数列的概念-等差数列教案

1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩““

1”，再取一半还剩21111”，、、、、、、，如此下去，即得到1，，，，、、、、、、 42481. 教学数列及其有关概念： ① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n位的数称为这个数列的第n项. ③ 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,,an,，简记为an.

④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 2. 教学数列的表示方法：

① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系： 1，

111，，，、、、；106,3,1248，、、、；1,4,9,16，、、、.

（数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）

② 数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）

③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法. 3. 例题讲解：

例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，

111，－，，、、、 248思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？

4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用. 1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2)

426810, , , , , ……； 315356399(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….

1. 复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.

a122. 提问：已知数列an满足，能写出这个数列的前5项吗？ 1a1(n2)nan11. 教学数列的递推公式：

① 提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？ ② 数列的递推公式：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

如：数列3，5，8，13，21，34，55，的递推公式为：a13,a25,anan1an2(3n8). ③ 数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法. 2. 例题讲解：

1例1、已知数列an的首项a12,an1(n1)，求出这个数列的第5项.

an1例2、已知a12，an12an 写出前5项，并猜想an． 思考题、已知数列an为3,7,11,15，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出

它的通项公式. 3. 小结：我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式. 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的. 三、巩固练习：

1. 练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式： (1) a1＝0, an1＝an＋(2n－1) (n∈N)；(2)a1＝3, an1＝3an－2 (n∈N).

（1）、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986，（ ）

你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗？判断的依据是什么呢？ （2）、通常情况下，从地面到11km的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根

据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。

距地面的 高度(km) 温度(℃)

1 2 3 4 5

6

8

…

38 32 26 20 14

…

思考:依据前面的规律, 填写（3）、（4）:

（3） 1，4，7，10，（ ），16，… （4） 2，0，-2，-4，-6，（ ）,… 它们共同的规律是？

从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。 我们把有这一特点的数列叫做等差数列。 （一）等差数列的定义 1、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 2、等差数列定义的数学表达式： an1and(d是常数,nN*)

试一试：它们是等差数列吗？

(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10… (2) 5，5，5，5，5，5，… (3) -1，-3，-5，-7，-9,…

(4) 数列{an}，若an+1-an=3

3、等差中顶定义

在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列： （1）、2 ，( ) ,4 （2）、-12,( ) ，0 ( 3 ) a ,( ),b

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

（二）等差数列的通项公式

探究1:等差数列的通项公式(求法一)

如果等差数列an首项是a1，公差是d，那么这个等差数列a2,a3,a4如何表示？an呢？

ab2AabA2根据等差数列的定义可得： a2 所以：a2 a3 a4由此得ana1d ，a3a2d，a4a3d，…。 a1d，

a2da1dda12d，

a3da12dda13d，

……

a1(n1)d，

因此等差数列的通项公式就是: an探究2:等差数列的通项公式(求法二)

根据等差数列的定义可得： a2a1d a1(n1)d，nN*

a3a2d

……

an1an2d anan1d

将以上n-1个式子相加得等差数列的通项公式就是: ana1(n1)d，

nN*

例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。

(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？

(1)、 解a18,d583,n20;a208(201)(3)49

（2）、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得an401成立，实质上是要求方程an401的正整数解。

解a15,d9(5)4,an401,因此,-401=-5+(n-1)(-4)，解得n=100.

例2、在等差数列中,已知解：由ana5=10,a12=31，求首项a1与公差d.

a2。 1a111d31d3a14d10a1(n1)d，得在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量

就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。 四、小结

1．等差数列的通项公式: an公差

a1(n1)d

an1and(d是常数,nN*)；

an1an(nN*)是否为常数即可；

2. 等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量；

3. 判断一个数列是否为等差数列只需看

4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题.

n(a1an)n(n1)na1d 226．简单性质:(1)mnpq,则amanapaq

5．前n项的和：Sn(2) an,anm,an2m,组成公差为md的等差数列.

(3) Sn,S2nSn,S3nS2n,组成公差为n2d的等差数列.

（4）单调性：d≥0时为递增数列，d≤0时为递减数列，d0时为常数列．

（5）{an}是等差数列⇔an=an+b或Sn=an2+bn

（6）若项数为2n(n∈N)，则S偶-S奇=nd ； S偶 / S奇=an+1 / an

若项数为2n-1(n∈N)，则S奇-S偶=an ； S奇 / S偶=n / (n-1) anS2n1 (7) 等差数列{a}、{b}的前n项和为S、T，则nnnn bnT2n1 amn(8)amn0

anm

思维点拔

1．等差数列的判定方法

(1)定义法: an1and(常数)(nN) (2)中项法:2an1anan2 (3)通项法:ana1(n1)d (4)前n项和法:SnAn2Bn 2．知三求二(a1,d,n,an,Sn),要求选用公式要恰当.

3．设元技巧: 三数:ad,a,ad 四数a3d,ad,ad,a3d