t（1t10，tN），则这种商品的日销售额的最大值为 ．

5．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利．则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是 ．

6．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 ．（围墙不计厚度）

7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额 不超过500元部分 折扣率 5% 10% 超过500元部分 某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为 ，若y30，则此人购物总金额为 元．

8．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA，点B（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y，则ABP的面积与点P移动的路程x之间的函数关系式是 ．

二、例题精讲

例1．某村计划建造一个室内面积为800m的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

例2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．

方案1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理1m污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；

方案2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每1m污水需付14元排污费．

（1）若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明；

（2）若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？

例3．如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向做匀速移动，速度为v（v0），雨速沿E移动方向的分速度为c（cR）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○1P或2其P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|vc|S成正比，比例系数为1；○他面的淋雨量之和，其值为

33321．记y为E移动过程中的总淋雨量，设移动距离d100，面积2S3． 2（1）写出y的表达式；

（2）若0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

例4．已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50km，B与C之间的距离为100km，从A到C，先乘船到D，船速为25km/h，再乘汽车由D到C，车速为50km/h．设从A到C所用时间为y（h）． （1）按下列要求写出函数关系式：

1设ADB（rad），将y表示成的函数关系式； ○

2设BDx（km），将y表示成x的函数关系式． ○

（2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从A到C所用时间最少．

B50ADC

三、巩固练习

1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的

2，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利3润，对项目乙每投资1万元可获利0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元．

2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时

间t（单位：min）后的温度是T，则TTa(T0Ta)1，其中Ta称为环境温度，h称为半2th衰期．现有一杯88C热水冲的速溶咖啡,放在24C的房间中,如果咖啡降到40C需要20min,那么这杯咖啡要从40C降到32C,还需 时间．

3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个．已知该商品每涨价1元,其销售

量就减少20个,为了获得最大利润,售价应定为 元． 4．某地每年消耗木材20万立方米,每立方米价格为240元,为了减少木材消耗,决定按t%征收木材税,这样每年的木材消耗量减少

5t万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万2元,则t的取值范围是 ．

四、要点回顾

1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力：

（1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生获取知识的能力；

（2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系； （3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．

函数模型及其应用作业 1．假如某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系RaA，广告效应为

DaAA，则广告费A 时，广告效应D最大．

2．已知产品生产件数x与成本y（万元）之间有函数关系y30020x0.1x，若每件产品成本均不超过7万元，则产品产量至少应为 件． 3．铁道机车运行1h所需的成本由两部分组成：固定部分m元，变动部分（元）与运行速度x（km/h）的平方成正比，比例系数为k（k0）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km，则机车从甲站运行到乙站的总成本y（元）与机车运行速度x之间的函数关系为 ． 4．用总长为14.8m的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m，则它的最大容积为 m．

5．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第 层．

6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的

3212．则该产品每月生产 x，且生产x吨的成本为R50000200x（元）

5 吨才能使利润达到最大，最大利润是 万元．（利润收入成本）

7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须

关系式为p24200留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k0）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）． （1）写出y关于x的函数关系式，并求其定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围． 8．（2011湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0x200时，求函数v(x)的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）（精确到1辆/小时） f(x)xv(x)可以达到最大？并求出此最大值．

9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)及任意x0，当甲公司投入x万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入x万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．

（1）请解释f(0)，g(0)的实际意义； （2）设直线y1 x与yf(x)的图像交于点(x0,y0)，x00，请解释(x0,y0)的实际意义．

100 10．在50km长的铁路线AB旁的C处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为10km．由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为5:3．为了节约运费，在铁路的D处修一货物运转站，沿CD修一公路（如图），为了使原料从B处经货物转运站运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？

ADBC