5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。相关几何概念与性质
（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）
考虑焦点－准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径。 圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。
类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。 对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。 定理(Pappus)：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。 定理(Pascal)：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）
定理(Brianchon)：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。
圆锥曲线的方程和性质
1）椭圆(ellipise)
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 标准方程：
1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程： (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程： (x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r)
2）双曲线(hyperbola)
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程： (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程： (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）
3）抛物线(parabola)
参数方程
x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标
y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 ) 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e×cosθ)
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 焦点到最近的准线的距离等于ex±a
圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：
椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线
P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以以(y0+y)/2代替y
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离椭圆的焦准距:p=(b^2)/c 双曲线的焦准距:p=(b^2)/c 抛物线的准焦距:p
焦点三角形
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为椭圆的通径:(2b^2)/a 双曲线的通径:(2b^2)/a 抛物线的通径:2p
x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)
p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
通径。 x,代替圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线 椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 关于x轴，y轴，原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 x=±(a^2)/c —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 关于x轴，y轴，原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣ ∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 抛物线 y^2=2px p>0 x∈[0,+∞) y∈R 关于x轴对称 (0,0) 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 (p/2,0) 准线 渐近线 离心率 x=-p/2 ————— e=1 焦半径 ∣PF∣=x+p/2 焦准距 通径 p 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 参数方程 过圆锥曲线上一点 (x0,y0)的切线方程 斜率为k的切线方程 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 圆锥曲线的中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 ⒈联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。 2.点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0
由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）
圆锥曲线中求点的轨迹方程
在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。
圆锥曲线的曲率（见右图）曲率半径的作图。第二条垂线与法线的交点
Z就是曲率的中心他到P点的距离便是曲
率半径。
圆锥曲线判别法
设圆锥曲线的方程为 Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0 |A B D|
∆=|B C E| δ=|A B| S=A+C 称为二次曲线不变量 |D E F| |B C| δ>0 δ>0 δ>0 δ<0 δ<0 δ=0 δ=0 δ=0 δ=0 ∆=0 ∆≠0 ∆≠0 ∆=0 ∆≠0 ∆≠0 ∆=0 ∆=0 ∆=0 ∆S<0 ∆S>0 D^2+E^2-AF-CF>0 D^2+E^2-AF-CF=0 D^2+E^2-AF-CF<0 有一实点的相交虚直线 椭圆 虚椭圆 相交直线 双曲线 抛物线 平行直线 重合直线 平行虚直线
